Das Euler Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie Es ist eine Darstellung einer Dirichlet Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert uber die Menge der Primzahlen Benannt ist das Euler Produkt nach Leonhard Euler der das unendliche Produkt bezuglich der Dirichlet Reihe der Riemannschen Zeta Funktion untersuchte 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beweis 3 Das Euler Produkt der Riemannschen Zeta Funktion 3 1 Formulierung 3 2 Herleitung von Euler 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei f displaystyle f nbsp eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und F s n 1 f n n s displaystyle F s sum n 1 infty frac f n n s nbsp die entsprechende Dirichlet Reihe von f displaystyle f nbsp Falls diese Reihe fur eine komplexe Zahl s displaystyle s nbsp absolut konvergiert dann gilt F s p p r i m k 0 f p k p k s displaystyle F s prod p rm prim sum k 0 infty frac f p k p ks nbsp Im Falle einer vollstandig multiplikativen Funktion f displaystyle f nbsp vereinfacht sich dieses Produkt zu F s p prim 1 1 f p p s displaystyle F s prod p operatorname prim frac 1 1 f p p s nbsp Diese unendlichen Produkte uber alle Primzahlen heissen Euler Produkte 2 Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert lim N P N displaystyle textstyle lim N to infty P N nbsp der Folge endlicher Produkte P N displaystyle P N nbsp die entsteht indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt Beweis BearbeitenEs gibt mehrere Beweise fur die Gultigkeit des Euler Produktes Zunachst ist klar dass mit absoluter Konvergenz der Reihe F s displaystyle F s nbsp auch jeder Faktor k 0 f p k p k s displaystyle sum k 0 infty frac f p k p ks nbsp absolut konvergiert Es folgt dass fur jedes N displaystyle N nbsp das Partialprodukt F N s p N p Primzahl k 0 f p k p k s displaystyle F N s prod p leq N atop p text Primzahl sum k 0 infty frac f p k p ks nbsp existiert Damit sieht man sogleich mit der Cauchy Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen 2 p 1 lt p 2 lt lt p j N lt p j 1 displaystyle 2 p 1 lt p 2 lt cdots lt p j leq N lt p j 1 nbsp F N s k 1 0 k j 0 f p 1 k 1 f p j k j p 1 k 1 p j k j s k 1 0 k j 0 f p 1 k 1 p j k j p 1 k 1 p j k j s displaystyle F N s sum k 1 0 infty cdots sum k j 0 infty frac f p 1 k 1 cdots f p j k j p 1 k 1 cdots p j k j s sum k 1 0 infty cdots sum k j 0 infty frac f p 1 k 1 cdots p j k j p 1 k 1 cdots p j k j s nbsp Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativitat von f displaystyle f nbsp benutzt Damit folgt F N s n N f n n s n gt N f n n s displaystyle F N s sum n leq N frac f n n s sum n gt N frac f n n s nbsp wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt dass nur uber alle n gt N displaystyle n gt N nbsp summiert wird deren Primteiler samtlich N displaystyle leq N nbsp sind Damit folgt fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp existiert ein N gt 0 displaystyle N gt 0 nbsp mit F s F N s n N 1 f n n s lt e displaystyle F s F N s leq sum n N 1 infty left frac f n n s right lt varepsilon nbsp Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte F N s displaystyle F N s nbsp fur jedes s displaystyle s nbsp im Bereich der absoluten Konvergenz gegen F s displaystyle F s nbsp sogar gleichmassig auf kompakten Teilmengen und der Satz ist gezeigt Das Euler Produkt der Riemannschen Zeta Funktion BearbeitenFormulierung Bearbeiten Im Fall f n 1 displaystyle f n 1 nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist f displaystyle f nbsp offenbar vollstandig multiplikativ Es gilt demnach fur alle Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 nbsp z s n 1 1 n s p p r i m 1 1 1 p s displaystyle zeta s sum n 1 infty frac 1 n s prod p mathrm prim frac 1 1 frac 1 p s nbsp Die Funktion z s displaystyle zeta s nbsp ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta Funktion Herleitung von Euler Bearbeiten Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet Man nehme eine Teilmenge M N displaystyle M subset mathbb N nbsp und eine Primzahl p displaystyle p nbsp so dass 1 M displaystyle 1 in M nbsp und p M M displaystyle pM subset M nbsp Ist also m M displaystyle m in M nbsp so folgt ebenfalls p m M displaystyle pm in M nbsp Dann gilt ganz allgemein fur Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 nbsp 1 1 p s m M 1 m s m M 1 m s m M 1 p m s m M p M 1 m s displaystyle left 1 frac 1 p s right sum m in M frac 1 m s sum m in M frac 1 m s sum m in M frac 1 pm s sum m in M setminus pM frac 1 m s nbsp Bezeichnen wir jetzt p n displaystyle p n nbsp als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge und M k displaystyle M k nbsp als die Menge der Zahlen die nicht durch p 1 p k displaystyle p 1 dots p k nbsp teilbar sind z B M 1 1 3 5 7 displaystyle M 1 1 3 5 7 dots nbsp Setze zudem M 0 N displaystyle M 0 mathbb N nbsp Dann hat jedes M k displaystyle M k nbsp die obere Eigenschaft mit der nachsten Primzahl p k 1 displaystyle p k 1 nbsp und es gilt M k 1 M k p k 1 M k displaystyle M k 1 M k setminus p k 1 M k nbsp Also 1 1 p k 1 s m M k 1 m s m M k 1 1 m s displaystyle left 1 frac 1 p k 1 s right sum m in M k frac 1 m s sum m in M k 1 frac 1 m s nbsp und damit induktiv 1 1 2 s 1 1 3 s 1 1 p k s z s m M k 1 1 m s displaystyle left 1 frac 1 2 s right left 1 frac 1 3 s right cdots left 1 frac 1 p k s right zeta s sum m in M k 1 frac 1 m s nbsp Bildet man auf beiden Seiten den Limes ergibt sich lim k 1 1 2 s 1 1 3 s 1 1 p k s z s lim k m M k 1 1 m s 1 displaystyle lim k to infty left 1 frac 1 2 s right left 1 frac 1 3 s right cdots left 1 frac 1 p k s right zeta s lim k to infty sum m in M k 1 frac 1 m s 1 nbsp da die 1 die einzige naturliche Zahl ist die durch keine Primzahl teilbar ist Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Euler Product In MathWorld englisch S A Stepanov Euler product In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Vorlage EoM idEinzelnachweise Bearbeiten Euler Produkt In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Rainer Schulze Pillot Einfuhrung in Algebra und Zahlentheorie 2 korrigierte und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 79569 8 S 53 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euler Produkt amp oldid 224788106
