Der lemniskatische Arkussinus oder Arcussinus lemniscatus kurz arcsl ist eine spezielle mathematische Funktion namlich die Umkehrfunktion des von dem Mathematiker Carl Friedrich Gauss im 19 Jahrhundert eingefuhrten Sinus lemniscatus Der lemniskatische Arkussinus entspricht derjenigen Funktion fur die Lemniskate die der Arkussinus fur den Kreis ist In der Lemniskate von Bernoulli ordnet der lemniskatische Arkussinus die Lange der vom Ursprung ausgehenden Sehne das zugehorige ebenso vom Ursprung ausgehende Bogenmass der Lemniskatenkurve zu Der Arcussinus lemniscatus ist ein unvollstandiges elliptisches Integral erster Art mit dem elliptischen Modul k 1 2 displaystyle k 1 sqrt 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Hauptdefinition 1 2 Verallgemeinerung 2 Beweis der Formel 3 Geschichte 4 Reihenentwicklung 5 Weitere Darstellungen 6 Additionstheorem 7 Werte und Ableitungen 8 Komplementarer lemniskatischer Arkussinus 8 1 Definition des komplementaren lemniskatischen Arkussinus 8 2 Legendresche Identitat 9 WeblinksDefinition BearbeitenHauptdefinition Bearbeiten In der oben abgebildeten Lemniskate gilt folgende von Giulio Carlo Fagnano dei Toschi um 1750 untersuchte Formel fur die Bogenlange arcsl r s r 0 r 1 1 r 4 d r displaystyle operatorname arcsl r s r int 0 r frac 1 sqrt 1 rho 4 mathrm d rho nbsp Das Doppelte des Integrals von 0 bis 1 ist die im Jahr 1798 von Carl Friedrich Gauss eingefuhrte Lemniskatische Konstante 2 arcsl 1 2 0 1 1 1 r 4 d r ϖ displaystyle 2 operatorname arcsl 1 2 int 0 1 frac 1 sqrt 1 rho 4 mathrm d rho varpi nbsp Dementsprechend ist nach dem Mathematiker Edward Neuman der Lemniskatische Arkuscosinus so definiert arccl r ϖ 2 arcsl r displaystyle operatorname arccl r frac varpi 2 operatorname arcsl r nbsp So schrieb er die Definition in seinem Werk Two sided inequalities for the lemniscate functions nieder Verallgemeinerung Bearbeiten Den lemniskatischen Arkussinus durch den japanischen Mathematiker Kazunori Shinohara auf den Allgemeinfall der Leaf Functions erweitert arcsleaf n r 0 r 1 1 r 2 n d r displaystyle operatorname arcsleaf n r int 0 r frac 1 sqrt 1 rho 2n mathrm d rho nbsp Kreisbogenmassfall arcsleaf 1 r arcsin r displaystyle operatorname arcsleaf 1 r arcsin r nbsp Lemniskatenbogenmassfall arcsleaf 2 r arcsl r displaystyle operatorname arcsleaf 2 r operatorname arcsl r nbsp Beweis der Formel Bearbeiten nbsp Arcussinus lemniscatus und Arcuscosinus lemniscatus in Abhangigkeit von der SehnenlangeFur die oben abgebildete Lemniskate von Bernoulli gilt folgende Parametrisierung x t sin t cos t 2 1 displaystyle x t frac sin t cos t 2 1 nbsp und y t sin t cos t cos t 2 1 displaystyle y t frac sin t cos t cos t 2 1 nbsp Daraus folgt fur r r t x t 2 y t 2 sin t cos t 2 1 displaystyle r t sqrt x t 2 y t 2 frac sin t sqrt cos t 2 1 nbsp In Abhangigkeit von r ergeben sich folgende Formeln x r r 1 r 2 2 displaystyle x r r sqrt 1 r 2 sqrt 2 nbsp und y r r 1 r 2 2 displaystyle y r r sqrt 1 r 2 sqrt 2 nbsp Fur die Berechnung der vom Ursprung ausgehenden Kurvenlange s wird der Pythagoras der ersten Ableitungen von x und y gebildet und dieser integriert s r 0 r d d r x r r r 2 d d r y r r r 2 d r displaystyle s r int 0 r sqrt biggl frac d dr x r r rho biggr 2 biggl frac d dr y r r rho biggr 2 d rho nbsp 0 r d d r r 1 r 2 2 2 d d r r 1 r 2 2 2 d r displaystyle int 0 r sqrt biggl frac d d rho rho sqrt 1 rho 2 sqrt 2 biggr 2 biggl frac d d rho rho sqrt 1 rho 2 sqrt 2 biggr 2 d rho nbsp 0 r 1 2 r 2 2 2 1 r 2 1 2 r 2 2 2 1 r 2 d r 0 r 1 1 r 4 d r displaystyle int 0 r sqrt frac 1 2 rho 2 2 2 1 rho 2 frac 1 2 rho 2 2 2 1 rho 2 d rho int 0 r frac 1 sqrt 1 rho 4 d rho nbsp Geschichte BearbeitenDer Mathematiker Leonhard Euler griff im Jahre 1750 die Untersuchungen des italienischen Mathematikers Giulio Carlo Fagnano dei Toschi beim Durchsehen seiner Werke auf Mit diesen Werken beantragte Fagnano die Aufnahme in die Berliner Akademie Diese Zeit war der Ursprung der Theorie Elliptischer Integrale woraus im 19 Jahrhundert die Theorie Elliptischer Funktionen durch Carl Gustav Jacob Jacobi und Niels Henrik Abel entstand Bereits im Jahre 1691 tauchte bei Jakob I Bernoulli folgendes Integral im Rahmen der Elastizitatstheorie auf 0 x d t 1 t 4 displaystyle int 0 x frac dt sqrt 1 t 4 nbsp Dieses Integral war sowohl Bernoulli als auch Carl Friedrich Gauss als Lemniskaten Integral bekannt Gauss untersuchte wahrscheinlich unabhangig von Euler und Fagnano dieses Integral Dadurch erzielte Gauss tiefliegende jedoch unveroffentlichte Resultate uber elliptische Integrale und ihre Umkehrfunktionen Diese sind in seinem Werk Disquisitiones Arithmeticae verewigt Reihenentwicklung BearbeitenDie Taylorreihe des lemniskatischen Arkussinus mit dem Entwicklungspunkt 0 erhalt man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschliessende Integration arcsl x 0 x 1 1 y 4 d y 0 x k 0 2 k k y 4 k 4 k d y k 0 0 x 2 k k y 4 k 4 k d y k 0 2 k k x 4 k 1 4 k 4 k 1 displaystyle operatorname arcsl x int 0 x frac 1 sqrt 1 y 4 dy int 0 x sum k 0 infty binom 2k k frac y 4k 4 k dy sum k 0 infty int 0 x binom 2k k frac y 4k 4 k dy sum k 0 infty binom 2k k frac x 4k 1 4 k 4k 1 nbsp Diese Reihe konvergiert genau dann wenn x 1 displaystyle x leq 1 nbsp ist Daraus folgt ϖ 2 k 0 2 k k 1 4 k 4 k 1 displaystyle varpi 2 sum k 0 infty binom 2k k frac 1 4 k 4k 1 nbsp Mit folgender Gleichung konnen noch scharfere Naherungen erzielt werden sl 1 2 arcsl x 1 x 1 x 2 1 x 2 2 sin 1 2 arcsin x sech 1 2 arsinh x displaystyle operatorname sl frac 1 2 operatorname arcsl x frac sqrt 1 x sqrt 1 x sqrt 2 sqrt 1 x 2 2 sin frac 1 2 arcsin x operatorname sech frac 1 2 operatorname arsinh x nbsp Dabei ist sl der lemniskatische Sinus Alternativer Ausdruck sl 1 2 arcsl x 2 tan 1 4 arcsin x 2 displaystyle operatorname sl frac 1 2 operatorname arcsl x 2 tan frac 1 4 arcsin x 2 nbsp Weitere Darstellungen BearbeitenDer Arcussinus lemniscatus hat als elliptisches Integral erster Art ebenso folgende Darstellungen in der Legendre Form arcsl x 1 2 F arcsin 2 x 1 x 2 1 2 displaystyle operatorname arcsl x frac 1 sqrt 2 F biggl arcsin biggl frac sqrt 2 x sqrt 1 x 2 biggr frac 1 sqrt 2 biggr nbsp arcsl x ϖ 2 1 2 F arccos x 1 2 displaystyle operatorname arcsl x frac varpi 2 frac 1 sqrt 2 F biggl arccos x frac 1 sqrt 2 biggr nbsp arcsl x 2 2 1 F arcsin 2 1 x 1 x 2 1 2 1 2 displaystyle operatorname arcsl x 2 sqrt 2 1 F biggl arcsin biggl frac sqrt 2 1 x sqrt 1 x 2 1 biggr sqrt 2 1 2 biggr nbsp Ausserdem konnen die Bogenmasse der Lemniskate auch ausschliesslich durch die Bogenmasse der Ellipsen dargestellt werden arcsl x 1 2 2 2 E arcsin 2 1 x 1 x 2 1 2 1 2 E arcsin 2 x 1 x 2 1 2 x 1 x 2 2 1 x 2 1 x 2 displaystyle operatorname arcsl x frac 1 2 2 sqrt 2 E biggl arcsin biggl frac sqrt 2 1 x sqrt 1 x 2 1 biggr sqrt 2 1 2 biggr E biggl arcsin biggl frac sqrt 2 x sqrt 1 x 2 biggr frac 1 sqrt 2 biggr frac x sqrt 1 x 2 sqrt 2 1 x 2 sqrt 1 x 2 nbsp Additionstheorem BearbeitenDas Additionstheorem sieht so aus sl arcsl x arcsl y x 1 y 4 y 1 x 4 1 x 2 y 2 displaystyle operatorname sl operatorname arcsl x operatorname arcsl y frac x sqrt 1 y 4 y sqrt 1 x 4 1 x 2 y 2 nbsp Denn es gilt folgender Zusammenhang d d x x 1 y 4 y 1 x 4 1 x 2 y 2 1 x 1 y 4 y 1 x 4 1 x 2 y 2 4 1 2 1 1 x 4 displaystyle biggl frac d dx frac x sqrt 1 y 4 y sqrt 1 x 4 1 x 2 y 2 biggr biggl 1 biggl frac x sqrt 1 y 4 y sqrt 1 x 4 1 x 2 y 2 biggr 4 biggr 1 2 frac 1 sqrt 1 x 4 nbsp Werte und Ableitungen BearbeitenWerte des lemniskatischen Arkussinus arcsl 1 ϖ 2 displaystyle operatorname arcsl 1 varpi 2 nbsp arcsl 2 3 3 4 ϖ 3 displaystyle operatorname arcsl sqrt 4 2 sqrt 3 3 varpi 3 nbsp arcsl 2 1 ϖ 4 displaystyle operatorname arcsl sqrt sqrt 2 1 varpi 4 nbsp arcsl 2 5 2 4 sin 1 20 p cos 3 20 p ϖ 5 displaystyle operatorname arcsl 2 sqrt 4 sqrt 5 2 sqrt sin tfrac 1 20 pi cos tfrac 3 20 pi varpi 5 nbsp arcsl 1 2 3 1 12 4 ϖ 6 displaystyle operatorname arcsl tfrac 1 2 sqrt 3 1 sqrt 4 12 varpi 6 nbsp arcsl 1 1 4 sec 5 28 p 2 csc 1 14 p sin 1 7 p sin 3 14 p 2 sin 3 28 p 2 4 ϖ 7 displaystyle operatorname arcsl sqrt 4 1 tfrac 1 4 sec tfrac 5 28 pi 2 csc tfrac 1 14 pi sqrt sin tfrac 1 7 pi sin tfrac 3 14 pi 2 sin tfrac 3 28 pi 2 varpi 7 nbsp arcsl tan 1 8 p 1 2 arcsec 2 4 ϖ 8 displaystyle operatorname arcsl sqrt tan tfrac 1 8 pi tfrac 1 2 operatorname arcsec sqrt 4 2 varpi 8 nbsp arcsl 1 2 5 4 1 5 2 1 ϖ 10 displaystyle operatorname arcsl tfrac 1 2 sqrt 4 5 1 sqrt sqrt 5 2 1 varpi 10 nbsp arcsl 1 2 8 4 sin 5 24 p 3 4 sin 1 24 p 2 3 3 4 1 ϖ 12 displaystyle operatorname arcsl tfrac 1 2 sqrt 4 8 sin tfrac 5 24 pi sqrt 4 3 sin tfrac 1 24 pi sqrt 4 2 sqrt 3 3 1 varpi 12 nbsp Ableitungen des lemniskatischen Arkussinus d d x arcsl x 1 1 x 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arcsl x frac 1 sqrt 1 x 4 nbsp d d x arcsl x x 2 1 1 x 2 1 2 x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arcsl biggl frac x sqrt x 2 1 biggr frac 1 sqrt x 2 1 2x 2 1 nbsp d d x arcsl 2 x x 4 6 x 2 1 x 2 1 1 x 4 6 x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arcsl biggl frac sqrt 2 x sqrt sqrt x 4 6x 2 1 x 2 1 biggr frac 1 sqrt x 4 6x 2 1 nbsp d d x 2 arcsl x x 4 1 1 1 x 4 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x sqrt 2 operatorname arcsl biggl frac x sqrt sqrt x 4 1 1 biggr frac 1 sqrt x 4 1 nbsp d d x 2 arcsl 2 x 1 x 2 1 x 2 1 1 x 4 3 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x sqrt 2 operatorname arcsl left frac sqrt 2 x sqrt 1 x 2 sqrt 1 x 2 right frac 1 sqrt 4 1 x 4 3 nbsp d d x arcsl x x 4 1 4 1 x 4 1 3 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arcsl biggl frac x sqrt 4 x 4 1 biggr frac 1 sqrt 4 x 4 1 3 nbsp d d x 2 arcsl x 1 1 x 2 1 1 x 2 3 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x 2 operatorname arcsl biggl frac x 1 sqrt 1 x 2 biggr frac 1 sqrt 4 1 x 2 3 nbsp d d x 2 arcsl x x 2 1 1 1 x 2 1 3 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x 2 operatorname arcsl biggl frac x sqrt x 2 1 1 biggr frac 1 sqrt 4 x 2 1 3 nbsp d d x 2 2 4 a 2 c a b 2 4 arcsl 2 a x b 4 a a x 2 b x c 4 a c b 2 1 a x 2 b x c 3 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x frac 2 sqrt 2 sqrt 4 4a 2 c ab 2 operatorname arcsl biggl frac 2ax b sqrt 4a ax 2 bx c sqrt 4ac b 2 biggr frac 1 sqrt 4 ax 2 bx c 3 nbsp d d x 2 arcsl tanh x 2 sech x displaystyle frac mathrm d mathrm d x 2 operatorname arcsl tanh x 2 sqrt operatorname sech x nbsp d d x 2 arcsl tan x 2 sec x displaystyle frac mathrm d mathrm d x 2 operatorname arcsl tan x 2 sqrt sec x nbsp Komplementarer lemniskatischer Arkussinus BearbeitenDefinition des komplementaren lemniskatischen Arkussinus Bearbeiten Der komplementare lemniskatische Arkussinus beziehungsweise Lemniskatische Arkussinus zweiter Art ist so definiert arcsl r 0 r 1 r 2 1 r 4 d r displaystyle operatorname arcsl r int 0 r frac 1 rho 2 sqrt 1 rho 4 mathrm d rho nbsp Daraus folgt d d r arcsl r 1 r 2 1 r 4 1 r 2 1 r 2 1 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d r operatorname arcsl r frac 1 r 2 sqrt 1 r 4 biggl frac 1 r 2 1 r 2 biggr 1 2 nbsp Somit hat der komplementare Arkussinus Lemniscatus auch diese Identitat zu den unvollstandigen elliptischen Integralen zweiter Art arcsl r 2 E 1 2 2 2 E arccos r 1 2 2 displaystyle operatorname arcsl r sqrt 2 E bigl tfrac 1 2 sqrt 2 bigr sqrt 2 E bigl arccos r tfrac 1 2 sqrt 2 bigr nbsp Analog gilt fur den regularen lemniskatischen Arkussinus diese Formel arcsl r 1 2 2 K 1 2 2 1 2 2 F arccos r 1 2 2 displaystyle operatorname arcsl r tfrac 1 2 sqrt 2 K bigl tfrac 1 2 sqrt 2 bigr tfrac 1 2 sqrt 2 F bigl arccos r tfrac 1 2 sqrt 2 bigr nbsp Legendresche Identitat Bearbeiten Der lemniskatische Fall fur die Legendresche Identitat kann basierend auf den genannten Definitionen so hergeleitet werden Gegeben ist diese Formel welche durch die Integration mit den genannten lemniskatischen Bogenmassfunktionen als Stammfunktionen direkt gezeigt werden kann 1 1 x 4 arcsl x 1 x 2 1 x 4 arcsl x 0 1 x 3 y 2 1 1 x 4 1 x 4 y 4 d y displaystyle frac 1 sqrt 1 x 4 operatorname arcsl x frac 1 x 2 sqrt 1 x 4 operatorname arcsl x int 0 1 frac x 3 y 2 1 sqrt 1 x 4 1 x 4 y 4 mathrm d y nbsp Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezuglich x entsteht folgender Ausdruck arcsl x arcsl x arcsl x 0 1 y 2 1 2 y 2 artanh y 2 artanh 1 x 4 y 2 1 x 4 y 4 d y displaystyle operatorname arcsl x bigl operatorname arcsl x operatorname arcsl x bigr int 0 1 frac y 2 1 2 y 2 biggl operatorname artanh y 2 operatorname artanh bigl frac sqrt 1 x 4 y 2 sqrt 1 x 4 y 4 bigr biggr mathrm d y nbsp Durch Einsatz des Wertes x 1 displaystyle x 1 nbsp entsteht dann diese Formel ϖ 2 arcsl 1 ϖ 2 0 1 y 2 1 2 y 2 artanh y 2 d y p 4 displaystyle frac varpi 2 biggl operatorname arcsl 1 frac varpi 2 biggr int 0 1 frac y 2 1 2 y 2 operatorname artanh y 2 mathrm d y frac pi 4 nbsp Daraus ergibt sich der folgende Wert fur den komplementaren Arkussinus Lemniscatus arcsl 1 ϖ 2 p 2 ϖ 1 910 098894513856 displaystyle operatorname arcsl 1 frac varpi 2 frac pi 2 varpi approx 1 910098894513856 nbsp Dann gilt auch 0 1 1 r 2 1 r 4 d r ϖ 2 p 2 ϖ displaystyle int 0 1 frac 1 rho 2 sqrt 1 rho 4 mathrm d rho frac varpi 2 frac pi 2 varpi nbsp Weblinks Bearbeitenhttps mathworld wolfram com LemniscateFunction html https mathworld wolfram com EllipticIntegral html https mathworld wolfram com LemniscateConstant html https mathworld wolfram com Lemniscate html https math stackexchange com questions 189806 deriving the addition formula for the lemniscate functions from a total differen https core ac uk download pdf 81163328 pdf http ilirias com jiasf repository docs JIASF1 2 1 pdf https arxiv org pdf 2006 15529 pdf https digitalcommons ursinus edu cgi viewcontent cgi article 1003 amp context triumphs calculus https archive lib msu edu crcmath math math l l200 htm https download uni mainz de mathematik Algebraische 20Geometrie Euler Kreis 20Mainz E252 Englisch pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemniskatischer Arkussinus amp oldid 239516450
