Die Hurwitzsche Zeta Funktion nach Adolf Hurwitz ist eine der vielen bekannten Zeta Funktionen die in der analytischen Zahlentheorie einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle spielt Die formale Definition fur komplexe s q displaystyle s q lautet z s q n 0 1 q n s R e s gt 1 und Re q gt 0 displaystyle zeta s q sum n 0 infty frac 1 q n s qquad quad mathrm Re s gt 1 text und Re q gt 0 Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden fur alle s 1 displaystyle s not 1 Die Riemannsche Zeta Funktion ist dann z s 1 displaystyle zeta s 1 Inhaltsverzeichnis 1 Analytische Fortsetzung 2 Reihendarstellungen 2 1 Laurent Entwicklung 2 2 Fourier Reihe 3 Integraldarstellung 4 Hurwitz Formel 5 Funktionalgleichung 6 Werte 6 1 Nullstellen 6 2 Rationale Argumente 6 3 Weitere 7 Ableitungen 8 Beziehungen zu anderen Funktionen 8 1 Bernoulli Polynome 8 2 Jacobische Thetafunktion 8 3 Polygammafunktion 9 Auftreten 10 Spezialfalle und Verallgemeinerungen 11 Literatur und Weblinks 12 EinzelnachweiseAnalytische Fortsetzung BearbeitenDie Hurwitzsche Zeta Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden sodass sie fur alle komplexen s 1 displaystyle s not 1 nbsp definiert ist Bei s 1 displaystyle s 1 nbsp liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor Es gilt dann lim s 1 z s q 1 s 1 G q G q ps q displaystyle lim s to 1 left zeta s q frac 1 s 1 right frac Gamma q Gamma q psi q nbsp unter Verwendung der Gammafunktion G displaystyle Gamma cdot nbsp und der Digammafunktion ps displaystyle psi cdot nbsp Reihendarstellungen BearbeitenHelmut Hasse fand 1930 1 die Reihendarstellung z s q 1 s 1 n 0 1 n 1 k 0 n 1 k n k q k 1 s displaystyle zeta s q frac 1 s 1 sum n 0 infty frac 1 n 1 sum k 0 n 1 k n choose k q k 1 s nbsp fur q gt 0 displaystyle q gt 0 nbsp und s C 1 displaystyle s in mathbb C setminus 1 nbsp Laurent Entwicklung Bearbeiten Die Laurent Entwicklung um s 1 displaystyle s 1 nbsp lautet z s q 1 s 1 n 0 1 n g n q n s 1 n displaystyle zeta s q frac 1 s 1 sum n 0 infty frac 1 n gamma n q n s 1 n nbsp mit 0 lt q 1 displaystyle 0 lt q leq 1 nbsp g n q displaystyle gamma n q nbsp sind die Verallgemeinerten Stieltjes Konstanten g n q lim N k 0 N log n k q k q log n 1 N q n 1 displaystyle gamma n q lim N to infty left sum k 0 N frac log n k q k q frac log n 1 N q n 1 right nbsp fur n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 dots nbsp Fourier Reihe Bearbeiten Die Fourier Reihe lautet z s a 2 2 p s 1 G 1 s sin p s 2 k 1 cos 2 p a k k 1 s cos p s 2 k 1 sin 2 p a k k 1 s displaystyle zeta s a 2 2 pi s 1 Gamma 1 s left sin left frac pi s 2 right sum k 1 infty frac cos 2 pi ak k 1 s cos left frac pi s 2 right sum k 1 infty frac sin 2 pi ak k 1 s right nbsp mit R e s lt 1 und 0 lt a 1 displaystyle mathrm Re s lt 1 text und 0 lt a leq 1 nbsp 2 Integraldarstellung BearbeitenDie Integraldarstellung lautet z s q 1 G s 0 t s 1 e q t 1 e t d t displaystyle zeta s q frac 1 Gamma s int limits 0 infty frac t s 1 e qt 1 e t mathrm d t nbsp wobei R e s gt 1 displaystyle mathrm Re s gt 1 nbsp und R e q gt 0 displaystyle mathrm Re q gt 0 nbsp Hurwitz Formel BearbeitenDie Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion fur 0 x 1 displaystyle 0 leq x leq 1 nbsp und s gt 1 displaystyle s gt 1 nbsp Sie lautet 3 z 1 s x 1 2 s e i p s 2 b x s e i p s 2 b 1 x s displaystyle zeta 1 s x frac 1 2s left e mathrm i pi s 2 beta x s e mathrm i pi s 2 beta 1 x s right nbsp wobei b x s 2 G s 1 n 1 exp 2 p i n x 2 p n s 2 G s 1 2 p s Li s e 2 p i x displaystyle beta x s 2 Gamma s 1 sum n 1 infty frac exp 2 pi mathrm i nx 2 pi n s frac 2 Gamma s 1 2 pi s mbox Li s e 2 pi mathrm i x nbsp Dabei bezeichnet Li s z displaystyle mbox Li s z nbsp den Polylogarithmus Funktionalgleichung BearbeitenFur alle s displaystyle s nbsp und 1 m n displaystyle 1 leq m leq n nbsp gilt z 1 s m n 2 G s 2 p n s k 1 n cos p s 2 2 p k m n z s k n displaystyle zeta left 1 s frac m n right frac 2 Gamma s 2 pi n s sum k 1 n cos left frac pi s 2 frac 2 pi km n right zeta left s frac k n right nbsp Werte BearbeitenNullstellen Bearbeiten Da sich fur q 1 displaystyle q 1 nbsp und q 1 2 displaystyle q tfrac 1 2 nbsp die Riemannsche Zeta Funktion bzw diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von s displaystyle s nbsp ergibt fuhrt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta Funktion mit der Riemannschen Vermutung Fur diese q displaystyle q nbsp hat die Hurwitzsche Zeta Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil grossergleich 1 Fur 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp und q 1 2 displaystyle q not tfrac 1 2 nbsp gibt es dagegen Nullstellen fur jeden Steifen 1 lt R e s lt 1 ϵ displaystyle 1 lt mathrm Re s lt 1 epsilon nbsp mit einem positiv reellen ϵ displaystyle epsilon nbsp Dies wurde fur rationale und nicht algebraische irrationale q displaystyle q nbsp von Davenport und Heilbronn 4 bewiesen fur algebraische irrationale q displaystyle q nbsp von Cassels 5 Rationale Argumente Bearbeiten Die Hurwitzsche Zeta Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler Polynomen E n x displaystyle E n x nbsp auf 6 E 2 n 1 p q 1 n 4 2 n 1 2 p q 2 n k 1 q z 2 n 2 k 1 2 q cos 2 k 1 p p q displaystyle E 2n 1 left frac p q right 1 n frac 4 2n 1 2 pi q 2n sum k 1 q zeta left 2n frac 2k 1 2q right cos frac 2k 1 pi p q nbsp und E 2 n p q 1 n 4 2 n 2 p q 2 n 1 k 1 q z 2 n 1 2 k 1 2 q sin 2 k 1 p p q displaystyle E 2n left frac p q right 1 n frac 4 2n 2 pi q 2n 1 sum k 1 q zeta left 2n 1 frac 2k 1 2q right sin frac 2k 1 pi p q nbsp Ferner gilt z s 2 p 1 2 q 2 2 q s 1 k 1 q C s k q cos 2 p 1 p k q S s k q sin 2 p 1 p k q displaystyle zeta left s frac 2p 1 2q right 2 2q s 1 sum k 1 q left C s left frac k q right cos left frac 2p 1 pi k q right S s left frac k q right sin left frac 2p 1 pi k q right right nbsp mit 1 p q displaystyle 1 leq p leq q nbsp Dabei werden C n x displaystyle C nu x nbsp und S n x displaystyle S nu x nbsp wie folgt mit der legendreschen Chi Funktion x n displaystyle chi nu nbsp definiert C n x Re x n e i x displaystyle C nu x operatorname Re chi nu e mathrm i x nbsp bzw S n x Im x n e i x displaystyle S nu x operatorname Im chi nu e mathrm i x nbsp Weitere Bearbeiten Es gilt Auswahl 7 z s 1 z s 1 displaystyle zeta s 1 zeta s 1 nbsp z s 2 z s 1 displaystyle zeta s 2 zeta s 1 nbsp z s 0 z s 1 displaystyle zeta s 0 zeta s 1 nbsp z s m n 1 n k 1 n n s L i s e 2 p i k n e 2 p i k m n m n N und m n displaystyle zeta left s frac m n right frac 1 n sum k 1 n n s cdot mathrm Li s left e frac 2 pi mathrm i k n right e frac 2 pi mathrm i km n qquad qquad m n in mathbb N text und m leq n nbsp z 0 a 1 2 a displaystyle zeta 0 a frac 1 2 a nbsp z 2 1 4 p 2 8 G displaystyle zeta 2 tfrac 1 4 pi 2 8G nbsp z 2 1 2 x p z 2 1 2 x p p 2 cos 2 x displaystyle zeta 2 tfrac 1 2 tfrac x pi zeta 2 tfrac 1 2 tfrac x pi frac pi 2 cos 2 x nbsp Riemannsche Zeta Funktion Catalansche Konstante Ableitungen BearbeitenEs gilt n z s a s n 1 n 2 n k 0 log n a k 2 a k 2 s 2 displaystyle frac partial n zeta s a partial s n frac 1 n 2 n sum k 0 infty frac log n left a k 2 right left a k 2 right s 2 nbsp mit a N displaystyle a notin mathbb N nbsp sowie R e s gt 1 displaystyle mathrm Re s gt 1 nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp 8 Die Ableitungen nach a displaystyle a nbsp ergeben sich zu n z s a a n 1 n s n k 0 1 a k n a k 2 s 2 displaystyle frac partial n zeta s a partial a n 1 n s n sum k 0 infty frac 1 a k n left a k 2 right s 2 nbsp fur a N displaystyle a notin mathbb N nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp 9 unter Verwendung des Pochhammer Symbol x n displaystyle x n nbsp Beziehungen zu anderen Funktionen BearbeitenBernoulli Polynome Bearbeiten Die im Abschnitt Hurwitz Formel definierte Funktion b displaystyle beta nbsp verallgemeinert die Bernoulli Polynome B n x displaystyle B n x nbsp B n x R e i n b x n displaystyle B n x mathrm Re left mathrm i n beta x n right nbsp Alternativ kann man sagen dass z n x B n 1 x n 1 displaystyle zeta n x frac B n 1 x n 1 nbsp Fur n 0 displaystyle n 0 nbsp ergibt das z 0 x 1 2 x displaystyle zeta 0 x frac 1 2 x nbsp Jacobische Thetafunktion Bearbeiten Gegeben ist am Anfang des Artikels diese Formel z v w k 0 k w v displaystyle zeta v w sum k 0 infty k w v nbsp Die Abel Plana Summenformel definiert die Hurwitzsche Zetafunktion sowohl fur positive als auch fur negative Werte v displaystyle v nbsp z v w w 1 v v 1 1 2 w v 2 w v 1 0 sin v arctan x x 2 1 v 2 exp 2 p w x 1 d x displaystyle zeta v w frac w 1 v v 1 frac 1 2w v frac 2 w v 1 int limits 0 infty frac sin bigl v arctan x bigr x 2 1 v 2 bigl exp 2 pi wx 1 bigr mathrm d x nbsp Fur alle positiven Werte v displaystyle v nbsp stimmen die beiden Formeln fur die Hurwitzsche Zetafunktion miteinander uberein Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten die Jacobische Thetafunktion 10 11 12 auf diese Weise ϑ 00 t u n 1 1 u 2 n 1 2 cos 2 t u 2 n 1 u 4 n 2 displaystyle vartheta 00 t u prod n 1 infty 1 u 2n bigl 1 2 cos 2t u 2n 1 u 4n 2 bigr nbsp Basierend auf der nun genannten Abel Plana Definition fur die Hurwitzsche Zetafunktion kann dann diese Identitat fur folgendes Integral der Jacobischen Thetafunktion aufgestellt werden 0 x n ϑ 00 p a exp x 1 d x G n 1 z 2 n 2 z 2 n 1 z 2 n 1 a z 2 n 1 1 a displaystyle int 0 infty x n vartheta 00 pi a exp x 1 mathrm d x Gamma n 1 zeta 2n 2 zeta 2n 1 bigl zeta 2n 1 a zeta 2n 1 1 a bigr nbsp In dieser Formel wird neben der Hurwitzschen auch die Riemannsche Zetafunktion z s z s 1 displaystyle zeta s zeta s 1 nbsp eingesetzt Fur alle Zahlenpaare a und n mit den Kriterien a C Z displaystyle a in mathbb C setminus mathbb Z nbsp und n C 1 2 m m N R e n gt 1 2 displaystyle bigl n in mathbb C backslash bigl tfrac 1 2 m bigr m in mathbb N bigr cap bigl mathrm Re n gt tfrac 1 2 bigr nbsp ist diese Formel gultig Beispielsweise gilt mit n 1 4 displaystyle n tfrac 1 4 nbsp und a 1 3 displaystyle a tfrac 1 3 nbsp 0 x 4 ϑ 00 1 3 p exp x 1 d x G 5 4 z 5 2 z 3 2 z 3 2 1 3 z 3 2 2 3 displaystyle int 0 infty sqrt 4 x vartheta 00 tfrac 1 3 pi exp x 1 mathrm d x Gamma tfrac 5 4 zeta tfrac 5 2 zeta tfrac 3 2 bigl zeta tfrac 3 2 tfrac 1 3 zeta tfrac 3 2 tfrac 2 3 bigr nbsp 0 x 4 ϑ 00 1 3 p exp x 1 d x 0 981 92204088893492762377332647968767 displaystyle int 0 infty sqrt 4 x vartheta 00 tfrac 1 3 pi exp x 1 mathrm d x approx 0 98192204088893492762377332647968767 nbsp Polygammafunktion Bearbeiten Die Hurwitzsche Zeta Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht ganze Ordnungen s displaystyle s nbsp ps s z 1 G s s ps s g z s 1 z displaystyle psi s z frac 1 Gamma s left frac partial partial s psi s gamma right zeta s 1 z nbsp mit der Euler Mascheroni Konstanten g displaystyle gamma nbsp 13 Auftreten BearbeitenDie Hurwitzschen Zeta Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung nicht nur in der Zahlentheorie Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian Schwinger 14 vor die ein genaues Resultat fur die Paarbildungs Rate von in der Dirac Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt Spezialfalle und Verallgemeinerungen BearbeitenEine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta Funktion bietet F z s q k 0 z k k q s displaystyle Phi z s q sum k 0 infty frac z k k q s nbsp so dass z s q F 1 s q displaystyle zeta s q Phi 1 s q nbsp Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta Funktion bezeichnet Die Hurwitzsche Zeta Funktion lasst sich durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausdrucken 15 z s a a s s 1 F s 1 a 1 a 2 a s a 1 1 a 2 1 a s 1 1 displaystyle zeta s a a s cdot s 1 F s 1 a 1 a 2 ldots a s a 1 1 a 2 1 ldots a s 1 1 nbsp mit a 1 a 2 a s a und a N und s N displaystyle a 1 a 2 ldots a s a text und a notin mathbb N text und s in mathbb N nbsp Ausserdem gilt mit der Meijerschen G Funktion 16 z s a G s 1 s 1 1 s 1 1 0 1 a 1 a 0 a a displaystyle zeta s a G s 1 s 1 1 s 1 left 1 left begin matrix 0 1 a ldots 1 a 0 a ldots a end matrix right right nbsp mit s N displaystyle s in mathbb N nbsp Literatur und Weblinks BearbeitenJonathan Sondow Eric W Weisstein Hurwitz Zeta Function auf MathWorld und in functions wolfram com englisch Milton Abramowitz Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover Publications New York 1964 ISBN 0 486 61272 4 Siehe Paragraph 6 4 10 Victor S Adamchik Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments In Journal of Computational and Applied Mathematics Band 100 1998 S 201 206 Necdet Batit New inequalities for the Hurwitz zeta function PDF 115 kB In Proc Indian Acad Sci Math Sci Band 118 Nr 4 November 2008 S 495 503 Johan Andersson Mean Value Properties of the Hurwitz Zeta Function In Math Scand Band 71 1992 S 295 300 Einzelnachweise Bearbeiten Helmut Hasse Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche z Reihe In Mathematische Zeitschrift Band 32 1930 S 458 464 http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms Zeta2 06 03 01 01 0001 Eric W Weisstein Hurwitz s Formula In MathWorld englisch H Davenport und H Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series In Journal of the London Mathematical Society Band 11 1936 S 181 185 J W S Cassels Footnote to a note of Davenport and Heilbronn In Journal of the London Mathematical Society Band 36 1961 S 177 184 Djurdje Cvijovic und Jacek Klinowski Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments In Mathematics of Computation Band 68 1999 S 1623 1630 http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms Zeta2 03 ShowAll html http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms Zeta2 20 02 01 01 0001 http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms Zeta2 20 02 02 01 0001 Eric W Weisstein Jacobi Theta Functions In MathWorld englisch http wayback cecm sfu ca pborwein TEMP PROTECTED pi agm pdf DLMF 20 5 Infinite Products and Related Results Abgerufen am 13 August 2022 Oliver Espinosa and Victor H Moll A Generalized Polygamma Function auf arXiv org e Print archive 2003 J Schwinger On gauge invariance and vacuum polarization In Physical Review Band 82 1951 S 664 679 http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms Zeta2 26 01 02 01 http functions wolfram com ZetaFunctionsandPolylogarithms Zeta2 26 02 01 01 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hurwitzsche Zeta Funktion amp oldid 233145957
