L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:
- die Riemannsche Zeta-Funktion stimmt in einem Teilbereich der komplexen Zahlenebene mit einer Dirichlet-Reihe und einem Euler-Produkt überein, die beide absolut konvergieren;
- die zunächst nur in jenem Teilbereich definierte Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich analytisch fortsetzen zu einer auf der komplexen Zahlenebene meromorphen Funktion;
- die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion genügt einer Funktionalgleichung eines bestimmten Typs.
Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.
Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1989 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen, die heute den Namen „Selberg-Klasse“ trägt. Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.
Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.
Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.
Definition Bearbeiten
Wie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine allgemeine, eindeutige und weithin anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der nachfolgende Definitionsansatz folgt dem Ansatz, den die beiden Mathematiker Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski in ihrem Lehrbuch zur analytischen Zahlentheorie angegeben haben. Dieser Definitionsansatz ist zwar stellenweise abstrakt und unvollständig in dem Sinne, dass er die „arithmetischen Objekte“, denen er eine „L-Funktion“ zuordnet, sowie den genauen Mechanismus dieser Zuordnung nicht näher spezifiziert. Er umfasst aber die Eigenschaften, die von L-Funktionen im Allgemeinen erwartet werden, und ermöglicht es somit, die entscheidenden Merkmale dieser Funktionen zu erläutern. Nebenbei werden auch noch weitere Grundbegriffe der Theorie der L-Funktionen eingeführt:
Es sei ein – im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziertes – arithmetisches Objekt, z. B. ein Dirichlet-Charakter oder ein algebraischer Zahlkörper. Diesem arithmetischen Objekt zugeordnet ist eine Funktion , die komplexe Argumente auf komplexe Funktionswerte abbildet. Iwaniec und Kowalski nennen eine solche Funktion eine L-Funktion, wenn die nachfolgenden, mathematischen Objekte zugeordnet sind (siehe D-1 bis D-6), die die anschließend genannten Bedingungen erfüllen (siehe B-1 bis B-9):
D-1: Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt
Dem arithmetischen Objekt zugeordnet sind eine Dirichlet-Reihe
welche man auch eine L-Reihe nennt, und ein Euler-Produkt
Dabei ist für alle natürlichen Zahlen und . symbolisiert die Menge aller Primzahlen. Die natürliche Zahl heißt der Grad des Euler-Produkts oder auch der Grad der L-Funktion . Für jede Primzahl und jedes ist . Die komplexen Zahlen werden Lokale Wurzeln oder auch Lokale Parameter von bei genannt. Für ein gegebenes heißt der Ausdruck
also der -te Faktor im Euler-Produkt, der Euler-Faktor von bei .
D-2: Gamma-Faktor
Daneben ist dem Objekt ein so genannter Gamma-Faktor
zugeordnet, wobei die Gamma-Funktion, die Kreiszahl und den oben genannten Grad der L-Funktion bezeichnen. Die Parameter sind komplexe Zahlen. Sie heißen die Lokalen Parameter von im Unendlichen oder an der unendlichen Primstelle.
D-3: Führer (Konduktor)
Ebenfalls zugeordnet ist dem Objekt eine natürliche Zahl
der so genannte Führer oder Konduktor von . Primzahlen , die nicht teilen, heißen unverzweigt bzgl. .
D-4: Vollständige L-Funktion
Mit Hilfe der Dirichlet-Reihe, des Gamma-Faktors und des Führers, die zugeordnet sind, definiert man jetzt die so genannte vollständige L-Funktion von :
D-5: Wurzelzahl
Des Weiteren ist dem Objekt eine komplexe Zahl
zugeordnet. Diese komplexe Zahl heißt die Wurzelzahl von .
D-6: Duales, arithmetisches Objekt
Schließlich ist noch ein weiteres, arithmetisches Objekt zugeordnet, das im Rahmen dieser abstrakten Definition nicht näher spezifiziert wird. Es wird das Dual von genannt und mit bezeichnet. Wie im Fall von sind auch eine Dirichlet-Reihe
ein Euler-Produkt
mit , ein Gamma-Faktor und ein Führer sowie eine vollständige L-Funktion zugeordnet. Ist , so nennt man selbstdual, was nichts anderes bedeutet als für alle .
Die oben genannten, dem arithmetischen Objekt zugeordneten Objekte müssen nun die folgenden Bedingungen erfüllen, damit die Definition einer L-Funktion nach Iwaniec und Kowalski erfüllt:
B-1: Absolutbetrag von lokalen Parametern bei
Für jede Primzahl und jedes ist .
B-2: Werte von lokalen Parametern bei unverzweigtem
Für alle Primzahlen , die bzgl. unverzweigt sind, und alle ist .
B-3: Anforderungen an die lokalen Parameter im Unendlichen
Die Parameter sind entweder reell oder kommen in Form komplex konjugierter Paare im Gamma-Faktor vor. Außerdem ist für jedes . Diese letzte Bedingungen sorgt dafür, dass keine Nullstellen in und keine Polstellen mit besitzt. bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl.
B-4: Absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe und des Euler-Produkts
Sowohl die Dirichlet-Reihe als auch das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, konvergieren für absolut.
B-5: Übereinstimmung von L-Funktion, Dirichlet-Reihe und Euler-Produkt in einer komplexen Halbebene
Die L-Funktion, die Dirichlet-Reihe und das Euler-Produkt, die zugeordnet sind, stimmen in der komplexen Halbebene überein:
B-6: Analytische Fortsetzbarkeit und Polstellen
Schon aus den Bedingungen, die die zugeordnete Dirichlet-Reihe erfüllen muss, folgt die Holomorphie der vollständigen L-Funktion in der Halbebene . Diese muss aber auch analytisch fortsetzbar sein zu einer meromorphen Funktion der Ordnung 1 auf ganz , welche Polstellen höchstens in und besitzt.
B-7: Absolutbetrag der Wurzelzahl
Die Wurzelzahl besitzt den Absolutbetrag 1. Also: .
B-8: Anforderungen an die Objekte, die dem Dual von zugeordnet sind
Was das Dual von angeht, so muss gelten: für alle , sowie und . Das bedeutet: In der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist, sind die -Koeffizienten gerade die komplex konjugierten Zahlen der -Koeffizienten in der Dirichlet-Reihe, die zugeordnet ist. Die Gamma-Faktoren und Führer, die bzw. zugeordnet sind, stimmen überein.
B-9: Funktionalgleichung
Die beiden vollständigen L-Funktionen, die bzw. zugeordnet sind, erfüllen die Funktionalgleichung
für alle .
Der Definitionsansatz von Iwaniec und Kowalski spiegelt die Tatsache wider, dass eine Funktion, die als L-Funktion angesehen wird, typischerweise als Zuordnung der L-Funktion zu einem mathematischen Objekt (z. B. Dirichlet-Charakter, algebraischer Zahlkörper) auftritt. Ihr Definitionsansatz ist abstrakt und unvollständig, da er die Frage offen lässt, was denn jene mathematischen Objekte genau sind und wie jene Zuordnung stattzufinden hat.
Ohne Bezug zu anderen, mathematischen Objekten kommt der Definitionsansatz des norwegisch-US-amerikanischen Mathematikers Atle Selberg von 1989 aus. In einer nicht-abstrakten, eindeutigen Definition spezifiziert er eine Teilmenge der Menge aller Dirichlet-Reihen, deren Elemente bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen: absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe, analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Vermutung und Euler-Produkt. Diese Teilmenge wird heute als Selberg-Klasse bezeichnet.
Die alles überragende Hypothese und der motivierende Hintergrund für die Definition der Selberg-Klasse ist die so genannte Große Riemannsche Vermutung. Auf die Selberg-Klasse angewandt besagt diese Vermutung: keine Nullstelle einer analytischen Fortsetzung einer Dirichlet-Reihe in der Selberg-Klasse besitzt einen Realteil größer als 1/2. Diese Vermutung entspricht im Fall des (vermeintlich) einfachsten Elements der Selberg-Klasse (Riemannsche Dirichlet-Reihe samt ihrer analytischen Fortsetzung zur Riemannschen Zeta-Funktion) der Riemannschen Vermutung, welche bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist. Die Große Riemannsche Vermutung konnte bislang für kein einziges Element der Selberg-Klasse bewiesen oder widerlegt werden.
Vor diesem Hintergrund sind auch die noch existierenden Unzulänglichkeiten bei der Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu sehen: man möchte den Begriff „L-Funktion“ so definieren, dass L-Funktionen die Große Riemannsche Vermutung beweisbar erfüllen – andererseits konnte man bislang noch nicht einmal den einfachsten Fall (Riemannsche Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion) beweisen, was ein Zeichen für mangelndes Verständnis der Riemannschen Zeta-Funktion sein könnte und damit eine eindeutige Definition des verallgemeinernden Begriffs der „L-Funktion“ erschwert.
Beispiele von L-Funktionen Bearbeiten
Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.
Riemannsche Zeta-Funktion Bearbeiten
Das einfachste Beispiel einer L-Funktion und gleichzeitig Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“ ist die Riemannsche Zeta-Funktion . Eines der möglichen „arithmetischen Objekte“ im Sinne des Definitionsansatzes von Iwaniec und Kowalski, welchem diese L-Funktion zugeordnet werden kann, ist der Körper der rationalen Zahlen. Ihre Dirichlet-Reihe
also
für alle , konvergiert für absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für :
Da alle reell sind, nämlich gleich 1, ist selbstdual. Das zu duale Objekt ist also ebenfalls , somit .
Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist
Für ihre lokalen Parameter bei gilt:
für alle . Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:
Der lokale Parameter im Unendlichen ist dann also 0. Der Führer von ist
so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt
annimmt. Diese Definition ist nur für gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in und mit den Residuen −1 bzw. 1. Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit , so erfüllt sie mit der Wurzelzahl
die Funktionalgleichung
Damit besitzt auch die zunächst nur für durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf , welche einzig in nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung
Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen . Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.
Dirichletsche L-Funktionen Bearbeiten
Die nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion gehörenden Dirichlet-Reihe noch alle - Koeffizienten gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0. Sei also für ein ein Dirichlet-Charakter modulo
gegeben, d. h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings in die Kreisgruppe der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter heißt primitiv und der Führer von , wenn er nicht schon durch eine Komposition
aus einem Dirichlet-Charakter modulo mit einem echten Teiler von hervorgeht. Mit Hilfe eines solchen Dirichlet-Charakters definiert man die nachfolgende Abbildung, welche ebenfalls mit und als Dirichlet-Charakter modulo bezeichnet wird:
Die trivialen Dirichlet-Charaktere modulo besitzen den Funktionswert 1, falls , andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt für alle .
Ist nun ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo , so ordnet man diesem arithmetischen Objekt folgendermaßen eine L-Funktion zu: Mit
konvergiert die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)
für absolut. Mit den lokalen Parametern bei
gilt dies auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität
für . Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist
der Grad des Euler-Produkts. Setzt man , falls (in diesem Fall heißt gerade), und , falls (in diesem Fall heißt ungerade), so ist
der zugeordnete Gamma-Faktor. Jenes ist also der lokale Parameter an der unendlichen Primstelle. Der Führer des primitiven Dirichlet-Charakters ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:
Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form
eine Definition, die nur für gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist. Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in mit Residuum 1. Das zu duale Objekt ist , also derjenige Dirichlet-Charakter, der aus durch komplexe Konjugation der Funktionswerte von hervorgeht, d. h.
für alle . Die Wurzelzahl kann mit Hilfe der Gaußschen Summe
berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers erstreckt sowie die Kreiszahl, die imaginäre Einheit und die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit
erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung
Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist , da . Die Dirichletschen L-Funktionen umfassen die Riemannsche Zeta-Funktion, da diese aus dem trivialen Dirichlet-Charakter modulo 1, also dem Hauptcharakter, entsteht.
Der deutsche Mathematiker Peter Gustav Dirichlet verwendete 1837 die nach ihm benannten Dirichletschen L-Funktionen, um den Dirichletschen Primzahlsatz zu beweisen, wonach in jeder arithmetischen Folge (auch arithmetische Progression genannt)
d. h. in jeder Restklasse , unendlich viele Primzahlen liegen. Das entscheidende Argument im Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes ist die Erkenntnis, dass gilt für jeden nicht-trivialen Dirichlet-Charakter .
Dedekindsche L-Funktionen Bearbeiten
Die Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von wie zum Beispiel . Sei also ein algebraischer Zahlkörper und sein Erweiterungsgrad über . Sei sein Ganzheitsring und seine Diskriminante. Weiter seien die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von . Es ist also .
Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl. ist für definiert durch
In der Summe durchläuft alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von . bezeichnet die Absolutnorm von . Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe
sind also
Sie geben zu jedem die Anzahl der ganzen Ideale von mit Absolutnorm an. Insbesondere sind alle Koeffizienten reell und deshalb selbstdual. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt
Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale von . Es gilt für die Identität
Diese Gestalt des Euler-Produkts zeigt noch nicht die einzelnen Euler-Faktoren . Der Grad des Euler-Produkts ist jedenfalls gleich dem Grad der Körpererweiterung :
Die lokalen Parameter hängen vom Zerlegungsverhalten der Ideale ab: jedes Ideal besitzt eine, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutige Primidealzerlegung
in Primideale , in der gilt: und für nur endlich viele Primideale . Für höchstens viele Primideale kann gelten. Solche teilen und man schreibt dafür . Der Exponent in der Primidealzerlegung von heißt der Verzweigungsindex von über . Ist , so gilt für ein , welches der Trägheitsindex von über genannt wird. Für jedes erfüllen die zum Ideal gehörenden Verzweigungs- und Trägheitsindizes die folgende Beziehung zum Grad von :
Mit Hilfe der Kenntnis der Trägheitsindizes für jedes lassen sich nun die lokalen Parameter bestimmen, nämlich über die Faktoren in der Identität
indem man die Polynome im Polynomring faktorisiert.
Der Gamma-Faktor bzgl. ist
Der Betrag der Diskriminante von ist der Konduktor von :
Damit ist die vollständige L-Funktion von für gegeben durch
Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei und und den dortigen Residuen bzw. . Dabei ist die Anzahl der unendlichen Stellen, die Klassenzahl und der Regulator von sowie die Anzahl der Einheitswurzeln, die in liegen.
Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1:
Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von der Funktionalgleichung
Die analytisch fortgesetzte Funktion gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von , nämlich durch die Definition
Dadurch wird zu einer meromorphen Funktion auf mit einem einfachen Pol in . Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von in die folgende Gestalt annimmt:
Heckesche L-Funktionen Bearbeiten
Heckesche L-Funktionen sind gemeinsame Verallgemeinerungen der Dirichletschen und der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen sich also einerseits auf beliebige algebraische Zahlkörper (wie die Dedekindschen L-Funktionen) und hängen andererseits von geeigneten Charakteren ab (wie die Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte die nach ihm benannten L-Funktionen mit Hilfe sogenannter Größencharaktere und konnte die bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang zu L-Funktionen mit Bezug zu beliebigen algebraischen Zahlkörpern und geeigneten Charakteren, der auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.
L-Funktionen zu Größencharakteren Bearbeiten
Heckesche L-Reihen zu Größencharakteren besitzen die Form
Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring und Erweiterungsgrad . Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von und bezeichnet die Absolutnorm von . Die komplexen Werte beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)
Dabei ist ein ganzes Ideal von und symbolisiert die Gruppe der zu teilerfremden, gebrochenen Ideale von . Das bedeutet: ein gebrochenes Ideal von liegt genau dann in , wenn der Exponent von in der Primidealzerlegung von gleich 0 ist für alle Primideale von , die das ganze Ideal teilen (d. h. ). Die Gruppe verallgemeinert die bei Dirichletschen L-Funktionen verwendeten Gruppen .
Ist nun