Das Arkustangensintegral ist eine nicht elementare Funktion in der Mathematik Diese Funktion ist die durch den Ursprung verlaufende Stammfunktion des Produkts von der Arkustangensfunktion und der Kehrwertfunktion Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Spezielle Werte 3 Funktionalgleichungen 4 Ableitungen 5 Arkussinusintegral 6 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Graph vom Arkustangensintegral Ti x Das Arkustangensintegral ist folgendermassen definiert Ti 2 x 0 1 1 y arctan x y d y 0 x 1 t arctan t d t displaystyle operatorname Ti 2 x int 0 1 frac 1 y arctan xy mathrm d y int 0 x frac 1 t arctan t mathrm d t nbsp Alternativ kann das Arkustangensintegral mit der Lerchschen Transzendente definiert werden Ti 2 x 1 4 x F x 2 2 1 2 displaystyle operatorname Ti 2 x tfrac 1 4 x Phi x 2 2 tfrac 1 2 nbsp Somit ist das Arkustangensintegral das imaginare Gegenstuck zur Legendreschen Chi 2 Funktion Ti 2 x i x 2 i x displaystyle operatorname Ti 2 x i chi 2 ix nbsp Folglich zahlt das Arkustangensintegral zu den Polylogarithmen Spezielle Werte BearbeitenDer Funktionswert Ti 1 ist die Catalansche Konstante die unendliche alternierende Differenz der Kehrwerte von den ungeraden Quadratzahlen Ti 2 1 G displaystyle operatorname Ti 2 1 G nbsp Die Funktionswerte Ti 2 3 und Ti 2 3 sind ebenso mit der Catalanschen Konstante und den elementaren Funktionen darstellbar Ti 2 2 3 2 3 G 1 12 p arcosh 2 displaystyle operatorname Ti 2 2 sqrt 3 tfrac 2 3 G tfrac 1 12 pi operatorname arcosh 2 nbsp Ti 2 2 3 2 3 G 5 12 p arcosh 2 displaystyle operatorname Ti 2 2 sqrt 3 tfrac 2 3 G tfrac 5 12 pi operatorname arcosh 2 nbsp Ausserdem ergeben folgende Summen elementare Werte 6 Ti 2 1 4 Ti 2 1 2 2 Ti 2 1 3 Ti 2 3 4 p ln 2 displaystyle 6 operatorname Ti 2 1 4 operatorname Ti 2 tfrac 1 2 2 operatorname Ti 2 tfrac 1 3 operatorname Ti 2 tfrac 3 4 pi ln 2 nbsp 6 Ti 2 tan 5 24 p 4 Ti 2 tan 1 8 p 6 Ti 2 tan 1 24 p p ln tan 5 24 p tan 3 8 p displaystyle 6 operatorname Ti 2 tan tfrac 5 24 pi 4 operatorname Ti 2 tan tfrac 1 8 pi 6 operatorname Ti 2 tan tfrac 1 24 pi pi ln tan tfrac 5 24 pi tan tfrac 3 8 pi nbsp Funktionalgleichungen BearbeitenFolgende Funktionalgleichungen des Arkustangensintegrals sind fur alle reellen x Werte gultig Ti 2 x 2 1 x Ti 2 x 2 1 x 1 2 p arsinh x displaystyle operatorname Ti 2 sqrt x 2 1 x operatorname Ti 2 sqrt x 2 1 x tfrac 1 2 pi operatorname arsinh x nbsp Ti 2 x 3 Ti 2 tan 1 3 arctan x 3 Ti 2 tan 1 6 p 1 3 arctan x 3 Ti 2 tan 1 6 p 1 3 arctan x displaystyle operatorname Ti 2 x 3 operatorname Ti 2 tan tfrac 1 3 arctan x 3 operatorname Ti 2 tan tfrac 1 6 pi tfrac 1 3 arctan x 3 operatorname Ti 2 tan tfrac 1 6 pi tfrac 1 3 arctan x nbsp 1 2 p ln tan 1 6 p 1 3 arctan x tan 1 3 p 1 3 arctan x displaystyle tfrac 1 2 pi ln tan tfrac 1 6 pi tfrac 1 3 arctan x tan tfrac 1 3 pi tfrac 1 3 arctan x nbsp Ableitungen BearbeitenFolgende Funktionen haben folgende Ableitungen d d x Ti 2 x arctan x x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname Ti 2 x frac arctan x x nbsp d d x 2 Ti 2 x x 2 1 1 arctan x x x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x 2 operatorname Ti 2 left frac x sqrt x 2 1 1 right frac arctan x x sqrt x 2 1 nbsp d d x Ti 2 x 2 1 x Ti 2 x 2 1 x arctan x x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname Ti 2 sqrt x 2 1 x operatorname Ti 2 sqrt x 2 1 x frac arctan x sqrt x 2 1 nbsp d d x 2 Ti 2 x 1 1 x 2 arcsin x x 1 x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x 2 operatorname Ti 2 left frac x 1 sqrt 1 x 2 right frac arcsin x x sqrt 1 x 2 nbsp d d x Ti 2 x 1 x 2 arcsin x x 1 x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname Ti 2 left frac x sqrt 1 x 2 right frac arcsin x x 1 x 2 nbsp Arkussinusintegral BearbeitenAnalog zum Arkustangensintegral ist das Arkussinusintegral wie folgt definiert Si 2 x 0 1 1 y arcsin x y d y 0 x 1 t arcsin t d t displaystyle operatorname Si 2 x int 0 1 frac 1 y arcsin xy mathrm d y int 0 x frac 1 t arcsin t mathrm d t nbsp Diese Funktion darf bezuglich ihrer Bezeichnung nicht mit dem Integralsinus verwechselt werden Aus dieser Definition resultiert jene Maclaurinsche Reihenentwicklung Si 2 x k 0 2 k k x 2 k 1 4 k 2 k 1 2 displaystyle operatorname Si 2 x sum k 0 infty binom 2k k frac x 2k 1 4 k 2k 1 2 nbsp Folgende Funktionswerte hat diese Funktion Si 2 0 0 displaystyle operatorname Si 2 0 0 nbsp Si 2 1 1 2 p ln 2 displaystyle operatorname Si 2 1 tfrac 1 2 pi ln 2 nbsp Si 2 1 1 2 p ln 2 displaystyle operatorname Si 2 1 tfrac 1 2 pi ln 2 nbsp Si 2 1 2 2 1 2 G 1 8 p ln 2 displaystyle operatorname Si 2 tfrac 1 2 sqrt 2 tfrac 1 2 G tfrac 1 8 pi ln 2 nbsp Si 2 1 2 2 1 2 G 1 8 p ln 2 displaystyle operatorname Si 2 tfrac 1 2 sqrt 2 tfrac 1 2 G tfrac 1 8 pi ln 2 nbsp Der Wert Si 1 kann auf folgende Weise bewiesen werden Si 2 1 0 1 1 x arcsin x d x 0 1 0 1 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d y d x displaystyle operatorname Si 2 1 int 0 1 frac 1 x arcsin x mathrm d x int 0 1 int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 mathrm d y mathrm d x nbsp 0 1 0 1 1 x 2 y 1 x 2 y 2 1 y 2 d x d y 0 1 p y 2 1 y 2 1 1 y 2 d y p 2 ln 2 displaystyle int 0 1 int 0 1 frac sqrt 1 x 2 y 1 x 2 y 2 sqrt 1 y 2 mathrm d x mathrm d y int 0 1 frac pi y 2 sqrt 1 y 2 1 sqrt 1 y 2 mathrm d y frac pi 2 ln 2 nbsp Das Analogon fur den Lemniskatischen Arkussinus ergibt folgenden Wert 0 1 1 x arcsl x d x 1 8 p ϖ displaystyle int 0 1 frac 1 x operatorname arcsl x mathrm d x frac 1 8 pi varpi nbsp Dabei stellt ϖ die Lemniskatische Konstante dar Zwischen Arkustangensintegral und Arkussinusintegral besteht folgender Zusammenhang 2 T i 2 x x 2 1 1 4 S i 2 x 2 x 2 1 4 x 2 1 1 S i 2 x x 2 1 displaystyle 2 mathrm Ti 2 biggl frac x sqrt x 2 1 1 biggr 4 mathrm Si 2 biggl frac x sqrt 2 sqrt 4 x 2 1 sqrt sqrt x 2 1 1 biggr mathrm Si 2 biggl frac x sqrt x 2 1 biggr nbsp 2 T i 2 x 1 1 x 2 4 S i 2 1 2 1 x 1 2 1 x S i 2 x displaystyle 2 mathrm Ti 2 biggl frac x 1 sqrt 1 x 2 biggr 4 mathrm Si 2 bigl tfrac 1 2 sqrt 1 x tfrac 1 2 sqrt 1 x bigr mathrm Si 2 x nbsp Die Richtigkeit dieser Formeln kann durch Ableiten gezeigt werden Literatur BearbeitenNielsen N Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen Nova Acta Leopoldina Abh der Kaiserlich Leopoldinisch Carolinischen Deutschen Akad der Naturforsch 90 121 212 1909 Finch S R Inverse Tangent Integral 1 7 6 in Mathematical Constants Cambridge England Cambridge University Press p 57 2003 Lewin L The Inverse Tangent Integral and The Generalized Inverse Tangent Integral Chs 2 3 in Dilogarithms and Associated Functions London Macdonald pp 33 90 1958 Lewin L Polylogarithms and Associated Functions Amsterdam Netherlands North Holland p 45 1981 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Arkustangensintegral amp oldid 229049428
