Selberg-Klasse

Die Selberg-Klasse ist ein mathematischer Begriff aus der Zahlentheorie. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte diese Klasse von Funktionen im Jahr 1989 ein. Sie enthält die für die Zahlentheorie fundamentale Riemannsche Zeta-Funktion und zahlreiche, aber sorgfältig ausgewählte, verwandte Funktionen, sogenannte L-Funktionen. Diese Verwandtschaft kommt folgendermaßen zustande: die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben:

1. Absolute Konvergenz
2. Analytische Fortsetzbarkeit
3. Funktionalgleichung
4. Ramanujan-Bedingung
5. Euler-Produkt

Atle Selberg (1917–2007)

Damit enthält die Selberg-Klasse, neben der Riemannschen Zeta-Funktion, auch zum Beispiel die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren, die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern und die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren. Bei Artinschen L-Funktionen hängt die Frage der Mitgliedschaft in der Selberg-Klasse von der Artin-Vermutung ab. Diese konnte bislang nur für einen Teil der Artinschen L-Funktionen bewiesen werden.

Mit der Selberg-Klasse verbindet sich die Hoffnung, die Eigenschaften und Struktur von Funktionen aufklären zu können, die Mathematiker weithin als geeignete Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion betrachten. Dadurch soll nicht zuletzt ein Weg zum Beweis der Riemannschen Vermutung geebnet werden. Man nimmt sogar an, dass alle Funktionen in der Selberg-Klasse die sogenannte Große Riemannsche Vermutung erfüllen: keine Nullstelle, deren Realteil den Wert 1/2 übersteigt. Könnte man die Selbergsche Orthonormalitätsvermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse beweisen, so würde daraus die Richtigkeit der Artin-Vermutung folgen. Bislang weder bewiesen noch widerlegt, sind Fortschritte bei der Erforschung dieser Vermutungen für die Zahlentheorie und die gesamte Mathematik von höchster Bedeutung.

Definition

Im Folgenden sind komplexe Zahlen und durchläuft die natürlichen Zahlen. Der Buchstabe bezeichnet eine komplexe Variable, steht für den Realteil von , für ihren Absolutbetrag und für die zu konjugiert komplexe Zahl. bezeichnet die Gamma-Funktion.

Der Ausgangspunkt der Definition der Selberg-Klasse: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene mit Kolorierung der Funktionswerte. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in , also eine Einheit rechts vom Ursprung.

Die Selberg-Klasse ist definiert als die Menge aller Dirichlet-Reihen

welche die folgenden fünf Eigenschaften erfüllen, auch „Axiome“ oder „Annahmen“ genannt:

1. Absolute Konvergenz

konvergiert absolut für .

2. Analytische Fortsetzbarkeit

lässt sich fortsetzen zu einer meromorphen Funktion der komplexen Zahlenebene, und zwar so, dass für eine ganze Zahl gilt:

ist eine ganze Funktion endlicher Ordnung. Insbesondere besitzen Funktionen in der Selberg-Klasse höchstens in eine Polstelle.

3. Funktionalgleichung

erfüllt eine Funktionalgleichung vom Typ

Hierin ist mit und wird Wurzelzahl genannt.

ist definiert durch

mit einem sogenannten Gamma-Faktor

Dabei ist eine natürliche Zahl, und sind reelle Zahlen, und komplexe Zahlen mit .

Wie üblich erhält das leere Produkt den Wert 1, d. h. im Fall .

4. Ramanujan-Bedingung

erfüllt und für beliebiges, fest gewähltes .

Ein weiteres Beispiel einer Funktion in der Selberg-Klasse: Die Dirichletsche L-Funktion zum primitiven Dirichlet-Charakter modulo 7 mit , und zwar für komplexe mit und : Da es sich bei um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz, besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in . Deshalb enthält die Selberg-Klasse auch alle verschobenen L-Funktionen dieser L-Funktion. Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen gehören zu den unendlich vielen, nicht-trivialen Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden .

5. Euler-Produkt
Für ist

wobei , außer wenn eine Primzahlpotenz ist, also mit einer Primzahl und einer natürlichen Zahl .

Hierbei muss außerdem gelten:

mit einem .

Beispiele

Die Selberg-Klasse enthält unter anderem die folgenden, für die Zahlentheorie wichtigen Funktionen:

• Die Riemannsche Zeta-Funktion . Das ist gewissermaßen der Ausgangs- und Mittelpunkt der Selberg-Klasse.
• Die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren . Die L-Funktionen zu nicht-primitiven Charakteren liegen nicht in , da sie keine Funktionalgleichung der geforderten Form erfüllen.
• Die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern .
• Die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren mit einem Ideal des Ringes der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers .
• Die L-Funktionen zu holomorphen Neuformen bzgl. einer Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe . Um zur Selberg-Klasse zu gehören, müssen solche L-Funktionen gegebenenfalls geeignet normalisiert werden.
• Die Rankin-Selberg-Faltung zweier beliebiger, normalisierter, holomorpher Neuformen und . Dabei sind und die Fourier-Koeffizienten der Modulformen und .
• Ist ganz, also polstellenfrei, so enthält auch die verschobenen L-Funktionen für jedes reelle . Da die Riemannsche Zeta-Funktion einen Pol in besitzt, gehören die Funktionen , , , nicht zur Selberg-Klasse: die geforderte, analytische Fortsetzbarkeit erlaubt Polstellen höchstens in .
• Sofern sie die Artin-Vermutung erfüllen: Artinschen L-Funktionen zu nicht-trivialen, irreduziblen Darstellungen der Galoisgruppe normaler Zahlkörpererweiterungen in die allgemeine lineare Gruppe eines endlich-dimensionalen Vektorraums .

Weitere Begriffe und Eigenschaften

Die Selberg-Klasse ist multiplikativ abgeschlossen, somit ein multiplikatives Monoid, mit der konstanten Funktion als neutralem Element in . Aus folgt also stets .

Eine Funktion heißt primitiv, wenn für alle mit gilt: oder . Jede Funktion in der Selberg-Klasse besitzt eine Faktorisierung in primitive Funktionen der Selberg-Klasse. Ob diese Faktorisierung stets eindeutig ist (natürlich nur bis auf die Reihenfolge der Faktoren), konnte noch nicht für alle Funktionen in der Selberg-Klasse bewiesen werden.
Die Nullstellen einer Funktion unterteilt man in triviale und nicht-triviale Nullstellen. Die trivialen befinden sich definitionsgemäß an den Polstellen der Faktoren , die in der Funktionalgleichung von erscheinen. Alle übrigen Nullstellen werden nicht-trivial genannt. Die trivialen Nullstellen besitzen stets einen Realteil .

Selberg-Vermutungen

Atle Selberg selbst hat die folgenden Vermutungen für die nach ihm benannte Funktionen-Klasse aufgestellt:

• Vermutung 1:

• Vermutung 2:

• Vermutung 3:

• Vermutung 4:

in primitive Funktionen , ist darüber hinaus ein primitiver Dirichlet-Charakter, und liegt die Funktion definiert durch

ebenfalls in , dann sind auch die entsprechend gebildeten Funktionen primitiv, liefern also die primitive Faktorisierung

• Vermutung 5:

Vermutung 5 ist die Große Riemannsche Vermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse. Zusammengenommen werden die Vermutungen 2 und 3 als Selbergsche Orthonormalitätsvermutung bezeichnet (engl. Selberg Orthonormality Conjecture, SOC). Deren Richtigkeit hätte weitreichende Konsequenzen für die Funktionen in der Selberg-Klasse und die Zahlentheorie insgesamt: Zum Beispiel wäre dann die Faktorisierung in primitive Funktionen immer eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren). Aus der Orthonormalitätsvermutung folgt auch die Dedekindsche Vermutung: für jeden algebraischen Zahlkörper teilt die Riemannsche Zeta-Funktion die Dedekindsche Zeta-Funktion . Außerdem impliziert die Orthonormalitätsvermutung die Artin-Vermutung: jede Artinsche L-Funktion zu einer nicht-trivialen, irreduziblen Darstellung der Galoisgruppe einer normalen Zahlkörpererweiterung besitzt eine analytische Fortsetzung auf die ganze, komplexe Zahlenebene.

Literatur

• Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy's Z-Function (= Cambridge Tracts in Mathematics. Band 196). Cambridge University Press, Cambridge, New York 2012, ISBN 978-1-107-02883-8, insbesondere Kapitel 3.
• Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. In: Alberto Perelli, Carlo Viola (Hrsg.): Analytic Number Theory. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Centraroy, Italy, July 11-18, 2002 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1891). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, ISBN 978-3-540-36363-7, S. 133–209.
• M. Ram Murty: Problems in Analytic Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 206). 2. Auflage. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72349-5, jeweils Kapitel 8 in beiden Teilen des Buches.
• M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications, Modern Birkhäuser Classics, Springer Basel 1997, ISBN 978-3-0348-0274-1, insbesondere Kapitel 7, S. 177–185.
• Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. Vortragsskript, Vilnius Universität, Ph. D. Summer School in Number Theory and Probability, Druskininkai, Litauen, September 2007, Link.
• Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Salerno: Università di Salerno, 1992, S. 367–385. Auch enthalten in: Collected Papers II / Atle Selberg, Springer Collected Works in Mathematics (SCWM), Springer Berlin, Heidelberg 1991, ISBN 978-3-642-41022-2, S. 47–63.
• Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1877). 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-26526-9, Kapitel 6.

Weblinks

• LMFDB: Selberg class axioms Die Selberg-Klassen-Axiome, wie auf „The L-functions and modular forms database“ (LMFDB) beschrieben.

Einzelnachweise

1. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
2. Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
3. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.4, S. 175.
4. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47–48.
5. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 159–160.
6. Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kapitel 2, S. 5.
7. Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 6, S. 111.
8. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, (1.1).
9. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 159, (1).
10. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, Text zwischen (1.1) und (1.2).
11. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (2).
12. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, (1.2).
13. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (3).
14. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.3).
15. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (3).
16. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.7).
17. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (4).
18. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.8).
19. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.9).
20. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (5).
21. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
22. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.4, S. 150.
23. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.5, S. 150–153.
24. Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy's Z-Function. 2012, Abschnitt 3.3, S. 53.
25. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161.
26. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161.
27. M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications. 1997, Kapitel 7, S. 178.
28. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 49.
29. M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications. 1997, Kapitel 7, S. 178.
30. Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 6, Theorem 6.2, S. 117.
31. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48.
32. Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
33. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Formel (1.11), S. 49.
34. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Conjecture 1.1, Formel (1.12), S. 49.
35. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Conjecture 1.2, Formel (1.13), S. 49.
36. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 50, dritter Abschnitt.
37. Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 50, vierter Abschnitt.
38. Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
39. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.1, S. 174.
40. Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kapitel 2, S. 9.
41. Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.4, S. 175.

Anmerkungen

1. Die Ramanujan-Bedingung wird häufig auch Ramanujan-Vermutung (engl. Ramanujan hypothesis) genannt. Es handelt sich aber hier nicht um eine unbewiesene Vermutung über Funktionen in der Selberg-Klasse, sondern um eine Eigenschaft, die Funktionen in der Selberg-Klasse definitionsgemäß erfüllen müssen. Die implizite Konstante im Landau-Symbol darf von abhängen.