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Bernoulli Zahl Die en oder Bernoullischen Zahlen 1 1 2 1 6 0 1 30 sind eine Folge rationaler Zahlen die in der Mathemati

Bernoulli-Zahl

Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, ±1⁄2, 1⁄6, 0, −1⁄30, … sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob I Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Definition Bearbeiten

In der mathematischen Fachliteratur werden die Bernoulli-Zahlen als drei unterschiedliche Folgen definiert, die aber sehr eng zusammenhängen. Da ist einmal die ältere Notation (bis ins 20. Jahrhundert im Wesentlichen genutzt), die hier mit bezeichnet wird, und die beiden neueren Formen, die in diesem Artikel mit und bezeichnet und seit circa Mitte des 20. Jahrhunderts meistens benutzt werden. Eine genauere Verbreitung oder der historische Übergang der Konventionen lässt sich schwer objektivieren, da dies stark vom jeweiligen Mathematiker und dem Verbreitungsgebiet seiner Schriften abhing bzw. abhängt. Eine heutzutage gängige implizite Definition der Bernoulli-Zahlen ist, sie über die Koeffizienten folgender Taylorreihen entweder als

oder (durch Spiegelung an der y-Achse) als

bzw. früher als

einzuführen. Hierbei sind die Zahlen und die Koeffizienten der Reihenentwicklung bzw. die Glieder der Bernoulli-Zahlenfolge. Die Reihenentwicklungen konvergieren für alle x mit Ersetzt man durch , so erkennt man die Gültigkeit von , d. h. die beiden erstgenannten Definitionen unterscheiden sich lediglich für den Index 1, alle anderen bzw. mit ungeradem Index sind null. Zur sicheren Unterscheidung können die Glieder als die der ersten Art (mit ) und die als die der zweiten Art (mit ) bezeichnet werden.

Auf der zuletzt aufgeführten Reihe fußt die ältere Definition; bei dieser kommen nur Glieder mit Indizes vor, d. h. die Glieder mit Index 0 und 1 müssen separat betrachtet werden. Für die verbleibenden Koeffizienten mit geradem Index (genau diese sind nicht null) wählt man eine eigene Definition, so dass diese alle positiv sind. Daher gilt

Genau dies hatte auch Jakob I Bernoulli bei seiner Erstbestimmung gemacht und so die ältere Notation begründet, er hatte sie allerdings noch nicht durchnummeriert. Er entdeckte diese Zahlen durch die Betrachtung der Polynome, welche die Summe der Potenzen natürlicher Zahlen von 1 bis zu einem gegebenen mit kleinen ganzzahligen Exponenten beschreiben. Z. B.

Dies führt letztlich über die Faulhaberschen Formeln auf die Euler-Maclaurin-Formel, in der die Bernoulli-Zahlen eine zentrale Rolle spielen. Bewiesen hat er ihre allgemeinen Werte nicht, nur die der kleineren Koeffizienten korrekt errechnet – seine entsprechenden Aufzeichnungen wurden postum veröffentlicht.

Zahlenwerte Bearbeiten

Die ersten Bernoulli-Zahlen , ≠ 0 lauten

Index Zähler Nenner auf 6 Nach- kommastellen multipliziert mit  
0 1 1 1,000000 0
1 ± 1 2 ± 0,500000 ± 1 1
2 1 6 0,166666 1 1
4 −1 30 −0,033333 −1 2
6 1 42 0,023809 3 16
8 −1 30 −0,033333 −17 272
10 5 66 0,075757 155 7936
12 −691 2730 −0,253113 −2073 353792
14 7 6 1,166666 38227 22368256
16 −3617 510 −7,092156 −929569 1903757312
18 43867 798 54,971177 28820619 209865342976
20 −174611 330 −529,124242 −1109652905 29088885112832
22 854513 138 6192,123188 51943281731 4951498053124096
24 −236364091 2730 −86580,253113 −2905151042481 1015423886506852352

Die Zahlen bilden eine streng konvexe (ihre Differenzen wachsen) Folge. Die Nenner der sind stets ein Vielfaches von 6, denn es gilt
der Satz von Clausen und von-Staudt, auch Staudt-Clausen’scher Satz genannt:

Er ist benannt nach der unabhängigen Entdeckung von Thomas Clausen und Karl von Staudt 1840. Der Nenner der ist also das Produkt aller Primzahlen, für die gilt, dass den Index teilt. Unter Nutzung des kleinen Fermatschen Satzes folgt somit, dass der Faktor diese rationalen Zahlen in ganze Zahlen überführt.

Auch wenn die Folge der zunächst betragsmäßig relativ kleine Zahlenwerte annimmt, geht mit wachsendem doch schneller gegen Unendlich als jede Exponentialfunktion. So ist z. B.

Ihr asymptotisches Verhalten lässt sich mit

beschreiben, daher ist auch der Konvergenzradius der Taylorreihen, die oben zu ihrer Definition herangezogen wurden, gleich

Ein möglicher Algorithmus zur Berechnung der Bernoullizahlen in Julia (programming language) ist gegeben durch 

 b=Array{Float64}(undef, n+1)  b[1]=1  b[2]=-0.5  for m=2:n  for k=0:m  for v=0:k  b[m+1]+=(-1)^v *binomial(k,v)*v^(m)/(k+1)  end  end  end  return b

Rekursionsformeln Bearbeiten

Möchte man die Bernoulli-Zahlen der ersten Art beschreiben, also , so ergeben sich diese Bernoulli-Zahlen aus der Rekursionsformel mit

und dem Startwert . Für ungerade Indizes folgt daraus wieder . Diese Formel entstammt der impliziten Definition der Bernoulli-Zahlen erster Art, die bis Mitte des 20. Jahrhunderts auch die gebräuchlichste Definition war, da sie eine leicht zu merkende Gestalt hat:

die auch in der weniger verbreiteten Form geschrieben werden kann als

wobei in diesen Darstellungen Potenzen von als die entsprechend indizierten Bernoulli-Zahlen zu interpretieren sind. Für die Bernoulli-Zahlen der zweiten Art lässt sich analog

als auch

oder eleganter

schreiben und als induktive Definition der Bernoulli-Zahlen zweiter Art verwenden mit zu

mit dem Startwert oder für alle als

Reihen mit Bernoulli-Zahlen Bearbeiten

Diese Zahlen treten beispielsweise in der Taylorreihe des Tangens, des Tangens hyperbolicus oder des Cosecans auf; im Allgemeinen, wenn eine Funktion eine geschlossene Darstellung hat, wo die Sinusfunktion (oder Sinus-hyperbolicus-Funktion) im Nenner steht – d. h. durch die Summe oder Differenz zweier e-Funktionen dividiert wird:

Hier zwei nicht konvergierende asymptotische Reihen, die der Trigamma-Funktion (der zweiten Ableitung des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion)

und die des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion

die als Logarithmus der Stirlingformel bekannt ist. Diese lässt sich einfach aus der asymptotischen Form der Euler-Maclaurin-Formel ableiten, die in ihrer symmetrischen Schreibweise

lautet – wobei hier der Ausdruck die -te Ableitung (speziell für das Integral) der Funktion ausgewertet an der Stelle bedeutet –, wenn man dort setzt, die untere Summationsgrenze zu wählt und die obere Summationsgrenze mit variabel hält. Dies ist eine der bekanntesten Anwendungen der Bernoulli-Zahlen und gilt für alle analytischen Funktionen , auch wenn diese asymptotische Entwicklung in den meisten Fällen nicht konvergiert.

Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta-Funktion Bearbeiten

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die (im oben genannten Sinne) „klassischen“ Bernoulli-Zahlen:

Für die „modernen“ Bernoulli-Zahlen gilt

wobei im Fall der neueren Definition für n=1 undefinierte Ausdrücke der Form entstehen, die aber gemäß der Regel von de L’Hospital wegen den Pol erster Ordnung der Riemannschen Zetafunktion bei 1 (bzw. in der letzten Darstellung den Term im Nenner) aufheben und somit korrekt den Wert liefern.

Für die Bernoulli-Zahlen zweiter Art gibt es noch die prägnante Darstellung

so dass die gesamte Theorie der Riemannschen Zetafunktion zur Charakterisierung der Bernoulli-Zahlen bereitsteht.

Beispielsweise geht aus der Produktdarstellung der Riemannschen Zeta-Funktion und obigen Reihenentwicklungen der Bernoulli-Zahlen die folgende Darstellung hervor:

Hierbei erstreckt sich das Produkt über alle Primzahlen (siehe auch Eulerprodukt der Riemannschen Zetafunktion).

Integraldarstellungen Bearbeiten

Es gibt viele uneigentliche Integrale mit Summen oder Differenzen von zwei Exponentialfunktionen im Nenner des Integranden, deren Werte durch Bernoulli-Zahlen gegeben sind. Einige einfache Beispiele sind

aber auch

aus.

Bernoulli-Polynome Bearbeiten

Die Graphen der Bernoulli-Polynome des Grades 1 bis 6

Für jedes ist das Bernoulli-Polynom eine Abbildung und durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: Für setzen wir

und für ergibt sich das -te Bernoulli-Polynom eindeutig durch die beiden Bedingungen

und

rekursiv aus dem vorherigen. Als Summe der Potenzen von geschrieben lautet der Ausdruck für das -te Polynom

wobei hier wieder die die Bernoulli-Zahlen erster Art bezeichnen. Diese Form folgt direkt aus der symbolischen Formel

worin man die Potenzen von als die entsprechende n-te Bernoulli-Zahl interpretiert. Die ersten Bernoulli-Polynome lauten

Diese Polynome sind symmetrisch um , genauer

Ihre konstanten Terme sind die Bernoulli-Zahlen erster Art, also

die Bernoulli-Zahlen zweiter Art erhält man aus

und schließlich gilt

in der Intervallmitte. Das k-te Bernoulli-Polynom hat für k > 5 weniger als k Nullstellen in ganz und für gerades n ≠ 0 zwei und für ungerades n ≠ 1 die drei Nullstellen im Intervall . Sei die Nullstellenmenge dieser Polynome. Dann ist

für alle n ≠ 5 und n ≠ 2 und es gilt

wobei die Funktion angewandt auf eine Menge deren Elementanzahl angibt.

Die Funktionswerte der Bernoulli-Polynome im Intervall [0,1] sind für geraden Index durch

und für ungeraden Index (aber nicht scharf) durch

beschränkt.

Ferner genügen sie der Gleichung

falls man sie auf ganz analytisch fortsetzt, und die Summe der Potenz der ersten natürlichen Zahlen lässt sich mit ihnen als

beschreiben. Die Indexverschiebung von zu auf der rechten Seite der Gleichung ist hier notwendig, da man historisch die Bernoulli-Poynome an den Bernoulli-Zahlen erster Art (und nicht zweiter Art) „fälschlicherweise“ festmachte und somit statt den Summanden in obigen Bernoulli-Poynomen erhält, was hier genau den Wert zu wenig ergibt (den letzten Term der Summe auf der linken Seite), und daher auf der rechten Seite dieser Index noch „eins weiter“ laufen muss.

Bernoulli-Zahlen in der algebraischen Zahlentheorie Bearbeiten

Satz von Staudt:

Als Satz von Staudt-Clausen ist auch die Aussage

bekannt, die etwas stärker ist als der vorherige Satz von Clausen und von-Staudt zur Charakterisierung der Nenner. Die Folge der so bestimmten ganzen Zahlen für geradzahligen Index lautet .

Kummersche Kongruenz:

Eine ungerade Zahl heißt reguläre Primzahl, wenn sie keinen der Zähler der Bernoulli-Zahlen mit teilt. Kummer zeigte, dass diese Bedingung äquivalent dazu ist, dass nicht die Klassenzahl des p-ten Kreisteilungskörpers teilt. Er konnte so 1850 beweisen, dass der große Fermatsche Satz, nämlich hat für keine Lösungen in , für alle Exponenten gilt, die eine reguläre Primzahl sind. Damit war beispielsweise durch das Überprüfen der Bernoulli-Zahlen bis Index 94 der große Fermatsche Satz mit Ausnahme der Exponenten 37, 59, 67 und 74 für alle anderen Exponenten ≤ 100 bewiesen.

Tangentenzahlen und Anwendungen in der Kombinatorik Bearbeiten

Betrachtet man die Eulerschen Zahlen und die Taylorentwicklung der Tangens-Funktion, so kann man die Tangenten-Zahlen implizit definieren zu

und für Index Null noch setzen. Man hat somit die Transformation

die aus den Bernoulli-Zahlen erster Art diese Folge ganzer Zahlen erzeugt:

Da die Vorzeichenwahl in der impliziten Definition völlig willkürlich ist, kann man genauso berechtigt mittels

die Tangentenzahlen definieren, mit der Konsequenz

und hat für alle Indizes

In jedem Fall sind mit Ausnahme von alle Zahlen mit geradem Index Null und die mit ungeradem Index haben alternierendes Vorzeichen.

Die Werte sind nun genau die Anzahl alternierender Permutationen einer elementigen Menge. Weitere Informationen zur direkten Bestimmung der Tangentenzahlen findet man im Artikel Eulersche Zahlen.

In der Kombinatorik lassen sich die Bernoulli-Zahlen zweiter Art auch durch die Stirling-Zahlen zweiter Art darstellen als

Die Werte werden auch als Worpitzky-Zahlen bezeichnet. Ein weiterer Zusammenhang ergibt sich über die erzeugende Potenzreihe der Stirling-Polynome mit wegen

mit den Stirling-Zahlen erster Art zu

die man so für negatives definieren könnte. Daher sind die Bernoulli-Zahlen zweiter Art auch die Werte der Stirling-Polynome bei Null

aufgrund der gleichen formalen Potenzreihe.

Algebraische Topologie Bearbeiten

Hier im Artikel sind die Bernoulli-Zahlen zu Anfang willkürlich mittels erzeugender Potenzreihen definiert worden. Die formale Potenzreihe von tritt aber auch direkt bei der Bestimmung der Todd-Klasse eines Vektorbündels auf einem topologischen Raum auf:

wobei die die Kohomologieklassen von sind. Wenn endlich-dimensional ist, dann ist ein Polynom. Die Bernoulli-Zahlen zweiter Art „zählen“ hier also ganz natürlich gewisse topologische Objekte. Diese formale Potenzreihe schlägt sich genauso im L-Geschlecht bzw. Todd-Geschlecht der charakteristischen Potenzreihe einer orientierbaren Mannigfaltigkeit nieder.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. J. C. Kluyver: Der Staudt-Clausen’sche Satz. Math. Ann. Bd. 53, (1900), S. 591–592.
  2. W. Gröbner und N. Hofreiter: Integraltafel. Zweiter Teil: Bestimmte Integrale. 5. verb. Auflage, Springer-Verlag, 1973.
  3. John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer-Verlag, 1996, ISBN 0-387-97993-X, Kap. 4, S. 107–109.
  4. J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher: Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions. AMM, Bd. 96, Nr 8, (Okt. 1989), S. 682.
  5. Henry Wadsworth Gould: Combinatorial identities. Morgantown, W Va, 1972.
  6. K. Reillag, J. Gallier: Complex Algebraic Geometry. CIS 610, Lecture Notes, Fall 2003 – Spring 2004, Chap 3, S. 209–220.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Bernoulli Zahlen oder Bernoullischen Zahlen 1 1 2 1 6 0 1 30 sind eine Folge rationaler Zahlen die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhangen auftreten in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer hyperbolischer und anderer Funktionen in der Euler Maclaurin Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob I Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingefuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zahlenwerte 3 Rekursionsformeln 4 Reihen mit Bernoulli Zahlen 5 Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta Funktion 6 Integraldarstellungen 7 Bernoulli Polynome 8 Bernoulli Zahlen in der algebraischen Zahlentheorie 9 Tangentenzahlen und Anwendungen in der Kombinatorik 10 Algebraische Topologie 11 Siehe auch 12 Literatur 13 Quellen 14 WeblinksDefinition BearbeitenIn der mathematischen Fachliteratur werden die Bernoulli Zahlen als drei unterschiedliche Folgen definiert die aber sehr eng zusammenhangen Da ist einmal die altere Notation bis ins 20 Jahrhundert im Wesentlichen genutzt die hier mit b n displaystyle beta n nbsp bezeichnet wird und die beiden neueren Formen die in diesem Artikel mit B n displaystyle B n nbsp und B n displaystyle B n ast nbsp bezeichnet und seit circa Mitte des 20 Jahrhunderts meistens benutzt werden Eine genauere Verbreitung oder der historische Ubergang der Konventionen lasst sich schwer objektivieren da dies stark vom jeweiligen Mathematiker und dem Verbreitungsgebiet seiner Schriften abhing bzw abhangt Eine heutzutage gangige implizite Definition der Bernoulli Zahlen ist sie uber die Koeffizienten folgender Taylorreihen entweder als x e x 1 k 0 B k x k k displaystyle frac x e x 1 sum k 0 infty B k frac x k k nbsp oder durch Spiegelung an der y Achse als x 1 e x k 0 B k x k k displaystyle frac x 1 e x sum k 0 infty B k ast frac x k k nbsp bzw fruher als x e x 1 1 1 2 x k 1 1 k b k x 2 k 2 k displaystyle frac x e x 1 1 frac 1 2 x sum k 1 infty 1 k beta k frac x 2k 2k nbsp einzufuhren Hierbei sind die Zahlen B k displaystyle B k nbsp und B k displaystyle B k ast nbsp die Koeffizienten der Reihenentwicklung bzw die Glieder der Bernoulli Zahlenfolge Die Reihenentwicklungen konvergieren fur alle x mit x lt 2 p displaystyle x lt 2 pi nbsp Ersetzt man x displaystyle x nbsp durch x displaystyle x nbsp so erkennt man die Gultigkeit von B k 1 k B k displaystyle B k 1 k B k ast nbsp d h die beiden erstgenannten Definitionen unterscheiden sich lediglich fur den Index 1 alle anderen B k displaystyle B k nbsp bzw B k displaystyle B k ast nbsp mit ungeradem Index sind null Zur sicheren Unterscheidung konnen die Glieder B k displaystyle B k nbsp als die der ersten Art mit B 1 1 2 displaystyle B 1 1 2 nbsp und die B k displaystyle B k ast nbsp als die der zweiten Art mit B 1 1 2 displaystyle B 1 ast 1 2 nbsp bezeichnet werden Auf der zuletzt aufgefuhrten Reihe fusst die altere Definition bei dieser kommen nur Glieder mit Indizes k 2 displaystyle k geq 2 nbsp vor d h die Glieder mit Index 0 und 1 mussen separat betrachtet werden Fur die verbleibenden Koeffizienten mit geradem Index k 2 k displaystyle k 2k prime nbsp genau diese sind nicht null wahlt man eine eigene Definition so dass diese alle positiv sind Daher gilt b k 1 k 1 B 2 k displaystyle beta k prime 1 k prime 1 B 2k prime nbsp Genau dies hatte auch Jakob I Bernoulli bei seiner Erstbestimmung gemacht und so die altere Notation begrundet er hatte sie allerdings noch nicht durchnummeriert Er entdeckte diese Zahlen durch die Betrachtung der Polynome welche die Summe der Potenzen naturlicher Zahlen von 1 bis zu einem gegebenen n displaystyle n nbsp mit kleinen ganzzahligen Exponenten beschreiben Z B 1 2 n 1 2 n 1 n 1 2 n 2 1 2 n 1 2 2 2 n 2 1 6 n n 1 2 n 1 1 3 n 3 1 2 n 2 1 6 n 1 3 2 3 n 3 1 4 n 2 n 1 2 1 4 n 4 1 2 n 3 1 4 n 2 displaystyle begin array lll 1 2 cdots n amp frac 1 2 n 1 n amp frac 1 2 n 2 frac 1 2 n 1 2 2 2 cdots n 2 amp frac 1 6 n n 1 2n 1 amp frac 1 3 n 3 frac 1 2 n 2 frac 1 6 n 1 3 2 3 cdots n 3 amp frac 1 4 n 2 n 1 2 amp frac 1 4 n 4 frac 1 2 n 3 frac 1 4 n 2 end array nbsp Dies fuhrt letztlich uber die Faulhaberschen Formeln auf die Euler Maclaurin Formel in der die Bernoulli Zahlen eine zentrale Rolle spielen Bewiesen hat er ihre allgemeinen Werte nicht nur die der kleineren Koeffizienten korrekt errechnet seine entsprechenden Aufzeichnungen wurden postum veroffentlicht Zahlenwerte BearbeitenDie ersten Bernoulli Zahlen B k displaystyle B k nbsp B k displaystyle B k ast nbsp 0 lauten Index Zahler Nenner auf 6 Nach kommastellen multipliziert mit 2 k 1 2 displaystyle mathbf 2 k 1 2 nbsp T k 1 displaystyle mathbf T k 1 nbsp 0 1 1 1 000000 01 1 2 0 500000 1 12 1 6 0 166666 1 14 1 30 0 033333 1 26 1 42 0 023809 3 168 1 30 0 033333 17 27210 5 66 0 075757 155 793612 691 2730 0 253113 2073 35379214 7 6 1 166666 38227 2236825616 3617 510 7 092156 929569 190375731218 43867 798 54 971177 28820619 20986534297620 174611 330 529 124242 1109652905 2908888511283222 854513 138 6192 123188 51943281731 495149805312409624 236364091 2730 86580 253113 2905151042481 1015423886506852352 k N B 2 k 1 0 displaystyle forall k in mathbb N quad B 2k 1 0 nbsp k N b 2 k 1 B 4 k 2 gt 0 displaystyle forall k in mathbb N quad beta 2k 1 B 4k 2 gt 0 nbsp k N b 2 k B 4 k lt 0 displaystyle forall k in mathbb N quad beta 2k B 4k lt 0 nbsp Die Zahlen b k displaystyle beta k nbsp bilden eine streng konvexe ihre Differenzen wachsen Folge Die Nenner der b k displaystyle beta k nbsp sind stets ein Vielfaches von 6 denn es gilt der Satz von Clausen und von Staudt auch Staudt Clausen scher Satz 1 genannt k N Nenner B 2 k p P p 1 2 k p displaystyle forall k in mathbb N colon qquad text Nenner B 2k prod p in mathbb P atop p 1 2k p nbsp Er ist benannt nach der unabhangigen Entdeckung von Thomas Clausen und Karl von Staudt 1840 Der Nenner der B 2 k displaystyle B 2k nbsp ist also das Produkt aller Primzahlen fur die gilt dass p 1 displaystyle p 1 nbsp den Index 2 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for m 2 n for k 0 m for v 0 k b m 1 1 v binomial k v v m k 1 end end end return bRekursionsformeln BearbeitenMochte man die Bernoulli Zahlen der ersten Art beschreiben also B 1 1 2 displaystyle B 1 1 2 nbsp so ergeben sich diese Bernoulli Zahlen B k displaystyle B k nbsp aus der Rekursionsformel mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp B n 1 n 1 k 0 n 1 n 1 k B k displaystyle B n frac 1 n 1 sum k 0 n 1 n 1 choose k B k nbsp und dem Startwert B 0 1 displaystyle B 0 1 nbsp Fur ungerade Indizes k 3 displaystyle k geq 3 nbsp folgt daraus wieder B k 0 displaystyle B k 0 nbsp Diese Formel entstammt der impliziten Definition der Bernoulli Zahlen erster Art die bis Mitte des 20 Jahrhunderts auch die gebrauchlichste Definition war da sie eine leicht zu merkende Gestalt hat n N 0 1 B n 1 B n displaystyle forall n in mathbb N 0 setminus 1 colon qquad B n 1 B n nbsp die auch in der weniger verbreiteten Form geschrieben werden kann als n N 0 B n 1 B n displaystyle forall n in mathbb N 0 colon qquad B n 1 B n nbsp wobei in diesen Darstellungen Potenzen von B displaystyle B nbsp als die entsprechend indizierten Bernoulli Zahlen zu interpretieren sind Fur die Bernoulli Zahlen der zweiten Art lasst sich analog n N 0 1 B n B 1 n displaystyle forall n in mathbb N 0 setminus 1 colon qquad B ast n B ast 1 n nbsp als auch n N 0 B n 1 B n n displaystyle forall n in mathbb N 0 colon qquad B ast n 1 B ast n n nbsp oder eleganter n N 0 B n 1 B n displaystyle forall n in mathbb N 0 colon qquad B ast n 1 B ast n nbsp schreiben und als induktive Definition der Bernoulli Zahlen zweiter Art verwenden mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp zu B n 1 n 1 k 0 n 1 1 n 1 k n 1 k B k displaystyle B n ast frac 1 n 1 sum k 0 n 1 1 n 1 k n 1 choose k B k ast nbsp mit dem Startwert B 0 1 displaystyle B 0 ast 1 nbsp oder fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp als B n 1 1 n 1 k 0 n 1 n 1 k B k displaystyle B n ast 1 frac 1 n 1 sum k 0 n 1 n 1 choose k B k ast nbsp Reihen mit Bernoulli Zahlen BearbeitenDiese Zahlen treten beispielsweise in der Taylorreihe des Tangens des Tangens hyperbolicus oder des Cosecans auf im Allgemeinen wenn eine Funktion eine geschlossene Darstellung hat wo die Sinusfunktion oder Sinus hyperbolicus Funktion im Nenner steht d h durch die Summe oder Differenz zweier e Funktionen dividiert wird x mit x lt p 2 tan x k 1 1 k 2 2 k 1 2 2 k 2 k B 2 k x 2 k 1 displaystyle forall x text mit x lt frac pi 2 colon qquad tan x sum k 1 infty 1 k frac 2 2k 1 2 2k 2k B 2k x 2k 1 nbsp x mit x lt p 2 tanh x k 1 2 2 k 2 2 k 1 2 k B 2 k x 2 k 1 displaystyle forall x text mit x lt frac pi 2 colon qquad tanh x sum k 1 infty frac 2 2k 2 2k 1 2k B 2k x 2k 1 nbsp x mit x lt p csc x k 0 1 k 2 2 2 k 2 k B 2 k x 2 k 1 displaystyle forall x text mit x lt pi colon qquad csc x sum k 0 infty 1 k frac 2 2 2k 2k B 2k x 2k 1 nbsp x mit x lt p cot x k 0 1 k 2 2 k 2 k B 2 k x 2 k 1 displaystyle forall x text mit x lt pi colon qquad cot x sum k 0 infty 1 k frac 2 2k 2k B 2k x 2k 1 nbsp Hier zwei nicht konvergierende asymptotische Reihen die der Trigamma Funktion der zweiten Ableitung des naturlichen Logarithmus der Gammafunktion ps 1 z k 0 B k z k 1 z displaystyle psi 1 z simeq sum k 0 infty frac B k ast z k 1 quad z to infty nbsp und die des naturlichen Logarithmus der Gammafunktion ln G x 1 x ln x x ln x 2 ln 2 p k 1 B 2 k 2 k 2 k 1 x 2 k 1 x displaystyle ln Gamma x 1 simeq x ln x x frac ln x 2 ln sqrt 2 pi sum k 1 infty frac B 2k 2k 2k 1 x 2k 1 quad x to infty nbsp die als Logarithmus der Stirlingformel bekannt ist Diese lasst sich einfach aus der asymptotischen Form der Euler Maclaurin Formel ableiten die in ihrer symmetrischen Schreibweise i m n f i j 0 1 j B j f j 1 n B j f j 1 m displaystyle sum i m n f i sum j 0 infty frac 1 j left B j ast f j 1 n B j f j 1 m right nbsp lautet wobei hier der Ausdruck f j 1 x displaystyle f j 1 x nbsp die j 1 displaystyle textstyle j 1 nbsp te Ableitung speziell fur j 0 displaystyle textstyle j 0 nbsp das Integral der Funktion f displaystyle f nbsp ausgewertet an der Stelle x displaystyle x nbsp bedeutet wenn man dort f i ln i displaystyle f i ln i nbsp setzt die untere Summationsgrenze m displaystyle textstyle m nbsp zu 1 displaystyle textstyle 1 nbsp wahlt und die obere Summationsgrenze n displaystyle textstyle n nbsp mit x displaystyle textstyle x nbsp variabel halt Dies ist eine der bekanntesten Anwendungen der Bernoulli Zahlen und gilt fur alle analytischen Funktionen f displaystyle f nbsp auch wenn diese asymptotische Entwicklung in den meisten Fallen nicht konvergiert Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta Funktion BearbeitenDie folgenden Reihenentwicklungen liefern die im oben genannten Sinne klassischen Bernoulli Zahlen b n 2 n 2 2 n 1 p 2 n z 2 n 2 n 2 2 n 1 p 2 n k 1 1 k 2 n 2 2 n 2 2 n 1 p 2 n k 0 1 2 k 1 2 n 2 n 2 2 n 1 1 p 2 n k 1 1 k 1 k 2 n displaystyle begin aligned beta n frac 2n 2 2n 1 pi 2n zeta 2n frac 2n 2 2n 1 pi 2n sum k 1 infty frac 1 k 2n frac 2 2n 2 2n 1 pi 2n sum k 0 infty frac 1 2k 1 2n frac 2n 2 2n 1 1 pi 2n sum k 1 infty frac 1 k 1 k 2n end aligned nbsp Fur die modernen Bernoulli Zahlen gilt B n n cos p 2 n 2 n 1 p n z n n cos p 2 n 2 n 1 p n k 1 1 k n 2 n cos p 2 n 2 n 1 p n k 0 1 2 k 1 n n cos p 2 n 2 n 1 1 p n k 1 1 k k n displaystyle begin aligned B n ast amp frac n cos frac pi 2 n 2 n 1 pi n zeta n frac n cos frac pi 2 n 2 n 1 pi n sum k 1 infty frac 1 k n frac 2 n cos frac pi 2 n 2 n 1 pi n sum k 0 infty frac 1 2k 1 n amp frac n cos frac pi 2 n 2 n 1 1 pi n sum k 1 infty frac 1 k k n end aligned nbsp wobei im Fall der neueren Definition fur n 1 undefinierte Ausdrucke der Form 0 0 displaystyle tfrac 0 0 nbsp entstehen die aber gemass der Regel von de L Hospital wegen lim n 1 cos p 2 n lim n 1 p 2 1 n displaystyle textstyle lim n to 1 cos frac pi 2 n lim n to 1 frac pi 2 1 n nbsp den Pol erster Ordnung der Riemannschen Zetafunktion bei 1 bzw in der letzten Darstellung den Term 2 n 1 1 displaystyle textstyle 2 n 1 1 nbsp im Nenner aufheben und somit korrekt den Wert 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp liefern Fur die Bernoulli Zahlen zweiter Art gibt es noch die pragnante Darstellung B n n z 1 n n N 0 displaystyle B n ast n zeta 1 n quad forall n in mathbb N 0 nbsp so dass die gesamte Theorie der Riemannschen Zetafunktion zur Charakterisierung der Bernoulli Zahlen bereitsteht Beispielsweise geht aus der Produktdarstellung der Riemannschen Zeta Funktion und obigen Reihenentwicklungen der Bernoulli Zahlen die folgende Darstellung hervor b n 2 2 n 2 p 2 n p P 1 1 p 2 n 1 2 2 n 2 p 2 n 1 1 1 2 2 n 1 1 3 2 n 1 1 5 2 n displaystyle beta n frac 2 2n 2 pi 2n prod p in mathbb P left 1 frac 1 p 2n right 1 frac 2 2n 2 pi 2n frac 1 left 1 frac 1 2 2n right left 1 frac 1 3 2n right left 1 frac 1 5 2n right cdots nbsp Hierbei erstreckt sich das Produkt uber alle Primzahlen siehe auch Eulerprodukt der Riemannschen Zetafunktion Integraldarstellungen BearbeitenEs gibt viele uneigentliche Integrale mit Summen oder Differenzen von zwei Exponentialfunktionen im Nenner des Integranden deren Werte durch Bernoulli Zahlen gegeben sind Einige einfache Beispiele sind n N a R 0 x 2 n 1 e a x e a x d x 2 2 n 1 4 n b n p a 2 n displaystyle forall n in mathbb N forall a in mathbb R colon qquad int 0 infty frac x 2n 1 e ax e ax text d x frac 2 2n 1 4n beta n left frac pi a right 2n nbsp n N a R 0 x 2 n 1 e a x 1 d x b n 4 n 2 p a 2 n displaystyle forall n in mathbb N forall a in mathbb R colon qquad int 0 infty frac x 2n 1 e ax 1 text d x frac beta n 4n left frac 2 pi a right 2n nbsp n N a R 0 x 2 n 1 e a x 1 d x 2 2 n 1 2 n b n p a 2 n displaystyle forall n in mathbb N forall a in mathbb R colon qquad int 0 infty frac x 2n 1 e ax 1 text d x frac 2 2n 1 2n beta n left frac pi a right 2n nbsp aber auch n N a R 0 1 ln x 2 n 2 ln 1 x a 1 x d x 2 p 2 n 1 b n 4 n 2 n 1 a 2 n 1 displaystyle forall n in mathbb N forall a in mathbb R colon qquad int 0 1 ln x 2n 2 ln 1 x a frac 1 x text d x frac 2 pi 2n 1 beta n 4n 2n 1 a 2n 1 nbsp aus 2 Bernoulli Polynome Bearbeiten nbsp Die Graphen der Bernoulli Polynome des Grades 1 bis 6Fur jedes n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp ist das Bernoulli Polynom eine Abbildung B n 0 1 R displaystyle text B n colon 0 1 rightarrow mathbb R nbsp und durch folgende Rekursionsgleichungen vollstandig charakterisiert Fur n 0 displaystyle n 0 nbsp setzen wir B 0 x 1 displaystyle text B 0 x 1 nbsp und fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp ergibt sich das n displaystyle n nbsp te Bernoulli Polynom B n displaystyle text B n nbsp eindeutig durch die beiden Bedingungen B n x n B n 1 x d x displaystyle text B n x n int text B n 1 x text d x nbsp und 0 1 B n x d x 0 displaystyle int 0 1 text B n x text d x 0 nbsp rekursiv aus dem vorherigen Als Summe der Potenzen von x displaystyle x nbsp geschrieben lautet der Ausdruck fur das n displaystyle n nbsp te Polynom B n x k 0 n n k B k x n k displaystyle text B n x sum limits k 0 n n choose k B k x n k nbsp wobei hier wieder die B k displaystyle B k nbsp die Bernoulli Zahlen erster Art bezeichnen Diese Form folgt direkt aus der symbolischen Formel B n x B x n displaystyle text B n x B x n nbsp worin man die Potenzen von B displaystyle B nbsp als die entsprechende n te Bernoulli Zahl B n displaystyle B n nbsp interpretiert Die ersten Bernoulli Polynome lauten B 0 x 1 displaystyle text B 0 x 1 nbsp B 1 x x 1 2 displaystyle text B 1 x x tfrac 1 2 nbsp B 2 x x 2 x 1 6 displaystyle text B 2 x x 2 x tfrac 1 6 nbsp B 3 x x 3 3 2 x 2 1 2 x displaystyle text B 3 x x 3 tfrac 3 2 x 2 tfrac 1 2 x nbsp B 4 x x 4 2 x 3 x 2 1 30 displaystyle text B 4 x x 4 2x 3 x 2 tfrac 1 30 nbsp B 5 x x 5 5 2 x 4 5 3 x 3 1 6 x displaystyle text B 5 x x 5 tfrac 5 2 x 4 tfrac 5 3 x 3 tfrac 1 6 x nbsp B 6 x x 6 3 x 5 5 2 x 4 1 2 x 2 1 42 displaystyle text B 6 x x 6 3x 5 tfrac 5 2 x 4 tfrac 1 2 x 2 tfrac 1 42 nbsp Diese Polynome sind symmetrisch um 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp genauer B k 1 2 x 1 k B k 1 2 x displaystyle text B k tfrac 1 2 x 1 k text B k tfrac 1 2 x nbsp Ihre konstanten Terme sind die Bernoulli Zahlen erster Art also B k 0 B k displaystyle text B k 0 B k nbsp die Bernoulli Zahlen zweiter Art erhalt man aus B k 1 B k displaystyle text B k 1 B k ast nbsp und schliesslich gilt B k 1 2 1 2 1 k B k 1 2 1 k B k displaystyle text B k tfrac 1 2 1 2 1 k B k ast 1 2 1 k B k nbsp in der Intervallmitte Das k te Bernoulli Polynom hat fur k gt 5 weniger als k Nullstellen in ganz R displaystyle mathbb R nbsp und fur gerades n 0 zwei und fur ungerades n 1 die drei Nullstellen 0 1 2 1 displaystyle 0 tfrac 1 2 1 nbsp im Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Sei R n x R B n x 0 displaystyle R n x in mathbb R colon text B n x 0 nbsp die Nullstellenmenge dieser Polynome Dann ist 1 4 R n 3 4 min R n max R n 1 4 R n 1 4 displaystyle tfrac 1 4 R n tfrac 3 4 leq min R n leq max R n leq tfrac 1 4 R n tfrac 1 4 nbsp fur alle n 5 und n 2 und es gilt lim n R n n 2 p e 0 234 2 displaystyle lim n to infty frac R n n frac 2 pi e approx 0 2342 nbsp wobei die Funktion displaystyle cdot nbsp angewandt auf eine Menge deren Elementanzahl angibt Die Funktionswerte der Bernoulli Polynome im Intervall 0 1 sind fur geraden Index durch B k B k x B k displaystyle B k leq text B k x leq B k nbsp und fur ungeraden Index 1 displaystyle not 1 nbsp aber nicht scharf durch 2 z k k 2 p k lt B k x lt 2 z k k 2 p k displaystyle frac 2 zeta k k 2 pi k lt text B k x lt frac 2 zeta k k 2 pi k nbsp beschrankt Ferner genugen sie der Gleichung B k x 1 B k x k x k 1 displaystyle text B k x 1 text B k x kx k 1 nbsp falls man sie auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp analytisch fortsetzt und die Summe der Potenz der ersten n displaystyle n nbsp naturlichen Zahlen lasst sich mit ihnen als j 1 n j k 0 n 1 B k t d t B k 1 n 1 B k 1 0 k 1 displaystyle sum j 1 n j k int 0 n 1 B k t text d t frac text B k 1 n 1 text B k 1 0 k 1 nbsp beschreiben Die Indexverschiebung von n displaystyle n nbsp zu n 1 displaystyle n 1 nbsp auf der rechten Seite der Gleichung ist hier notwendig da man historisch die Bernoulli Poynome an den Bernoulli Zahlen erster Art und nicht zweiter Art falschlicherweise festmachte 3 und somit statt k 2 n k displaystyle tfrac k 2 n k nbsp den Summanden k 2 n k displaystyle tfrac k 2 n k nbsp in obigen Bernoulli Poynomen erhalt was hier genau den Wert n k displaystyle n k nbsp zu wenig ergibt den letzten Term der Summe auf der linken Seite und daher auf der rechten Seite dieser Index noch eins weiter laufen muss Bernoulli Zahlen in der algebraischen Zahlentheorie BearbeitenSatz von Staudt p P n N mit p 1 2 n p B 2 n 1 mod p displaystyle forall p in mathbb P forall n in mathbb N text mit p 1 2n colon qquad pB 2n equiv 1 pmod p nbsp Als Satz von Staudt Clausen ist auch die Aussage B 2 n p P p 1 2 n 1 p Z displaystyle B 2n sum p in mathbb P atop p 1 2n frac 1 p quad in mathbb Z nbsp bekannt die etwas starker ist als der vorherige Satz von Clausen und von Staudt zur Charakterisierung der Nenner Die Folge der so bestimmten ganzen Zahlen fur geradzahligen Index lautet 1 1 1 1 1 1 2 6 56 528 6193 displaystyle 1 1 1 1 1 1 2 6 56 528 6193 ldots nbsp Kummersche Kongruenz p P n N mit p 1 2 n B 2 n p 1 2 n p 1 B 2 n 2 n mod p displaystyle forall p in mathbb P forall n in mathbb N text mit p 1 not 2n colon qquad frac B 2n p 1 2n p 1 equiv frac B 2n 2n pmod p nbsp Eine ungerade Zahl p P displaystyle p in mathbb P nbsp heisst regulare Primzahl wenn sie keinen der Zahler der Bernoulli Zahlen B 2 n displaystyle B 2n nbsp mit 2 n p 3 displaystyle 2n leq p 3 nbsp teilt Kummer zeigte dass diese Bedingung aquivalent dazu ist dass p displaystyle p nbsp nicht die Klassenzahl h Q z p displaystyle h mathbb Q zeta p nbsp des p ten Kreisteilungskorpers Q z p displaystyle mathbb Q zeta p nbsp teilt Er konnte so 1850 beweisen dass der grosse Fermatsche Satz namlich a p b p c p displaystyle a p b p c p nbsp hat fur p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp keine Losungen in N displaystyle mathbb N nbsp fur alle Exponenten p displaystyle p nbsp gilt die eine regulare Primzahl sind Damit war beispielsweise durch das Uberprufen der Bernoulli Zahlen bis Index 94 der grosse Fermatsche Satz mit Ausnahme der Exponenten 37 59 67 und 74 fur alle anderen Exponenten 100 bewiesen Tangentenzahlen und Anwendungen in der Kombinatorik BearbeitenBetrachtet man die Eulerschen Zahlen und die Taylorentwicklung der Tangens Funktion so kann man die Tangenten Zahlen 4 implizit definieren zu x mit x lt p 2 tan x k 1 1 k 2 2 k 1 2 2 k 2 k B 2 k x 2 k 1 k 1 1 k T 2 k 1 2 k 1 x 2 k 1 displaystyle forall x text mit x lt frac pi 2 colon qquad tan x sum k 1 infty 1 k frac 2 2k 1 2 2k 2k B 2k x 2k 1 sum k 1 infty 1 k frac T 2k 1 2k 1 x 2k 1 nbsp und fur Index Null noch T 0 1 displaystyle T 0 1 nbsp setzen Man hat somit die Transformation n N T n 1 2 n 2 n 1 n B n displaystyle forall n in mathbb N colon quad T n 1 frac 2 n 2 n 1 n B n nbsp die aus den Bernoulli Zahlen erster Art diese Folge ganzer Zahlen erzeugt T n n N 0 1 1 0 2 0 16 0 272 0 7936 displaystyle T n n in mathbb N 0 1 1 0 2 0 16 0 272 0 7936 ldots nbsp Da die Vorzeichenwahl in der impliziten Definition vollig willkurlich ist kann man genauso berechtigt mittels n N T n 1 2 n 2 n 1 n B n displaystyle forall n in mathbb N colon quad T n 1 ast mp frac 2 n 2 n 1 n B n ast nbsp die Tangentenzahlen definieren mit der Konsequenz T n n N 0 1 1 0 2 0 16 0 272 0 7936 displaystyle T n ast n in mathbb N 0 mp 1 mp 1 0 pm 2 0 mp 16 0 pm 272 0 mp 7936 ldots nbsp und hat fur alle Indizes T n 2 n 1 2 n 1 1 z n displaystyle T n ast pm 2 n 1 2 n 1 1 zeta n nbsp In jedem Fall sind mit Ausnahme von T 0 displaystyle T 0 nbsp alle Zahlen mit geradem Index Null und die mit ungeradem Index haben alternierendes Vorzeichen Die Werte 2 T 2 k 1 displaystyle 2 T 2k 1 nbsp sind nun genau die Anzahl alternierender Permutationen einer 2 k 1 displaystyle 2k 1 nbsp elementigen Menge Weitere Informationen zur direkten Bestimmung der Tangentenzahlen findet man im Artikel Eulersche Zahlen In der Kombinatorik lassen sich die Bernoulli Zahlen zweiter Art auch durch die Stirling Zahlen zweiter Art n k displaystyle textstyle left n atop k right nbsp darstellen als n N 0 B n k 0 n 1 k k k 1 n k displaystyle forall n in mathbb N 0 colon quad B n ast sum k 0 n 1 k frac k k 1 left n atop k right nbsp Die Werte k n k displaystyle k left n atop k right nbsp werden auch als Worpitzky Zahlen bezeichnet 5 Ein weiterer Zusammenhang ergibt sich uber die erzeugende Potenzreihe der Stirling Polynome S k x displaystyle S k x nbsp mit k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 nbsp wegen k 0 S k x k t k t 1 e t x 1 displaystyle sum k 0 infty frac S k x k t k left frac t 1 e t right x 1 nbsp mit den Stirling Zahlen erster Art n ℓ displaystyle textstyle left n atop ell right nbsp zu S k m 1 k m k m 1 m 1 k fur m N 0 k m 1 displaystyle S k m frac 1 k m choose k left m 1 atop m 1 k right qquad text fur m in mathbb N 0 k leq m 1 nbsp die man so fur negatives ℓ displaystyle ell nbsp definieren konnte Daher sind die Bernoulli Zahlen zweiter Art auch die Werte der Stirling Polynome bei Null S k 0 B k displaystyle S k 0 B k ast nbsp aufgrund der gleichen formalen Potenzreihe Algebraische Topologie BearbeitenHier im Artikel sind die Bernoulli Zahlen zu Anfang willkurlich mittels erzeugender Potenzreihen definiert worden Die formale Potenzreihe von x 1 e x displaystyle tfrac x 1 e x nbsp tritt aber auch direkt bei der Bestimmung der Todd Klasse eines Vektorbundels E displaystyle E nbsp auf einem topologischen Raum X displaystyle X nbsp auf td E i N c i 1 e c i i N k 0 B k c i k k displaystyle operatorname td E prod i in mathbb N frac c i 1 e c i prod i in mathbb N sum k 0 infty B k ast frac c i k k nbsp wobei die c i displaystyle c i nbsp die Kohomologieklassen von E displaystyle E nbsp sind Wenn X displaystyle X nbsp endlich dimensional ist dann ist t d E displaystyle td E nbsp ein Polynom Die Bernoulli Zahlen zweiter Art zahlen hier also ganz naturlich gewisse topologische Objekte Diese formale Potenzreihe schlagt sich genauso im L Geschlecht bzw Todd Geschlecht der charakteristischen Potenzreihe einer orientierbaren Mannigfaltigkeit nieder 6 Siehe auch BearbeitenEulersche Zahlen sind eng mit den Bernoulli Zahlen verwandt Ada Lovelace legte einen Algorithmus zur maschinellen Berechnung der Bernoulli Zahlen ca 1845 vor Faulhabersche FormelLiteratur BearbeitenJakob Bernoulli Ars conjectandi opus posthumum Kunst des Vermutens hinterlassenes Werk Basileae Basel 1713 lateinisch Julius Worpitzky Studien uber die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen Crelles Journal 94 1883 S 203 232 Senon I Borewicz Igor R Safarevic Zahlentheorie Birkhauser Verlag Basel 1966 Kap 5 8 S 408 414 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag 1992 Kenneth F Ireland Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory Graduate Texts in Mathematics Bd 84 Springer Verlag 2 Auflage 1990 Kap 15 S 228 248 I S Gradshteyn I M Ryzhik Table of Integrals Series and Products Academic Press 4 Aufl 1980 ISBN 0 12 294760 6 Kap 9 6 Ulrich Warnecke Zur Polynomdarstellung von n 1 n n k displaystyle textstyle sum nu 1 n nu k nbsp fur beliebiges k N displaystyle k in mathbb N nbsp In Mathematische Semesterberichte Band XXX 1983 S 106 114 Quellen Bearbeiten J C Kluyver Der Staudt Clausen sche Satz Math Ann Bd 53 1900 S 591 592 W Grobner und N Hofreiter Integraltafel Zweiter Teil Bestimmte Integrale 5 verb Auflage Springer Verlag 1973 John H Conway Richard K Guy The Book of Numbers Springer Verlag 1996 ISBN 0 387 97993 X Kap 4 S 107 109 J M Borwein P B Borwein K Dilcher Pi Euler Numbers and Asymptotic Expansions AMM Bd 96 Nr 8 Okt 1989 S 682 Henry Wadsworth Gould Combinatorial identities Morgantown W Va 1972 K Reillag J Gallier Complex Algebraic Geometry CIS 610 Lecture Notes Fall 2003 Spring 2004 Chap 3 S 209 220 Weblinks BearbeitenDie ersten 498 Bernoulli Zahlen als Projekt Gutenberg e Text Helmut Richter Bernhard Schiekel Potenzsummen Bernoulli Zahlen und Euler sche Summenformel doi 10 18725 OPARU 1819 PDF 212 kB Bibliographie fur Bernoullizahlen Englisch Eric W Weisstein Bernoulli Number In MathWorld englisch The Bernoulli Number Page Grundlagen Programm zur Berechnung von Bernoulli Zahlen Normdaten Sachbegriff GND 4276648 5 lobid OGND AKS LCCN sh85013375 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bernoulli Zahl amp oldid 232487528 Bernoulli Polynome