www.wikidata.de-de.nina.az

Klassenzahl Sei K displaystyle K ein algebraischer Zahlkörper Dann ist seine h K displaystyle h K die Ordnung der stets

Klassenzahl

Sei ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von .

Zahlentheoretische Bedeutung Bearbeiten

Möchte man eine Gleichung über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe und der Idealklassengruppe zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal mit ein Hauptideal: . Diese Zahl löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über zu lösen, genügt es, die Struktur von als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von (z. B. für oder: , falls ).

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel Kreisteilungskörper und fermatsche Vermutung Bearbeiten

In den frühen Beweisversuchen zur Fermatschen Vermutung ging man stillschweigend davon aus, dass die für dieses Problem wichtigen Kreisteilungskörper (mit dem jeweiligen Exponenten in der Fermatgleichung und einer primitiven -ten Einheitswurzel) eine eindeutige Primfaktorzerlegung hatten (Klassenzahl 1), was durch Ernst Eduard Kummer widerlegt wurde. Kummer führte neue algebraische Objekte ein, die Ideale, und konnte so die Beweise für eine große Klasse von Kreisteilungskörper retten, indem er vom Rechnen mit den algebraischen Zahlen selbst zum Rechnen mit denjenigen Teilmengen der Zahlen des algebraischen Zahlkörpers überging, die die Ideale bilden. Die Kreisteilungskörper, für die er die Fermatsche Vermutung beweisen konnte, hatten ein , das eine reguläre Primzahl darstellte, das heißt, sie teilte die Klassenzahl des Kreisteilungskörpers nicht: .

Der Spezialfall der fermatschen Vermutung lautete dann: Sei eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu . Geht man jetzt zu den Idealen von über, erhält man, da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind, die Gleichungen . Da die Abbildung auf der Idealklassengruppe von injektiv ist, erhalten wird daraus die Gleichungen mit einer Einheit , die man zum Widerspruch führen kann.

Eine reguläre Primzahl lässt sich auch über Bernoullizahlen definieren:

Sei . Dann gilt:

Beispiel imaginärquadratischer Zahlkörper und Gaußsches Klassenzahlproblem Bearbeiten

Es gibt genau 9 sogenannte Heegner-Zahlen , für die die Klassenzahl hat: und . Sie stellen die Lösung des Gaußschen Klassenzahlproblems für imaginärquadratische Zahlkörper dar – der Frage, welche imaginär-quadratischen Zahlkörper die Klassenzahl 1 haben, das heißt eindeutige Primfaktorzerlegung. Die Lösung stammt von Kurt Heegner.

Eigenschaften Bearbeiten

Dabei ist die Anzahl der Einheitswurzeln in , die Diskriminante der Erweiterung , der Regulator von und die Dedekindsche Zeta-Funktion von .
Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.
  • Sei eine -Erweiterung, d. h., und . Sei ferner der -Anteil der Klassenzahl . Dann gibt es von unabhängige natürliche Zahlen , , , sodass für hinreichend großes . (Siehe: Iwasawa-Theorie)
  • Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für verifiziert):

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-540-54273-6.
  • Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 83). 2nd Edition. Springer, New York NY 1997, ISBN 0-387-94762-0.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Sei K displaystyle K ein algebraischer Zahlkorper Dann ist seine Klassenzahl h K displaystyle h K die Ordnung der stets endlichen Idealklassengruppe von K displaystyle K Inhaltsverzeichnis 1 Zahlentheoretische Bedeutung 1 1 Beispiel Kreisteilungskorper und fermatsche Vermutung 2 Beispiel imaginarquadratischer Zahlkorper und Gausssches Klassenzahlproblem 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 LiteraturZahlentheoretische Bedeutung BearbeitenMochte man eine Gleichung F x 1 displaystyle F x 1 nbsp uber einem Zahlkorper losen so ist eine mogliche Strategie die Gleichung uber der Idealgruppe I K displaystyle I K nbsp und der Idealklassengruppe C l K displaystyle Cl K nbsp zu losen Ist 1 die einzige Losung uber der Idealklassengruppe so ist jedes Ideal a displaystyle mathfrak a nbsp mit F a 1 displaystyle F mathfrak a 1 nbsp ein Hauptideal a a displaystyle mathfrak a alpha nbsp Diese Zahl a displaystyle alpha nbsp lost die ursprungliche Gleichung modulo Einheiten Um die Gleichung uber C l K displaystyle Cl K nbsp zu losen genugt es die Struktur von C l K displaystyle Cl K nbsp als abelsche Gruppe zu kennen In den meisten Fallen genugt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von h K displaystyle h K nbsp z B x n 1 x 1 displaystyle x n 1 Rightarrow x 1 nbsp fur n h K 1 displaystyle n h K 1 nbsp oder x n 1 displaystyle x n 1 nbsp falls h K n displaystyle h K n nbsp Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie Beispiel Kreisteilungskorper und fermatsche Vermutung Bearbeiten In den fruhen Beweisversuchen zur Fermatschen Vermutung ging man stillschweigend davon aus dass die fur dieses Problem wichtigen Kreisteilungskorper Q z p displaystyle mathbb Q zeta p nbsp mit p displaystyle p nbsp dem jeweiligen Exponenten in der Fermatgleichung und z p displaystyle zeta p nbsp einer primitiven p displaystyle p nbsp ten Einheitswurzel eine eindeutige Primfaktorzerlegung hatten Klassenzahl 1 was durch Ernst Eduard Kummer widerlegt wurde Kummer fuhrte neue algebraische Objekte ein die Ideale und konnte so die Beweise fur eine grosse Klasse von Kreisteilungskorper retten indem er vom Rechnen mit den algebraischen Zahlen selbst zum Rechnen mit denjenigen Teilmengen der Zahlen des algebraischen Zahlkorpers uberging die die Ideale bilden Die Kreisteilungskorper fur die er die Fermatsche Vermutung beweisen konnte hatten ein p displaystyle p nbsp das eine regulare Primzahl darstellte das heisst sie teilte die Klassenzahl des Kreisteilungskorpers nicht p h Q z p displaystyle p nmid h mathbb Q zeta p nbsp Der Spezialfall der fermatschen Vermutung lautete dann Sei p displaystyle p nbsp eine ungerade regulare Primzahl Dann hat die Gleichung x p y p z p x y z p 1 displaystyle x p y p z p quad xyz p 1 nbsp keine ganzzahligen Losungen Beweisskizze Die Gleichung lasst sich umschreiben zu i 0 p 1 x z p i y z p displaystyle prod i 0 p 1 x zeta p i y z p nbsp Geht man jetzt zu den Idealen von Q z p displaystyle mathbb Q zeta p nbsp uber erhalt man da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind die Gleichungen x z p i y a p displaystyle x zeta p i y mathfrak a p nbsp Da die Abbildung x x p displaystyle x mapsto x p nbsp auf der Idealklassengruppe von Q z p displaystyle mathbb Q zeta p nbsp injektiv ist erhalten wird daraus die Gleichungen x z p i y ϵ a p displaystyle x zeta p i y epsilon cdot alpha p nbsp mit einer Einheit ϵ displaystyle epsilon nbsp die man zum Widerspruch fuhren kann Eine regulare Primzahl lasst sich auch uber Bernoullizahlen definieren p h K p B j displaystyle p h K Leftrightarrow p B j nbsp fur ein j 2 4 p 3 displaystyle j in 2 4 dotsc p 3 nbsp Sei n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp Dann gilt p h Q z p p h Q z p n displaystyle p h mathbb Q zeta p Leftrightarrow p h mathbb Q zeta p n nbsp Beispiel imaginarquadratischer Zahlkorper und Gausssches Klassenzahlproblem BearbeitenEs gibt genau 9 sogenannte Heegner Zahlen d N displaystyle d in mathbb N nbsp fur die K Q d displaystyle K mathbb Q sqrt d nbsp die Klassenzahl h K 1 displaystyle h K 1 nbsp hat d 1 2 3 7 11 19 43 67 displaystyle d 1 2 3 7 11 19 43 67 nbsp und 163 displaystyle 163 nbsp Sie stellen die Losung des Gaussschen Klassenzahlproblems fur imaginarquadratische Zahlkorper dar der Frage welche imaginar quadratischen Zahlkorper die Klassenzahl 1 haben das heisst eindeutige Primfaktorzerlegung Die Losung stammt von Kurt Heegner Eigenschaften BearbeitenKlassenzahlformel Fur die Klassenzahl h K displaystyle h K nbsp gilt lim s 1 s 1 z K s 2 r 1 2 p r 2 h K Reg K w K D K displaystyle lim s to 1 s 1 zeta K s frac 2 r 1 cdot 2 pi r 2 cdot h K cdot operatorname Reg K w K cdot sqrt mid D K mid nbsp dd Dabei ist w K displaystyle w K nbsp die Anzahl der Einheitswurzeln in K displaystyle K nbsp D K displaystyle D K nbsp die Diskriminante der Erweiterung K Q displaystyle K mathbb Q nbsp Reg K displaystyle operatorname Reg K nbsp der Regulator von K displaystyle K nbsp und z K displaystyle zeta K nbsp die Dedekindsche Zeta Funktion von K displaystyle K nbsp Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl Sei K k displaystyle K k nbsp eine Z p displaystyle mathbb Z p nbsp Erweiterung d h k k 0 k 1 K displaystyle k k 0 subset k 1 subset cdots subset K nbsp und G k n k Z p n Z displaystyle G k n k cong mathbb Z p n mathbb Z nbsp Sei ferner p e n displaystyle p e n nbsp der p displaystyle p nbsp Anteil der Klassenzahl h k n displaystyle h k n nbsp Dann gibt es von n displaystyle n nbsp unabhangige naturliche Zahlen l displaystyle lambda nbsp m displaystyle mu nbsp n displaystyle nu nbsp sodass e n l n m p n n displaystyle e n lambda n mu p n nu nbsp fur hinreichend grosses n displaystyle n nbsp Siehe Iwasawa Theorie Vermutung von Vandiver nicht allgemein bewiesen fur p lt 12 10 6 displaystyle p lt 12 cdot 10 6 nbsp verifiziert Sei K Q z p Q z p R displaystyle K mathbb Q zeta p mathbb Q zeta p cap mathbb R nbsp Dann ist p displaystyle p nbsp kein Teiler von h K displaystyle h K nbsp Siehe auch BearbeitenRelativklassenzahlLiteratur BearbeitenJurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Berlin u a 1992 ISBN 3 540 54273 6 Lawrence C Washington Introduction to Cyclotomic Fields Graduate Texts in Mathematics Bd 83 2nd Edition Springer New York NY 1997 ISBN 0 387 94762 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Klassenzahl amp oldid 206934172