Die Legendresche Identitat oder auch Legendresche Relation ist eine mathematische Identitat aus der Infinitesimalrechnung Sie handelt von vollstandigen Elliptischen Integralen erster und zweiter Art Diese Identitat wurde vom franzosischen Mathematiker Adrien Marie Legendre entdeckt und nach diesem benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Geschichte 3 Beweisfuhrung 3 1 Spezielle Legendresche Identitat fur den lemniskatischen Fall 3 2 Verallgemeinerung fur den nicht lemniskatischen Gesamtfall 4 Anwendung 4 1 Reihe fur den Kehrwert der Kreiszahl 4 2 Ableitung vom elliptischen Nomen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFolgende Formel definiert und beschreibt die Legendresche Identitat K e E 1 e 2 E e K 1 e 2 K e K 1 e 2 1 2 p displaystyle K varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 E varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 tfrac 1 2 pi nbsp Diese Formel ist fur alle reellen Werte 0 lt e lt 1 gultig Sie stellt die vollstandigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art von einem elliptischen Modul e und dessen Pythagoraischen Gegenstuck zueinander in Beziehung In leicht abgewandelter Form kann die Legendresche Identitat fur denselben Definitionsbereich von e auch in Bezug auf tangentielle Gegenstucke von elliptischen Modulen formuliert werden 1 e K e E 1 e 1 e 2 1 e E e K 1 e 1 e 2 K e K 1 e 1 e 1 2 p displaystyle 1 varepsilon K varepsilon E tfrac 1 varepsilon 1 varepsilon tfrac 2 1 varepsilon E varepsilon K tfrac 1 varepsilon 1 varepsilon 2K varepsilon K tfrac 1 varepsilon 1 varepsilon tfrac 1 2 pi nbsp Die vollstandigen elliptischen Integrale selbst sind so definiert K e 0 p 2 1 1 e 2 sin f 2 d f 2 0 1 1 x 2 1 2 4 e 2 x 2 d x displaystyle K varepsilon int 0 pi 2 frac 1 sqrt 1 varepsilon 2 sin varphi 2 mathrm d varphi 2 int 0 1 frac 1 sqrt x 2 1 2 4 varepsilon 2 x 2 mathrm d x nbsp E e 0 p 2 1 e 2 sin f 2 d f 2 0 1 x 2 1 2 4 e 2 x 2 x 2 1 2 d x displaystyle E varepsilon int 0 pi 2 sqrt 1 varepsilon 2 sin varphi 2 mathrm d varphi 2 int 0 1 frac sqrt x 2 1 2 4 varepsilon 2 x 2 x 2 1 2 mathrm d x nbsp Nach einer exemplarischen Ausfuhrung der obersten Formel uber die Pythagoraischen Gegenstucke gilt somit beispielsweise K 3 5 E 4 5 E 3 5 K 4 5 K 3 5 K 4 5 1 2 p displaystyle K tfrac 3 5 E tfrac 4 5 E tfrac 3 5 K tfrac 4 5 K tfrac 3 5 K tfrac 4 5 tfrac 1 2 pi nbsp Und nach einer exemplarischen Ausfuhrung der zweitobersten Formel uber die tangentiellen Gegenstucke gilt zum Beispiel 4 3 K 1 3 E 1 2 3 2 E 1 3 K 1 2 2 K 1 3 K 1 2 1 2 p displaystyle tfrac 4 3 K tfrac 1 3 E tfrac 1 2 tfrac 3 2 E tfrac 1 3 K tfrac 1 2 2K tfrac 1 3 K tfrac 1 2 tfrac 1 2 pi nbsp Geschichte BearbeitenDer Mathematiker Adrien Marie Legendre schrieb in seinem Werk Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures aus dem Jahre 1811 den in der soeben genannten Definition beschriebenen Zusammenhang nieder In diesem Werk grundete er die sogenannte Legendresche Normalform Darin fuhrte er auch die Aufteilung der elliptischen Integrale in drei Kategorien 1 ein namlich in die erster Art zweiter Art und dritter Art Zu dieser Zeit gehorte Legendre der Academie des sciences in Paris 2 an In einem weiteren Werk Traite des fonctions elliptiques et des integrales euleriennes aus dem Jahre 1825 leitete er seine Identitat noch ausfuhrlicher her In dem Werk analysierte er vor allem die Additionstheoreme 3 der elliptischen Funktionen Beweisfuhrung BearbeitenSpezielle Legendresche Identitat fur den lemniskatischen Fall Bearbeiten Fur den lemniskatischen Fall ist das elliptische Modul beziehungsweise die spezifische Exzentrizitat e gleich der Halfte der Quadratwurzel aus zwei Die elliptischen Integrale erster Art handeln von den Bogenmassen der Lemniskate von Bernoulli und die elliptischen Integrale zweiter Art von den Bogenmassen einer Ellipse mit der Quadratwurzel aus zwei als zugehoriges Halbachsenverhaltnis Die Legendresche Identitat fur den lemniskatischen Fall kann so bewiesen werden Nach der Kettenregel gelten diese vier Ableitungen d d y K 1 2 2 F arccos x y 1 2 2 2 x 1 x 4 y 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d y K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr F biggl arccos xy frac 1 2 sqrt 2 biggr frac sqrt 2 x sqrt 1 x 4 y 4 nbsp d d y 2 E 1 2 2 K 1 2 2 2 E arccos x y 1 2 2 F arccos x y 1 2 2 2 x 3 y 2 1 x 4 y 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d y 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2E biggl arccos xy frac 1 2 sqrt 2 biggr F biggl arccos xy frac 1 2 sqrt 2 biggr frac sqrt 2 x 3 y 2 sqrt 1 x 4 y 4 nbsp d d x 1 y 2 y 2 1 artanh y 2 artanh 1 x 4 y 2 1 x 4 y 4 2 x 3 y 2 1 1 x 4 1 x 4 y 4 displaystyle frac mathrm d mathrm d x frac 1 y 2 y 2 1 biggl text artanh bigl y 2 bigr text artanh biggl frac sqrt 1 x 4 y 2 sqrt 1 x 4 y 4 biggr biggr biggr frac 2 x 3 y 2 1 sqrt 1 x 4 1 x 4 y 4 nbsp d d y 2 arctan y 1 y 1 y 2 artanh y 2 1 y 2 y 2 1 artanh y 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d y biggl 2 arctan y frac 1 y 1 y 2 text artanh y 2 biggr frac 1 y 2 y 2 1 operatorname artanh y 2 nbsp Dann ist folgende Formel gultig 2 1 x 4 2 E 1 2 2 K 1 2 2 2 E arccos x 1 2 2 F arccos x 1 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 1 x 4 biggl 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2E biggl arccos x frac 1 2 sqrt 2 biggr F biggl arccos x frac 1 2 sqrt 2 biggr biggr nbsp 2 x 2 1 x 4 K 1 2 2 F arccos x 1 2 2 0 1 2 x 3 y 2 1 1 x 4 1 x 4 y 4 d y displaystyle frac sqrt 2 x 2 sqrt 1 x 4 biggl K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr F biggl arccos x frac 1 2 sqrt 2 biggr biggr int 0 1 frac 2 x 3 y 2 1 sqrt 1 x 4 1 x 4 y 4 mathrm d y nbsp Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion bezuglich x von der nun gezeigten Funktion entsteht diese Formel K 1 2 2 F arccos x 1 2 2 2 E 1 2 2 K 1 2 2 2 E arccos x 1 2 2 F arccos x 1 2 2 displaystyle biggl K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr F biggl arccos x frac 1 2 sqrt 2 biggr biggr biggl 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2E biggl arccos x frac 1 2 sqrt 2 biggr F biggl arccos x frac 1 2 sqrt 2 biggr biggr nbsp 0 1 1 y 2 y 2 1 artanh y 2 artanh 1 x 4 y 2 1 x 4 y 4 d y displaystyle int 0 1 frac 1 y 2 y 2 1 biggl text artanh y 2 text artanh bigl frac sqrt 1 x 4 y 2 sqrt 1 x 4 y 4 bigr biggr mathrm d y nbsp Nach der Regel von de L Hospital gilt lim y 0 1 y 1 y 2 artanh y 2 0 displaystyle lim y rightarrow 0 frac 1 y 1 y 2 text artanh y 2 0 nbsp lim y 1 1 y 1 y 2 artanh y 2 0 displaystyle lim y rightarrow 1 frac 1 y 1 y 2 text artanh y 2 0 nbsp Wenn der Wert x 1 displaystyle x 1 nbsp in die zuletzt genannte Integralidentitat eingesetzt wird dann entsteht folgende Identitat K 1 2 2 2 E 1 2 2 K 1 2 2 0 1 1 y 2 y 2 1 artanh y 2 d y displaystyle K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr biggl 2 E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr biggr int 0 1 frac 1 y 2 y 2 1 text artanh y 2 mathrm d y nbsp 2 arctan y 1 y 1 y 2 artanh y 2 y 0 y 1 2 arctan 1 p 2 displaystyle biggl 2 arctan y frac 1 y 1 y 2 text artanh y 2 biggr y 0 y 1 2 arctan 1 frac pi 2 nbsp So kommt dann dieser Ausschnitt aus der Legendreschen Identitat hervor 2 E 1 2 2 K 1 2 2 K 1 2 2 2 p 2 displaystyle 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2 frac pi 2 nbsp Verallgemeinerung fur den nicht lemniskatischen Gesamtfall Bearbeiten Nach der soeben durchgefuhrten Herleitung gilt das genannte Resultat 2 E 1 2 2 K 1 2 2 K 1 2 2 2 p 2 displaystyle 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2 frac pi 2 nbsp Nun soll im Folgenden der modulare Allgemeinfall bewiesen werden Hierfur werden die Ableitungen der vollstandigen elliptischen Integrale hergeleitet Und im Anschluss wird die Ableitung der Legendreschen Identitatsbilanz ermittelt Beweis fur die Ableitung des elliptischen Integrals erster Art d d e K e d d e 0 1 1 1 x 2 1 e 2 x 2 d x 0 1 d d e 1 1 x 2 1 e 2 x 2 d x 0 1 e x 2 1 x 2 1 e 2 x 2 3 d x displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon K varepsilon frac mathrm d mathrm d varepsilon int 0 1 frac 1 sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 mathrm d x int 0 1 frac mathrm d mathrm d varepsilon frac 1 sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 mathrm d x int 0 1 frac varepsilon x 2 sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 3 mathrm d x nbsp 0 1 1 e 2 x 2 e 1 e 2 1 x 2 d x 0 1 1 e 1 x 2 1 e 2 x 2 d x 0 1 e 1 2 x 2 e 2 x 4 1 e 2 1 x 2 1 e 2 x 2 3 d x displaystyle int 0 1 frac sqrt 1 varepsilon 2 x 2 varepsilon 1 varepsilon 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x int 0 1 frac 1 varepsilon sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 mathrm d x int 0 1 frac varepsilon 1 2x 2 varepsilon 2 x 4 1 varepsilon 2 sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 3 mathrm d x nbsp 1 e 1 e 2 E e 1 e K e 0 1 d d x e x 1 x 2 1 e 2 1 e 2 x 2 d x 1 e 1 e 2 E e 1 e 2 K e displaystyle frac 1 varepsilon 1 varepsilon 2 E varepsilon frac 1 varepsilon K varepsilon int 0 1 frac mathrm d mathrm d x frac varepsilon x sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 sqrt 1 varepsilon 2 x 2 mathrm d x frac 1 varepsilon 1 varepsilon 2 bigl E varepsilon 1 varepsilon 2 K varepsilon bigr nbsp Beweis fur die Ableitung des elliptischen Integrals zweiter Art d d e E e d d e 0 1 1 e 2 x 2 1 x 2 d x 0 1 d d e 1 e 2 x 2 1 x 2 d x 0 1 e x 2 1 x 2 1 e 2 x 2 d x displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon E varepsilon frac mathrm d mathrm d varepsilon int 0 1 frac sqrt 1 varepsilon 2 x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x int 0 1 frac mathrm d mathrm d varepsilon frac sqrt 1 varepsilon 2 x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x int 0 1 frac varepsilon x 2 sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 mathrm d x nbsp 0 1 1 e 1 x 2 1 e 2 x 2 d x 0 1 1 e 2 x 2 e 1 x 2 d x 1 e K e E e displaystyle int 0 1 frac 1 varepsilon sqrt 1 x 2 1 varepsilon 2 x 2 mathrm d x int 0 1 frac sqrt 1 varepsilon 2 x 2 varepsilon sqrt 1 x 2 mathrm d x frac 1 varepsilon bigl K varepsilon E varepsilon bigr nbsp Fur die Pythagoraischen Gegenmodule gilt mit der Kettenregel dann d d e K 1 e 2 1 e 1 e 2 e 2 K 1 e 2 E 1 e 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 frac 1 varepsilon 1 varepsilon 2 bigl varepsilon 2 K sqrt 1 varepsilon 2 E sqrt 1 varepsilon 2 bigr nbsp d d e E 1 e 2 e 1 e 2 K 1 e 2 E 1 e 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 frac varepsilon 1 varepsilon 2 bigl K sqrt 1 varepsilon 2 E sqrt 1 varepsilon 2 bigr nbsp Denn die Ableitung der Kreisfunktion ist das negative Produkt aus der identischer Abbildungsfunktion und dem Kehrwert der Kreisfunktion Die Legendresche Identitat beinhaltet Produkte von jeweils zwei vollstandigen elliptischen Integralen Fur die Ableitung der Funktionsseite von der Gleichungswaage der Legendreschen Identitat wird die Produktregel im nun Folgenden angewendet d d e K e E 1 e 2 1 e 1 e 2 E e E 1 e 2 K e E 1 e 2 e 2 K e K 1 e 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon K varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 frac 1 varepsilon 1 varepsilon 2 bigl E varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 K varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 varepsilon 2 K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 bigr nbsp d d e E e K 1 e 2 1 e 1 e 2 E e E 1 e 2 E e K 1 e 2 1 e 2 K e K 1 e 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon E varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 frac 1 varepsilon 1 varepsilon 2 bigl E varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 E varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 1 varepsilon 2 K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 bigr nbsp d d e K e K 1 e 2 1 e 1 e 2 E e K 1 e 2 K e E 1 e 2 1 2 e 2 K e K 1 e 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 frac 1 varepsilon 1 varepsilon 2 bigl E varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 K varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 1 2 varepsilon 2 K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 bigr nbsp Wenn von diesen drei Gleichungen die beiden oberen Gleichungen addiert werden und die unterste Gleichung subtrahiert wird dann entsteht dieses Resultat d d e K e E 1 e 2 E e K 1 e 2 K e K 1 e 2 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d varepsilon bigl K varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 E varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 bigr 0 nbsp Bezuglich e ergibt die Bilanz konstant den Wert Null Fur den Modul e 1 sqrt 2 gilt das zuvor ermittelte Resultat 2 E 1 2 2 K 1 2 2 K 1 2 2 2 p 2 displaystyle 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2 frac pi 2 nbsp Die Kombination der beiden zuletzt genannten Formeln ruft folgendes Ergebnis hervor K e E 1 e 2 E e K 1 e 2 K e K 1 e 2 1 2 p displaystyle K varepsilon E sqrt 1 varepsilon 2 E varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 tfrac 1 2 pi nbsp Denn wenn die Ableitung einer kontinuierlichen Funktion konstant den Wert Null annimmt dann ist die betroffene Funktion eine konstante Funktion Das bedeutet dass diese Funktion fur jeden Abszissenwert e den gleichen Funktionswert ergibt und der zugehorige Funktionsgraph somit eine waagrechte Gerade ist Anwendung BearbeitenReihe fur den Kehrwert der Kreiszahl Bearbeiten Gultig sind diese Maclaurinschen Reihen fur alle reellen Werte 1 lt e lt 1 K e p 2 k 0 1 16 k 2 k k 2 e 2 k displaystyle K varepsilon frac pi 2 sum k 0 infty frac 1 16 k binom 2k k 2 varepsilon 2k nbsp E e p 2 k 0 1 16 k 1 2 k 2 k k 2 e 2 k displaystyle E varepsilon frac pi 2 sum k 0 infty frac 1 16 k 1 2k binom 2k k 2 varepsilon 2k nbsp Deswegen gilt auch jenes Formelpaar K 1 2 2 p 2 k 0 1 32 k 2 k k 2 displaystyle K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr frac pi 2 sum k 0 infty frac 1 32 k binom 2k k 2 nbsp E 1 2 2 p 2 k 0 1 32 k 1 2 k 2 k k 2 displaystyle E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr frac pi 2 sum k 0 infty frac 1 32 k 1 2k binom 2k k 2 nbsp Diese beiden Formeln konnen in jene Formel eingesetzt werden 2 E 1 2 2 K 1 2 2 K 1 2 2 2 p 2 displaystyle 2E bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr 2 frac pi 2 nbsp Dann kann folgende Reihenentwicklung synthetisiert werden k 0 1 32 k 2 k k 2 k 0 1 2 k 32 k 1 2 k 2 k k 2 2 p displaystyle biggl sum k 0 infty frac 1 32 k binom 2k k 2 biggr biggl sum k 0 infty frac 1 2k 32 k 1 2k binom 2k k 2 biggr frac 2 pi nbsp Die Konvergenzgeschwindigkeit fur diese Reihenformel verhalt sich bezuglich der Nachkommastellen linear Obergrenze vom Index Wert der Summe Dezimale Nachkommastellen0 1 11 45 64 0 703125002 43065 65536 0 657119753 2701125 4194304 0 643998384 43945661025 68719476736 0 639493535 2805051005757 4398046511104 0 63779475Die Nachkommastellenresultate wurden durch Abrundung hervorgerufen Der Bruch 2 p hat die folgenden ersten dezimalen Nachkommastellen 2 p 0 636 619772367581343 displaystyle frac 2 pi approx 0 636619772367581343 nbsp Ableitung vom elliptischen Nomen Bearbeiten Das elliptische Nomen ist so definiert q x exp p K 1 x 2 K x 1 displaystyle q x exp bigl pi K sqrt 1 x 2 K x 1 bigr nbsp Fur die Ableitung des vollstandigen elliptischen Integrals erster Art gilt diese Formel d d x K x 1 x 1 x 2 E x 1 x 2 K x displaystyle frac mathrm d mathrm d x K x frac 1 x 1 x 2 bigl E x 1 x 2 K x bigr nbsp Mit der Kettenregel und der Quotientenregel kann dann die Ableitung des elliptischen Nomens ermittelt werden d d x q x d d x exp p K 1 x 2 K x 1 d d x p K 1 x 2 K x exp p K 1 x 2 K x 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x q x frac mathrm d mathrm d x exp bigl pi K sqrt 1 x 2 K x 1 bigr biggl frac mathrm d mathrm d x frac pi K sqrt 1 x 2 K x biggr exp bigl pi K sqrt 1 x 2 K x 1 bigr nbsp d d x p K 1 x 2 K x q x p x 1 x 2 K x 2 K x E 1 x 2 E x K 1 x 2 K x K 1 x 2 q x displaystyle biggl frac mathrm d mathrm d x frac pi K sqrt 1 x 2 K x biggr q x frac pi x 1 x 2 K x 2 bigl K x E sqrt 1 x 2 E x K sqrt 1 x 2 K x K sqrt 1 x 2 bigr q x nbsp p 2 2 x 1 x 2 K x 2 q x displaystyle frac pi 2 2x 1 x 2 K x 2 q x nbsp Das elliptische Nomen stellt die Beziehung zwischen der Jacobischen Thetafunktion und dem vollstandigen elliptischen Integral erster Art her ϑ 00 q x n 1 1 q x 2 n 1 q x 2 n 1 2 2 p 1 K x displaystyle vartheta 00 q x prod n 1 infty bigl 1 q x 2n bigr bigl 1 q x 2n 1 bigr 2 sqrt 2 pi 1 K x nbsp ϑ 01 q x n 1 1 q x 2 n 1 q x 2 n 1 2 1 x 2 4 2 p 1 K x displaystyle vartheta 01 q x prod n 1 infty bigl 1 q x 2n bigr bigl 1 q x 2n 1 bigr 2 sqrt 4 1 x 2 sqrt 2 pi 1 K x nbsp Literatur BearbeitenDuren Peter 1991 The Legendre relation for elliptic integrals in Ewing John H Gehring F W eds Paul Halmos Celebrating 50 years of mathematics New York Springer Verlag pp 305 315 doi 10 1007 978 1 4612 0967 6 32 ISBN 0 387 97509 8 MR 1113282Karatsuba E A Vuorinen M 2001 On hypergeometric functions and generalizations of Legendre s relation J Math Anal Appl 260 2 623 640 MR 1845572Legendre A M 1811 Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures vol I ParisLegendre A M 1825 Traite des fonctions elliptiques et des integrales euleriennes vol I ParisEinzelnachweise Bearbeiten Elliptic Integrals and Elliptic Functions a brief history Abgerufen am 24 Februar 2022 Adrien Marie Legendre RiskNET Abgerufen am 24 Februar 2022 Legendre Adrien Marie Traite des fonctions elliptiques et des integrales Euleriennes avec des tables pour en faciliter le cacul numerique T 1 Theorie des fonctions elliptiques et son application a differens problemes de geometrie et de mecanique Abgerufen am 24 Februar 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Legendresche Identitat amp oldid 230743175
