In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche h Funktion eine spezielle Funktion die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet 1805 1859 benannt ist Sie ist verwandt mit der Riemannschen z displaystyle zeta Funktion Die Dirichletsche h displaystyle eta Funktion in der komplexen Zahlenebene Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta h displaystyle eta notiert die Dedekindsche h Funktion eine Modulform wird ebenfalls so bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Euler Produkt 3 Funktionalgleichung 4 Verbindung zur Riemannschen z Funktion 5 Weitere Darstellungen 5 1 Integraldarstellung 5 2 Reihendarstellung 5 3 Produktdarstellung 6 Werte 6 1 Etafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen 6 2 Basler Problem 6 3 Etafunktion und Bernoulli Zahlen 7 Nullstellen 8 Ableitung 8 1 Ableitungsidentitat mit der Zeta Ableitung 8 2 Ableitungsidentitaten mit der Abel Plana Formel 8 3 Rechenbeispiele fur die Ableitung 8 4 Ableitungsidentitat mit der Digammafunktion 9 Stammfunktion 10 Dirichletsche und Riemannsche Funktionen 10 1 Verwandtschaften der Funktionen 10 2 Erzeugungsalgorithmus 10 3 Reihen mit den Dirichletschen Funktionen 11 Literatur 12 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Dirichletsche h displaystyle eta nbsp Funktion ist fur alle komplexen s displaystyle s nbsp mit Realteil grosser als 0 definiert uber die Dirichletreihe h s n 1 1 n 1 n s 1 1 2 s 1 3 s 1 4 s 1 5 s displaystyle eta s sum n 1 infty frac 1 n 1 n s 1 frac 1 2 s frac 1 3 s frac 1 4 s frac 1 5 s cdots nbsp Obwohl die Gultigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschrankt ist bildet er die Ausgangsbasis fur alle Darstellungen der h displaystyle eta nbsp Funktion Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden was eine Berechnung der h displaystyle eta nbsp Funktion fur alle beliebigen s displaystyle s nbsp gewahrleistet Euler Produkt BearbeitenIhre zahlentheoretische Bedeutung erhalt die h displaystyle eta nbsp Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen die sich fur Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 nbsp formelhaft durch das Euler Produkt h s 1 1 2 s 1 p p r i m 1 1 1 p s 1 1 2 s 1 1 1 1 2 s 1 1 3 s 1 1 5 s displaystyle eta s left 1 frac 1 2 s 1 right prod p mathrm prim frac 1 1 frac 1 p s left 1 frac 1 2 s 1 right cdot frac 1 1 frac 1 2 s 1 frac 1 3 s 1 frac 1 5 s cdots nbsp ausdrucken lasst Funktionalgleichung BearbeitenIn ganz C displaystyle mathbb C nbsp gilt die Identitat h 1 s 2 s 1 1 2 s 1 p s cos p s 2 G s h s displaystyle eta 1 s frac 2 s 1 1 2 s 1 pi s cos left frac pi s 2 right Gamma s eta s nbsp Verbindung zur Riemannschen z Funktion BearbeitenDie Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher h displaystyle eta nbsp und Riemannscher z displaystyle zeta nbsp Funktion lasst sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen Der h displaystyle eta nbsp Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu h s 2 n 1 1 2 n s h s 2 2 s z s n 1 1 n s z s displaystyle eta s 2 sum n 1 infty frac 1 2n s eta s frac 2 2 s zeta s sum n 1 infty frac 1 n s zeta s nbsp Daraus folgt der Zusammenhang h s 1 2 1 s z s displaystyle eta s 1 2 1 s cdot zeta s nbsp der in ganz C displaystyle mathbb C nbsp Gultigkeit behalt Weitere Darstellungen BearbeitenIntegraldarstellung Bearbeiten Eine Integraldarstellung fur alle Re s gt 0 displaystyle operatorname Re s gt 0 nbsp enthalt die Gammafunktion G s displaystyle Gamma s nbsp und lautet h s 1 G s 0 x s 1 e x 1 d x displaystyle eta s frac 1 Gamma s int limits 0 infty frac x s 1 e x 1 mathrm d x nbsp Dies kann als Mellin Transformation 1 von 1 e x 1 displaystyle tfrac 1 e x 1 nbsp verstanden werden Gultig fur alle s C displaystyle s in mathbb C nbsp sind diese beiden Formeln h s 1 2 2 s s 1 s 1 0 4 sin s arctan x x 2 1 s 2 e 2 p x 1 d x displaystyle eta s left dfrac 1 2 2 s right biggl frac s 1 s 1 int 0 infty frac 4 sin s arctan x x 2 1 s 2 e 2 pi x 1 mathrm d x biggr nbsp h s 1 2 0 sin s arctan x x 2 1 s 2 sinh p x d x displaystyle eta s frac 1 2 int 0 infty frac sin s arctan x x 2 1 s 2 sinh pi x mathrm d x nbsp Beide Formeln wurden durch den Mathematiker Niels Henrik Abel entdeckt und in seinem Werk Solution de quelques problemes a l aide d integrales definies ausfuhrlich behandelt Diese beiden Formeln stellen zwei Spezialfalle der generellen Abel Plana Summenformel dar Die erste Formel resultiert direkt aus der von den Mathematikern Borwein Bradley und Crandall behandelten Formel fur die Riemannsche Zetafunktion welche sie in ihrem Werk Computational strategies for the Riemann zeta function untersuchten Die zweite Formel entsteht durch Mellin Transformation der alternierenden Differenzdarstellung fur die Dirichletsche Etafunktion nach dem Muster der Abel Plana Formel Mit dem Sekans Hyperbolicus kann diese Darstellung hervorgerufen werden h s 2 s 1 G s 1 0 x s sech x 2 d x displaystyle eta s frac 2 s 1 Gamma s 1 int 0 infty x s operatorname sech x 2 mathrm d x nbsp Ausserdem gilt dieses Doppelintegral uber die Potenzen des naturlichen Logarithmus h s 1 G s 0 1 0 1 1 1 x y ln 1 x y s 2 d x d y displaystyle eta s frac 1 Gamma s int limits 0 1 int limits 0 1 frac 1 1 xy ln left frac 1 xy right s 2 mathrm d x mathrm d y nbsp Reihendarstellung Bearbeiten Eine in ganz C displaystyle mathbb C nbsp konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der eulerschen Reihentransformation h s n 0 1 2 n 1 k 0 n 1 k n k 1 k 1 s displaystyle eta s sum n 0 infty frac 1 2 n 1 sum k 0 n 1 k n choose k frac 1 k 1 s nbsp Produktdarstellung Bearbeiten Fur alle s C displaystyle s in mathbb C nbsp konvergiert das Hadamard Produkt 2 benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard h s 1 2 1 s 2 s 1 G 1 s 2 e ln 2 p 1 g 2 s r 1 s r e s r displaystyle eta s frac 1 2 1 s 2 s 1 Gamma 1 s 2 e ln 2 pi 1 gamma 2 s prod rho left 1 frac s rho right e s rho nbsp Es erstreckt sich uber alle nicht trivialen Nullstellen r displaystyle rho nbsp der h displaystyle eta nbsp Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard Produkt der Zeta Funktion ab Werte BearbeitenEtafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen Bearbeiten Es gilt h 0 1 2 displaystyle eta 0 tfrac 1 2 nbsp h 1 1 4 displaystyle eta 1 tfrac 1 4 nbsp Fur naturliche k displaystyle k nbsp gilt mit den Bernoulli Zahlen B k displaystyle B k nbsp h 1 k 2 k 1 k B k displaystyle eta 1 k frac 2 k 1 k B k nbsp Basler Problem Bearbeiten Der Wert h 2 ergibt p 12 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert bewiesen werden h 2 n 1 1 n 1 1 n 2 n 1 0 1 1 n 1 1 n x n 1 d x 0 1 n 1 1 n 1 1 n x n 1 d x displaystyle eta 2 sum n 1 infty 1 n 1 frac 1 n 2 sum n 1 infty int 0 1 1 n 1 frac 1 n x n 1 mathrm d x int 0 1 sum n 1 infty 1 n 1 frac 1 n x n 1 mathrm d x nbsp 0 1 1 x ln x 1 d x 0 1 0 1 4 3 x 2 2 x y 1 2 x 3 x 2 y 1 1 3 x y 1 d y d x displaystyle int 0 1 frac 1 x ln x 1 mathrm d x int 0 1 int 0 1 frac 4 3 x 2 2xy 1 frac 2x 3 x 2 y 1 frac 1 3 xy 1 mathrm d y mathrm d x nbsp 0 1 0 1 4 3 x 2 2 x y 1 2 x 3 x 2 y 1 1 3 x y 1 d x d y 0 1 p 2 arcsin y 3 1 y 2 d y p 2 12 displaystyle int 0 1 int 0 1 frac 4 3 x 2 2xy 1 frac 2x 3 x 2 y 1 frac 1 3 xy 1 mathrm d x mathrm d y int 0 1 frac pi 2 arcsin y 3 sqrt 1 y 2 mathrm d y frac pi 2 12 nbsp Etafunktion und Bernoulli Zahlen Bearbeiten Fur gerade Argumente 2 n 2 4 6 8 displaystyle 2n 2 4 6 8 dots nbsp gilt die allgemeine Formel h 2 n 1 n 1 2 2 n 1 1 2 n B 2 n p 2 n displaystyle eta 2n 1 n 1 frac 2 2n 1 1 2n B 2n pi 2n nbsp Somit lasst sich der Zahlenwert von h 2 n displaystyle eta 2n nbsp stets in der Form h 2 n p n q n p 2 n displaystyle eta 2n frac p n q n pi 2n nbsp schreiben wobei p n displaystyle p n nbsp und q n displaystyle q n nbsp zwei positive ganze Zahlen bezeichnen 2n pn qn h 2 n displaystyle eta 2n nbsp 2 1 12 0 82246703342411321823 4 7 720 0 94703282949724591757 6 31 30240 0 98555109129743510409 8 127 1209600 0 99623300185264789922 10 73 6842880 0 99903950759827156563 12 1414477 1307674368000 0 99975768514385819085 14 8191 74724249600 0 99993917034597971817 16 16931177 1524374691840000 0 99998476421490610644 18 5749691557 5109094217170944000 0 99999618786961011347 20 91546277357 802857662698291200000 0 99999904661158152211 Die ersten Werte fur ungerade Argumente sind h 1 ln 2 displaystyle eta 1 ln 2 nbsp die alternierende harmonische Reihe h 3 3 4 z 3 displaystyle eta 3 frac 3 4 zeta 3 nbsp h 5 15 16 z 5 displaystyle eta 5 frac 15 16 zeta 5 nbsp Nullstellen BearbeitenAus der Relation h s 1 2 1 s z s displaystyle eta s 1 2 1 s cdot zeta s nbsp ist leicht zu folgern dass h s displaystyle eta s nbsp sowohl fur alle m Z 0 displaystyle m in mathbb Z setminus 0 nbsp bei s m 1 2 p m i ln 2 displaystyle s m 1 tfrac 2 pi mi ln 2 nbsp als auch zusatzlich an denselben Stellen wie z s displaystyle zeta s nbsp verschwindet Dazu gehoren sowohl die sogenannten trivialen Nullstellen bei s 2 4 6 8 displaystyle s 2 4 6 8 dots nbsp also h 2 h 4 h 6 h 8 0 displaystyle eta 2 eta 4 eta 6 eta 8 cdots 0 nbsp als auch die nicht trivialen Nullstellen im Streifen s C 0 lt Re s lt 1 displaystyle s in mathbb C 0 lt operatorname Re s lt 1 nbsp Die beruhmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt dass alle nicht trivialen Nullstellen den Realteil 1 2 besitzen Ableitung BearbeitenAbleitungsidentitat mit der Zeta Ableitung Bearbeiten Die Ableitung der h displaystyle eta nbsp Funktion kann fur Re s gt 0 displaystyle operatorname Re s gt 0 nbsp wieder als Dirichletreihe dargestellt werden h s n 2 1 n ln n n s displaystyle eta s sum n 2 infty 1 n frac ln n n s nbsp Ein geschlossener Ausdruck fur alle komplexen Zahlen s C displaystyle s in mathbb C nbsp kann uber die Ableitung der Riemannschen Zetafunktion ausgedruckt werden h s d d s 1 2 1 s z s 2 1 s ln 2 z s 1 2 1 s z s displaystyle eta s frac mathrm d mathrm d s 1 2 1 s zeta s frac 2 1 s ln 2 zeta s 1 2 1 s zeta prime s nbsp Diese Formel kann unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden Ableitungsidentitaten mit der Abel Plana Formel Bearbeiten Eine zu dieser Formel aquivalente und somit ebenso geschlossen fur alle komplexen Zahlen s C displaystyle s in mathbb C nbsp gultige Formel kann erneut mit der Mellin Transformation beziehungsweise als Derivat der Abel Plana Summenformel hervorgebracht werden h s d d s 1 2 0 sin s arctan x x 2 1 s 2 sinh p x d x displaystyle eta s frac mathrm d mathrm d s biggl frac 1 2 int 0 infty frac sin s arctan x x 2 1 s 2 sinh pi x mathrm d x biggr nbsp h s 0 2 arctan x cos s arctan x ln x 2 1 sin s arctan x 2 x 2 1 s 2 sinh p x d x displaystyle eta s int 0 infty frac 2 arctan x cos s arctan x ln x 2 1 sin s arctan x 2 x 2 1 s 2 sinh pi x mathrm d x nbsp Diese Formeln entstehen nach dem Muster welches von Niels Henrik Abel in seinem genannten Werk beschrieben wurde Analog hierzu kann auch mit der Abel Plana Formel aus dem Werk von Borwein Bradley und Crandall dieses Verfahren durchgefuhrt werden welche die Dirichletsche Etafunktion als das Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer Potenzfunktion zur Basis Zwei darstellt Bei dieser Ableitung werden somit Zweierpotenzfunktionen abgeleitet und somit wird der Naturliche Logarithmus von Zwei als Vorfaktor bei den Summanden hervorgebracht h s d d s 1 2 2 s s 1 s 1 0 4 sin s arctan x 1 x 2 s 2 exp 2 p x 1 d x displaystyle eta s frac mathrm d mathrm d s biggl langle biggl dfrac 1 2 2 s biggr biggl frac s 1 s 1 int 0 infty frac 4 sin s arctan x 1 x 2 s 2 exp 2 pi x 1 mathrm d x biggr biggr rangle nbsp h s 2 s s 2 1 ln 2 2 1 s 1 s 1 2 displaystyle eta s frac 2 s s 2 1 ln 2 2 1 s 1 s 1 2 nbsp 0 2 2 2 s arctan x cos s arctan x 2 2 s ln 2 1 2 1 s ln x 2 1 sin s arctan x 1 x 2 s 2 exp 2 p x 1 d x displaystyle int 0 infty frac 2 2 2 s arctan x cos s arctan x 2 2 s ln 2 1 2 1 s ln x 2 1 sin s arctan x 1 x 2 s 2 exp 2 pi x 1 mathrm d x nbsp Rechenbeispiele fur die Ableitung Bearbeiten Rechenbeispiel 3 fur s 0 h 0 0 arctan x sinh p x d x 1 2 ln p 2 0 225 7913526447274323630976 displaystyle eta 0 int 0 infty frac arctan x sinh pi x mathrm d x frac 1 2 ln left frac pi 2 right approx 0 2257913526447274323630976 nbsp Alternativ hierzu kann dieses Verfahren mit der Formel nach Borwein Bradley und Crandall angewendet werden h 0 1 ln 2 0 2 arctan x exp 2 p x 1 d x 1 2 ln p 2 displaystyle eta 0 1 ln 2 int 0 infty frac 2 arctan x exp 2 pi x 1 mathrm d x frac 1 2 ln left frac pi 2 right nbsp Rechenbeispiel fur s 1 displaystyle s 1 nbsp h 1 0 2 arctan x x ln x 2 1 2 x 2 1 sinh p x d x g ln 2 1 2 ln 2 2 0 159 86890374243097175694787 displaystyle eta 1 int 0 infty frac 2 arctan x x ln x 2 1 2 x 2 1 sinh pi x mathrm d x gamma ln 2 frac 1 2 ln 2 2 approx 0 15986890374243097175694787 nbsp Alternativ hierzu kann dieses Verfahren angewendet werden h 1 lim s 1 2 s s 2 1 ln 2 2 1 s 1 s 1 2 0 2 ln 2 sin arctan x x 2 1 1 2 exp 2 p x 1 d x displaystyle eta 1 biggl lim s rightarrow 1 frac 2 s s 2 1 ln 2 2 1 s 1 s 1 2 biggr int 0 infty frac 2 ln 2 sin arctan x x 2 1 1 2 exp 2 pi x 1 mathrm d x nbsp 1 2 ln 2 ln 2 2 0 2 ln 2 sin arctan x x 2 1 1 2 exp 2 p x 1 d x displaystyle frac 1 2 bigl ln 2 ln 2 2 bigr int 0 infty frac 2 ln 2 sin arctan x x 2 1 1 2 exp 2 pi x 1 mathrm d x nbsp 1 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 0 2 x x 2 1 exp 2 p x 1 d x displaystyle frac 1 2 bigl ln 2 ln 2 2 bigr ln 2 int 0 infty frac 2 x x 2 1 exp 2 pi x 1 mathrm d x nbsp g ln 2 1 2 ln 2 2 displaystyle gamma ln 2 frac 1 2 ln 2 2 nbsp Denn in Bezug auf die Euler Mascheroni Konstante gilt diese Identitat 0 2 x x 2 1 exp 2 p x 1 d x g 1 2 displaystyle int 0 infty frac 2 x x 2 1 exp 2 pi x 1 mathrm d x gamma frac 1 2 nbsp Die Integralformel bei dem Ausdruck fur h 0 displaystyle eta 0 nbsp nach dem Muster von Borwein Bradley und Crandall kann mit Hilfe der Definition des Logarithmus Naturalis aus der Gammafunktion nach den britischen Mathematikern Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson hergeleitet werden ln G x x 1 2 ln x x 1 2 ln 2 p 2 x 0 arctan y exp 2 p x y 1 d y displaystyle ln bigl Gamma x bigr bigl x frac 1 2 bigr ln x x frac 1 2 ln 2 pi 2x int 0 infty frac arctan y exp 2 pi xy 1 mathrm d y nbsp Ableitungsidentitat mit der Digammafunktion Bearbeiten Eine weitere Formel fur s gt 1 displaystyle s gt 1 nbsp kann mit Hilfe der Digammafunktion hergeleitet werden Es gilt folgende Ableitung fur die Gammafunktion d d s G s 1 G s 1 ps s 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d s Gamma s 1 Gamma s 1 psi s 1 nbsp Und es gilt dann h s d d s 2 s 1 G s 1 0 x s sech x 2 d x displaystyle eta s frac mathrm d mathrm d s biggl frac 2 s 1 Gamma s 1 int 0 infty x s operatorname sech x 2 mathrm d x biggr nbsp h s 2 s 1 G s 1 0 x s sech x 2 ln 2 x ps s 1 d x displaystyle eta s frac 2 s 1 Gamma s 1 int 0 infty x s operatorname sech x 2 ln 2x psi s 1 mathrm d x nbsp Stammfunktion BearbeitenDie Ursprungsstammfunktion der Dirichletschen Etafunktion hat diese Identitat h s 1 2 0 sin s arctan x x 2 1 s 2 sinh p x d x displaystyle eta s frac 1 2 int 0 infty frac sin s arctan x x 2 1 s 2 sinh pi x mathrm d x nbsp 0 s h t d t s 2 0 4 x 2 1 s 2 arctan x 4 arctan x cos s arctan x 2 ln x 2 1 sin s arctan x x 2 1 s 2 ln x 2 1 2 4 arctan x 2 sinh p x d x displaystyle int 0 s eta t mathrm d t frac s 2 int 0 infty frac 4 x 2 1 s 2 arctan x 4 arctan x cos s arctan x 2 ln x 2 1 sin s arctan x x 2 1 s 2 ln x 2 1 2 4 arctan x 2 sinh pi x mathrm d x nbsp Durch Integration der genannten Abel Plana Formel kann dieser Ausdruck hervorgebracht werden Denn folgende Integralformel ist grundsatzlich gultig 0 s sin a t exp b t d t a exp b s a cos a s b sin a s a 2 b 2 exp b s displaystyle int 0 s frac sin at exp bt mathrm d t frac a exp bs a cos as b sin as a 2 b 2 exp bs nbsp Durch Einsatz von a arctan x displaystyle a arctan x nbsp und b ln x 2 1 2 displaystyle b ln x 2 1 2 nbsp erhalt man direkt die zuvor gezeigte Formel Mit der genannten Stammfunktionsformel fur die Dirichletsche Etafunktion gilt zum Beispiel 0 1 h t d t 1 2 0 4 x 2 1 1 2 arctan x 4 arctan x cos arctan x 2 ln x 2 1 sin arctan x x 2 1 1 2 ln x 2 1 2 4 arctan x 2 sinh p x d x displaystyle int 0 1 eta t mathrm d t frac 1 2 int 0 infty frac 4 x 2 1 1 2 arctan x 4 arctan x cos arctan x 2 ln x 2 1 sin arctan x x 2 1 1 2 ln x 2 1 2 4 arctan x 2 sinh pi x mathrm d x nbsp 1 2 0 4 x 2 1 arctan x 4 arctan x 2 x ln x 2 1 x 2 1 ln x 2 1 2 4 arctan x 2 sinh p x d x 0 602 11234931037155497112632 displaystyle frac 1 2 int 0 infty frac 4 x 2 1 arctan x 4 arctan x 2 x ln x 2 1 x 2 1 ln x 2 1 2 4 arctan x 2 sinh pi x mathrm d x approx 0 60211234931037155497112632 nbsp Dirichletsche und Riemannsche Funktionen BearbeitenVerwandtschaften der Funktionen Bearbeiten Die Verwandtschaften von h displaystyle eta nbsp zu der Dirichletschen l displaystyle lambda nbsp Funktion 4 und der Riemannschen z displaystyle zeta nbsp Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht 5 z v 2 v l v 2 v 1 h v 2 v 2 displaystyle frac zeta v 2 v frac lambda v 2 v 1 frac eta v 2 v 2 nbsp Deswegen gilt auch z v h v 2 l v displaystyle zeta v eta v 2 lambda v nbsp Die Dirichletsche eta Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus denn es gilt h x L i x 1 displaystyle eta x mathrm Li x 1 nbsp Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta Funktion h s F 1 s 1 displaystyle eta s Phi 1 s 1 nbsp Erzeugungsalgorithmus Bearbeiten Zur Ermittlung der Dirichletschen Etafunktionswerte und Lambdafunktionswerte von geraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln l 2 n 2 1 n m 1 n h 2 m l 2 n 2 2 m displaystyle lambda 2n 2 frac 1 n sum m 1 n eta 2m lambda 2n 2 2m nbsp h v 2 v 2 2 v 1 l v displaystyle eta v frac 2 v 2 2 v 1 lambda v nbsp Auf diese Weise konnen kaskadenartig die Dirichletschen Etafunktionswerte hervorgebracht werden Tabelle uber den Verlauf der Erzeugung Summe fur die Ermittlung des Lambda Wertes Formel fur den Eta Wertl 4 h 2 l 2 p 2 12 p 2 8 p 4 96 displaystyle lambda 4 eta 2 lambda 2 frac pi 2 12 frac pi 2 8 frac pi 4 96 nbsp h 4 14 15 l 4 7 p 4 720 displaystyle eta 4 frac 14 15 lambda 4 frac 7 pi 4 720 nbsp l 6 1 2 h 2 l 4 h 4 l 2 1 2 p 2 12 p 4 96 7 p 4 720 p 2 8 p 6 960 displaystyle lambda 6 frac 1 2 bigl eta 2 lambda 4 eta 4 lambda 2 bigr frac 1 2 left frac pi 2 12 frac pi 4 96 frac 7 pi 4 720 frac pi 2 8 right frac pi 6 960 nbsp h 6 62 63 l 6 31 p 6 30240 displaystyle eta 6 frac 62 63 lambda 6 frac 31 pi 6 30240 nbsp l 8 1 3 h 2 l 6 h 4 l 4 h 6 l 2 1 3 p 2 12 p 6 960 7 p 4 720 p 4 96 31 p 6 30240 p 2 8 17 p 8 161280 displaystyle lambda 8 frac 1 3 bigl eta 2 lambda 6 eta 4 lambda 4 eta 6 lambda 2 bigr frac 1 3 left frac pi 2 12 frac pi 6 960 frac 7 pi 4 720 frac pi 4 96 frac 31 pi 6 30240 frac pi 2 8 right frac 17 pi 8 161280 nbsp h 8 254 255 l 8 127 p 8 1209600 displaystyle eta 8 frac 254 255 lambda 8 frac 127 pi 8 1209600 nbsp Nach dem gezeigten Zick Zack Muster werden die Werte von Dirichletscher Etafunktion und Dirichletscher Lambdafunktion bei geraden Zahlen effizient erzeugt Reihen mit den Dirichletschen Funktionen Bearbeiten Folgende Summe mit der Dirichletschen Etafunktion ergibt folgenden Wert n 1 h 2 n 2 n h 2 n 1 2 n 1 ln 4 p displaystyle sum n 1 infty biggl frac eta 2n 2n frac eta 2n 1 2n 1 biggr ln left frac 4 pi right nbsp Die analoge Formel mit der Riemannschen Zetafunktion bringt die Euler Mascheroni Konstante hervor n 1 z 2 n 2 n z 2 n 1 2 n 1 g displaystyle sum n 1 infty biggl frac zeta 2n 2n frac zeta 2n 1 2n 1 biggr gamma nbsp Und mit der Dirichletschen Lambdafunktion entsteht folglich dieser Wert n 1 l 2 n 2 n l 2 n 1 2 n 1 1 2 g 1 2 ln 4 p displaystyle sum n 1 infty biggl frac lambda 2n 2n frac lambda 2n 1 2n 1 biggr frac 1 2 gamma frac 1 2 ln left frac 4 pi right nbsp Dieses Resultat geht direkt durch arithmetische Mittelung hervor Literatur BearbeitenEric W Weisstein Dirichlet Eta Function In MathWorld englisch Milton Abramowitz Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions New York Dover 1972 Niels Henrik Abel Solution de quelques problemes a l aide d integrales definies Magazin for Naturvidenskaberne Argang I Bind2 Christina 1823 Jonathan M Borwein David M Bradley Richard E Crandall Computational strategies for the Riemann zeta function Journal of Computational and Applied Mathematics 121 2000 247 296 PDF S 253 Konrad Knopp Theory and Application of Infinite Series Dover 1990 ISBN 0 486 66165 2 1922 Einzelnachweise Bearbeiten Jonathan M Borwein David M Bradley Richard E Crandall Computational strategies for the Riemann zeta function Journal of Computational and Applied Mathematics 121 2000 247 296 PDF S 253 Andre Voros More Zeta Functions for the Riemann Zeros PDF 182 kB CEA Service de Physique Theorique de Saclay CNRS URA 2306 Seite 6 Eric W Weisstein Dirichlet Eta Function Abgerufen am 6 Dezember 2022 englisch Eric W Weisstein Dirichlet Lambda Function In MathWorld englisch J Spanier K B Oldham The Zeta Numbers and Related Functions In An Atlas of Functions Washington DC Hemisphere S 25 33 1987 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirichletsche Etafunktion amp oldid 237205094
