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Dedekindsche Zeta Funktion Die eines Zahlkörpers K displaystyle K ist definiert als ζ K s a N a s displaystyle zeta K s

Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers ist definiert als

wobei die Ideale des Ganzheitsrings des Zahlkörpers durchläuft und deren Absolutnorm ist. Die Reihe ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich für alle und es gilt die Produktdarstellung

wobei die Primideale von durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf sowie einen Pol in .

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade ist) korrespondiert.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
  • Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
  • Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.
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Die Dedekindsche Zeta Funktion eines Zahlkorpers K displaystyle K ist definiert als z K s a N a s displaystyle zeta K s sum mathfrak a mathfrak N mathfrak a s wobei a displaystyle mathfrak a die Ideale des Ganzheitsrings O K displaystyle O K des Zahlkorpers K displaystyle K durchlauft und N a displaystyle mathfrak N mathfrak a deren Absolutnorm ist Die Reihe z K s displaystyle zeta K s ist absolut und gleichmassig konvergent im Bereich ℜ s 1 d displaystyle Re s geq 1 delta fur alle d gt 0 displaystyle delta gt 0 und es gilt die Produktdarstellung z K s p 1 1 N p s displaystyle zeta K s prod mathfrak p frac 1 1 mathfrak N mathfrak p s wobei p displaystyle mathfrak p die Primideale von O K displaystyle O K durchlauft Die Zeta Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf C 1 displaystyle mathbb C setminus 1 sowie einen Pol in s 1 displaystyle s 1 Die Dedekindsche Zeta Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta Funktion dar die mit dem Korper der rationalen Zahlen dessen Ganzheitsring gerade Z displaystyle mathbb Z ist korrespondiert Siehe auch BearbeitenL FunktionLiteratur BearbeitenJurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin Heidelberg 1992 ISBN 2 540 54273 5 Wolfgang Schwarz Aus der Geschichte der Zahlentheorie Erganzte Ausarbeitung einer einstundigen Vorlesung im Winter Semester 2000 2001 Frankfurt am Main Stavros Garoufalidis James E Pommersheim Values of zeta functions at negative integers Dedekind sums and toric geometry Department of Mathematics Harvard University Cambridge MA USA Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dedekindsche Zeta Funktion amp oldid 193273961