Unter der Mellin-Transformation versteht man in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine mit der Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.
Geschichte Bearbeiten
Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.
Definition Bearbeiten
Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion ist definiert als die Funktion
für komplexe Zahlen , sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor , also
Dabei ist die Gamma-Funktion.
Rücktransformation Bearbeiten
Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation
von zu für jedes reelle mit möglich. Hierbei seien und zwei positive reelle Zahlen.
- das Integral ist in dem Streifen absolut konvergent
- ist in dem Streifen analytisch
- der Ausdruck strebt für und jedem beliebigen Wert zwischen und gleichmäßig gegen 0
- die Funktion ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)
Beziehung zur Fourier-Transformation Bearbeiten
Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral , setzt man und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion mit , so ist für reelle
Beispiel zur Dirichletreihe Bearbeiten
Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe und eine Potenzreihe zueinander in Beziehung setzen. Es seien
mit den gleichen . Dann gilt
Setzt man hierin zum Beispiel alle , so ist die Riemannsche Zetafunktion, und man erhält
für .
Literatur Bearbeiten
- M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
- E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
- D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Mellin Transform. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise Bearbeiten
- Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez: The Transforms and Applications Handbook. Hrsg.: Alexander D. Poularikas. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 11.1.