Die Lerchsche Zeta Funktion nach Mathias Lerch ist eine sehr allgemeine Zeta Funktion Sehr viele Reihen reziproker Potenzen einschliesslich der hurwitzschen Zeta Funktion und des Polylogarithmus konnen als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Spezialfalle und spezielle Werte 3 Weitere Formeln 3 1 Integraldarstellungen 3 2 Reihendarstellungen 3 3 Identitaten und weitere Formeln 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition L l s a n 0 exp 2 p i l n n a s displaystyle L lambda s alpha sum n 0 infty frac exp 2 pi i lambda n n alpha s nbsp Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert F z s a n 0 z n n a s displaystyle Phi z s alpha sum n 0 infty frac z n n alpha s nbsp Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta Funktionen bezeichnet Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben F exp 2 p i l s a L l s a displaystyle Phi exp 2 pi i lambda s alpha L lambda s alpha nbsp Spezialfalle und spezielle Werte BearbeitenDie Hurwitzsche Zeta Funktion z s n L 0 s n F 1 s n displaystyle zeta s n L 0 s n Phi 1 s n nbsp Der Polylogarithmus Li s z z F z s 1 displaystyle textrm Li s z z Phi z s 1 nbsp Die Legendresche Chi Funktion x n z 2 n z F z 2 n 1 2 displaystyle chi n z 2 n z Phi z 2 n tfrac 1 2 nbsp Die Riemannsche z Funktion z s F 1 s 1 displaystyle zeta s Phi 1 s 1 nbsp Die Dirichletsche h Funktion h s F 1 s 1 displaystyle eta s Phi 1 s 1 nbsp Die Dirichletsche Beta Funktion b s 2 s F 1 s 1 2 displaystyle beta s 2 s Phi 1 s tfrac 1 2 nbsp Ausserdem gelten folgende Spezialfalle Auswahl 1 F z s 1 L i s z z displaystyle Phi z s 1 frac mathrm Li s z z nbsp F z 0 a 1 1 z displaystyle Phi z 0 a frac 1 1 z nbsp F 0 s a a 2 s 2 displaystyle Phi 0 s a left a 2 right frac s 2 nbsp F 0 s a a s displaystyle Phi 0 s a a s nbsp F z 1 1 log 1 z z displaystyle Phi z 1 1 frac log 1 z z nbsp F 1 s 1 2 2 s 1 z s displaystyle Phi 1 s tfrac 1 2 2 s 1 zeta s nbsp F 1 s 1 1 2 1 s z s displaystyle Phi 1 s 1 1 2 1 s zeta s nbsp F 0 1 a 1 a 2 displaystyle Phi 0 1 a frac 1 sqrt a 2 nbsp Ferner ist F 1 2 1 2 4 G F s 1 1 1 log A 3 2 3 e 4 F s 1 2 1 7 z 3 4 p 2 F s 1 1 1 2 G p displaystyle begin aligned amp Phi 1 2 tfrac 1 2 amp amp 4 G amp frac partial Phi partial s 1 1 1 amp amp log left frac A 3 sqrt 3 2 sqrt 4 mathrm e right amp frac partial Phi partial s 1 2 1 amp amp frac 7 zeta 3 4 pi 2 amp frac partial Phi partial s 1 1 tfrac 1 2 amp amp frac G pi end aligned nbsp mit der catalanschen Konstanten G displaystyle G nbsp der Glaisher Kinkelin Konstanten A displaystyle A nbsp und der Apery Konstanten z 3 displaystyle zeta 3 nbsp der Riemannschen Zeta Funktion Weitere Formeln BearbeitenIntegraldarstellungen Bearbeiten Eine mogliche Integraldarstellung lautet F z s a 1 G s 0 t s 1 e a t 1 z e t d t displaystyle Phi z s a frac 1 Gamma s int limits 0 infty frac t s 1 mathrm e at 1 z mathrm e t mathrm d t qquad quad nbsp fur R e a gt 0 und R e s gt 0 und z lt 1 oder R e a gt 0 und R e s gt 1 und z 1 displaystyle begin cases amp mathrm Re a gt 0 text und mathrm Re s gt 0 text und z lt 1 text oder amp mathrm Re a gt 0 text und mathrm Re s gt 1 text und z 1 end cases nbsp Das Kurvenintegral F z s a G 1 s 2 p i 0 t s 1 e a t 1 z e t d t displaystyle Phi z s a frac Gamma 1 s 2 pi i int limits 0 infty frac t s 1 mathrm e a t 1 z mathrm e t mathrm d t nbsp mit R e a gt 0 R e s lt 0 z lt 1 displaystyle mathrm Re a gt 0 mathrm Re s lt 0 z lt 1 nbsp darf die Punkte t log z 2 k p i k Z displaystyle t log z 2 k pi i k in mathbb Z nbsp nicht enthalten Ferner ist F z s a 1 2 a s 0 z t a t s d t 2 a s 1 0 sin s arctan t a t log z 1 t 2 s 2 e 2 p a t 1 d t displaystyle Phi z s a frac 1 2 a s int limits 0 infty frac z t a t s mathrm d t frac 2 a s 1 int limits 0 infty frac sin s arctan t a t log z 1 t 2 s 2 cdot mathrm e 2 pi a t 1 mathrm d t nbsp fur R e a gt 0 displaystyle mathrm Re a gt 0 nbsp und z lt 1 displaystyle z lt 1 nbsp Ebenso ist F z s a 1 2 a s log s 1 1 z z a G 1 s a log 1 z 2 a s 1 0 sin s arctan t a t log z 1 t 2 s 2 e 2 p a t 1 d t displaystyle Phi z s a frac 1 2 a s frac log s 1 dfrac 1 z z a Gamma 1 s a log dfrac 1 z frac 2 a s 1 int limits 0 infty frac sin s arctan t a t log z 1 t 2 s 2 cdot mathrm e 2 pi a t 1 mathrm d t nbsp fur R e a gt 0 displaystyle mathrm Re a gt 0 nbsp Reihendarstellungen Bearbeiten Eine Reihendarstellung fur die Lerchsche Zeta Funktion ist F z s q 1 1 z n 0 z 1 z n k 0 n 1 k n k q k s displaystyle Phi z s q frac 1 1 z sum n 0 infty left frac z 1 z right n sum k 0 n 1 k n choose k q k s nbsp Sie gilt fur alle s displaystyle s nbsp und komplexe z displaystyle z nbsp mit R e z lt 1 2 displaystyle mathrm Re z lt tfrac 1 2 nbsp man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta Funktion Falls s displaystyle s nbsp positiv und ganz ist gilt F z n a z a k 0 k n 1 z n k a log k z k PS n PS a log log z log n 1 z n 1 displaystyle Phi z n a z a left sum k 0 atop k neq n 1 infty zeta n k a frac log k z k left Psi n Psi a log log z right frac log n 1 z n 1 right nbsp Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch F z s a x k 0 F z s k a s k x k k displaystyle Phi z s a x sum k 0 infty Phi z s k a s k frac x k k nbsp fur x lt R e a displaystyle x lt mathrm Re a nbsp unter Verwendung des Pochhammer Symbol s k displaystyle s k nbsp gegeben Im Grenzwert a n displaystyle a rightarrow n nbsp gilt F z s a k 0 n z k a k s z n m 0 1 m s m L i s m z a n m m displaystyle Phi z s a sum k 0 n frac z k a k s z n sum m 0 infty 1 m s m mathrm Li s m z frac a n m m nbsp Der Spezialfall n 0 displaystyle n 0 nbsp hat folgende Reihe F z s a 1 a s m 0 1 m s m L i s m z a m m displaystyle Phi z s a frac 1 a s sum m 0 infty 1 m s m mathrm Li s m z frac a m m nbsp fur a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp Die asymptotische Entwicklung fur s displaystyle s rightarrow infty nbsp ist gegeben durch F z s a z a G 1 s k 2 k p i log z s 1 e 2 k p a i displaystyle Phi z s a z a Gamma 1 s sum k infty infty left 2 k pi i log z right s 1 mathrm e 2 k pi a i nbsp fur a lt 1 R e s lt 0 z 0 displaystyle a lt 1 mathrm Re s lt 0 z notin infty 0 nbsp und F z s a z a G 1 s k 2 k 1 p i log z s 1 e 2 k 1 p a i displaystyle Phi z s a z a Gamma 1 s sum k infty infty left 2 k 1 pi i log z right s 1 mathrm e 2 k 1 pi a i nbsp wenn a lt 1 R e s lt 0 z 0 displaystyle a lt 1 mathrm Re s lt 0 z notin 0 infty nbsp Unter Verwendung der unvollstandigen Gammafunktion gilt F z s a 1 2 a s 1 z a k 1 e 2 p i k 1 a G 1 s a 2 p i k 1 log z 2 p i k 1 log z 1 s e 2 p i k a G 1 s a 2 p i k log z 2 p i k log z 1 s displaystyle Phi z s a frac 1 2 a s frac 1 z a sum k 1 infty frac mathrm e 2 pi i k 1 a Gamma 1 s a 2 pi i k 1 log z 2 pi i k 1 log z 1 s frac mathrm e 2 pi i k a Gamma 1 s a 2 pi i k log z 2 pi i k log z 1 s nbsp mit a lt 1 displaystyle a lt 1 nbsp und R e s lt 0 displaystyle mathrm Re s lt 0 nbsp Identitaten und weitere Formeln Bearbeiten F z s a z n F z s a n k 0 n 1 z k k a s displaystyle Phi z s a z n Phi z s a n sum k 0 n 1 frac z k k a s nbsp F z s 1 a a z z F z s a displaystyle Phi z s 1 a left a z frac partial partial z right Phi z s a nbsp F z s 1 a 1 s a F z s a displaystyle Phi z s 1 a frac 1 s frac partial partial a Phi z s a nbsp Ferner gilt fur die Integraldarstellung mit z C 1 und R e s gt 2 displaystyle z in mathbb C setminus 1 infty text und mathrm Re s gt 2 nbsp oder z 1 und Re s gt 1 displaystyle z 1 text und Re s gt 1 nbsp 2 0 1 0 1 x u 1 y v 1 1 x y z log x y s d x d y G s 1 F z s 1 v F z s 1 u u v displaystyle int limits 0 1 int limits 0 1 frac x u 1 cdot y v 1 1 x y z log x y s mathrm d x mathrm d y Gamma s 1 frac Phi z s 1 v Phi z s 1 u u v nbsp und 0 1 0 1 x y u 1 1 x y z log x y s d x d y G s F z s 2 u displaystyle int limits 0 1 int limits 0 1 frac x y u 1 1 x y z log x y s mathrm d x mathrm d y Gamma s Phi z s 2 u nbsp Literatur BearbeitenMathias Lerch Demonstration elementaire de la formule p 2 sin 2 p x n 1 x n 2 displaystyle textstyle frac pi 2 sin 2 pi x sum nu infty infty frac 1 x nu 2 nbsp L Enseignement Mathematique 5 1903 S 450 453 M Jackson On Lerch s transcendent and the basic bilateral hypergeometric series 2 ps 2 displaystyle 2 psi 2 nbsp J London Math Soc 25 3 1950 S 189 196 Jesus Guillera Jonathan Sondow Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch s transcendent In Ramanujan J Band 16 Nummer 3 2008 Seiten 247 270 vgl in arxiv Antanas Laurincikas und Ramunas Garunkstis The Lerch zeta function Dordrecht Kluwer Academic Publishers 2002 ISBN 978 1 4020 1014 9 onlineWeblinks BearbeitenRamunas Garunkstis Home Page Referenzensammlung Ramunas Garunkstis Approximation of the Lerch Zeta Function PDF 112 kB S Kanemitsu Y Tanigawa und H Tsukada A generalization of Bochner s formula undatiert 2005 oder fruher Memento vom 13 April 2014 im Internet Archive Eric W Weisstein Lerch Transcendent In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms LerchPhi 03 ShowAll html Guillera Sondow 2008 Theorem 3 1 siehe Lit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lerchsche Zeta Funktion amp oldid 239445847
