www.wikidata.de-de.nina.az

Ramanujan Vermutung Im mathematischen Gebiet der Modulformen ist die eine von Ramanujan vermutete und von Deligne bewies

Ramanujan-Vermutung

Im mathematischen Gebiet der Modulformen ist die Ramanujan-Vermutung eine von Ramanujan vermutete und von Deligne bewiesene Abschätzung für die Fourier-Koeffizienten der modularen Diskriminante, mit Anwendungen in Graphentheorie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie und zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik und Theoretischen Informatik. Es gibt auch Versionen für andere Modulformen (Ramanujan-Petersson-Vermutung).

Ramanujansche tau-Funktion Bearbeiten

Die Dedekindsche η-Funktion wird für als unendliches Produkt definiert:

Ihre 24-te Potenz ist die Diskriminante

Mit erhält man

was man in eine Potenzreihe in

entwickeln kann, deren Koeffizienten (die Fourierkoeffizienten in der q-Entwicklung) die Ramanujansche tau-Funktion

(Folge A000594 in OEIS) definieren.

Die ersten Werte sind:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 −24 252 −1472 4830 −6048 −16744 84480 −113643 −115920 534612 −370944 −577738 401856 1217160 987136

Ramanujan entdeckte viele arithmetische Eigenschaften der Tau-Funktion (wie Kongruenzen), die danach eine bedeutende Rolle in der Entwicklung der Theorie der Modulformen spielte (zum Beispiel in der Theorie der Hecke-Operatoren, wo die Werte der Tau-Funktion Eigenwerte der Hecke-Operatoren für die Diskriminante sind).

Ramanujan stellte 1916 mehrere Vermutungen über die Tau-Funktion auf, neben der unten erwähnten Ramanujan-Vermutung:

  • für (das heißt die Tau-Funktion ist eine multiplikative Funktion)
  • für eine Primzahl p und

Diese wurden 1917 von Louis Mordell bewiesen (mit Methoden der Theorie der Modulfunktionen, die Ramanujan nicht zur Verfügung standen).

Für die Tau-Funktionswerte gibt es auch sehr elegante symmetrische Formen, die in Zusammenhang mit bestimmten Potenzen der Dedekindschen Eta-Funktion stehen, wie Freeman Dyson in den 1970er Jahren fand, wobei die Potenzen, wie Ian G. Macdonald unabhängig um dieselbe Zeit fand, den Dimensionen endlich-dimensionaler einfacher Liealgebren entsprachen. Macdonald stellte Beziehungen zu affinen Wurzelsystemen von Liealgebren und klassischen Formeln von Hermann Weyl über Wurzelsysteme und Carl Gustav Jacobi (Jacobi-Tripelprodukt) her.

Eine der Formeln von Dyson lautet:

wobei die Summe über alle ganzen Zahlen () ist mit , , .

Ramanujan-Vermutung Bearbeiten

Die Ramanujan-Vermutung besagt, dass für alle Primzahlen die Ungleichung

und allgemeiner für alle natürlichen Zahlen die Ungleichung

gilt, wobei die Anzahl der Teiler von bezeichnet. Sie wurde 1974 von Pierre Deligne als Konsequenz der von ihm bewiesenen Weil-Vermutungen bewiesen.

Eine analoge Vermutung für Spitzenformen (Gewicht k) zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe stammt von Hans Petersson (1938) (Ramanujan-Petersson-Vermutung). Wie bei der Diskriminante (Gewicht k=12) ist der Exponent , nur für allgemeine k:

Sie wurde ebenfalls von Deligne über die Weil-Vermutungen bewiesen. Es gibt auch Versionen für automorphe Formen im Langlands-Programm (Ilja Pjatetskij-Shapiro u. a.) und für Maass-Formen (unbewiesen).

Anwendungen Bearbeiten

  • Konstruktion von Ramanujan-Graphen: Lubotzky-Philips-Sarnak benutzten die Ramanujan-Vermutung um zu beweisen, dass gewisse Quotienten des p-adischen symmetrischen Raums Ramanujan-Graphen sind, also sehr gute Expander-Eigenschaften haben.
  • Die Ramanujan-Vermutung kann umformuliert werden in eine Abschätzung der Eigenwerte von Hecke-Operatoren.
  • Die Ramanujan-Vermutung kann umformuliert werden in eine Aussage über die zu assoziierte automorphe Darstellung.

Trivia Bearbeiten

Die Ramanujan-Vermutung war Teil des Logos des Internationalen Mathematikerkongresses 2010 in Hyderabad.

Literatur Bearbeiten

  • Alexander Lubotzky: Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. With an appendix by Jonathan D. Rogawski. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-5075-X
  • Valentin Blomer, Farrell Brumley: The role of the Ramanujan conjecture in analytic number theory. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 50 (2013), no. 2, 267–320. online (pdf)
  • Robert Alexander Rankin: Ramanujan's tau-function and its generalizations, in George E. Andrews (Hrsg.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988, S. 245–268

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mordell, "On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Band 19, 1917, S. 117–124, archive
  2. Unveröffentlicht, siehe Freeman Dyson, Missed opportunities, Bulletin AMS, Band 73, September 1972, S. 637. Die von Dyson aufgeführten Formeln waren nach Dyson teilweise von A. O. L. Atkin (nicht veröffentlicht), dem schwedischen Physiker Winquist, Jacobi, Felix Klein und Robert Fricke und anderen. Der Aufsatz handelte von vermissten Gelegenheiten der Kommunikation von Mathematik und Physik, in diesem Fall bei Dyson selbst, der den Zusammenhang mit Lie-Algebren nicht erkannte.
  3. Ian Macdonald, Affine root systems and Dedekind -function, Inventiones Mathematicae, Band 15, 1972, S. 91–143, SUB Göttingen. Eine Ausnahme bildete die Dimension d=26, für die nach Dyson keine solche Erklärung existiert.
  4. S. Ramanujan: On certain arithmetical functions, Trans. Cambridge Phil. Soc. 22 (1916), 159–184.
  5. Pierre Deligne: La conjecture de Weil. I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 43 (1974), 273–307.
  6. Alexander Lubotzky, Ralph Phillips, Peter Sarnak: Ramanujan graphs. Combinatorica 8 (1988), no. 3, 261–277.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Gebiet der Modulformen ist die Ramanujan Vermutung eine von Ramanujan vermutete und von Deligne bewiesene Abschatzung fur die Fourier Koeffizienten der modularen Diskriminante mit Anwendungen in Graphentheorie Zahlentheorie Darstellungstheorie und zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik und Theoretischen Informatik Es gibt auch Versionen fur andere Modulformen Ramanujan Petersson Vermutung Inhaltsverzeichnis 1 Ramanujansche tau Funktion 2 Ramanujan Vermutung 3 Anwendungen 4 Trivia 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseRamanujansche tau Funktion BearbeitenDie Dedekindsche h Funktion wird fur z H z C I m z gt 0 displaystyle z in mathbb H left z in mathbb C mid mathrm Im z gt 0 right nbsp als unendliches Produkt definiert h z e p i z 12 n 1 1 e 2 p i n z displaystyle eta z e pi iz 12 prod n 1 infty 1 e 2 pi inz nbsp Ihre 24 te Potenz ist die Diskriminante D z h z 24 displaystyle Delta z eta z 24 nbsp Mit q exp 2 p i z displaystyle q exp 2 pi iz nbsp erhalt man D z q n 1 1 q n 24 displaystyle Delta z q prod n geq 1 1 q n 24 nbsp was man in eine Potenzreihe in q displaystyle q nbsp q n 1 1 q n 24 n 1 t n q n displaystyle q prod n geq 1 1 q n 24 sum n geq 1 tau n q n nbsp entwickeln kann deren Koeffizienten die Fourierkoeffizienten in der q Entwicklung die Ramanujansche tau Funktion t N Z displaystyle tau mathbb N to mathbb Z nbsp Folge A000594 in OEIS definieren Die ersten Werte sind n displaystyle n nbsp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16t n displaystyle tau n nbsp 1 24 252 1472 4830 6048 16744 84480 113643 115920 534612 370944 577738 401856 1217160 987136Ramanujan entdeckte viele arithmetische Eigenschaften der Tau Funktion wie Kongruenzen die danach eine bedeutende Rolle in der Entwicklung der Theorie der Modulformen spielte zum Beispiel in der Theorie der Hecke Operatoren wo die Werte der Tau Funktion Eigenwerte der Hecke Operatoren fur die Diskriminante sind Ramanujan stellte 1916 mehrere Vermutungen uber die Tau Funktion auf neben der unten erwahnten Ramanujan Vermutung t m n t m t n displaystyle tau mn tau m tau n nbsp fur gcd m n 1 displaystyle gcd m n 1 nbsp das heisst die Tau Funktion ist eine multiplikative Funktion t p r 1 t p t p r p 11 t p r 1 displaystyle tau p r 1 tau p tau p r p 11 tau p r 1 nbsp fur eine Primzahl p und r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp Diese wurden 1917 von Louis Mordell bewiesen mit Methoden der Theorie der Modulfunktionen die Ramanujan nicht zur Verfugung standen 1 Fur die Tau Funktionswerte gibt es auch sehr elegante symmetrische Formen die in Zusammenhang mit bestimmten Potenzen der Dedekindschen Eta Funktion stehen wie Freeman Dyson in den 1970er Jahren fand 2 wobei die Potenzen wie Ian G Macdonald unabhangig um dieselbe Zeit fand den Dimensionen endlich dimensionaler einfacher Liealgebren entsprachen 3 Macdonald stellte Beziehungen zu affinen Wurzelsystemen von Liealgebren und klassischen Formeln von Hermann Weyl uber Wurzelsysteme und Carl Gustav Jacobi Jacobi Tripelprodukt her Eine der Formeln von Dyson lautet t n 1 1 2 3 4 i lt j u i u j displaystyle tau n frac 1 1 2 3 4 sum prod i lt j u i u j nbsp wobei die Summe uber alle ganzen Zahlen u i displaystyle u i nbsp i 1 5 displaystyle i 1 5 nbsp ist mit u i i m o d 5 displaystyle u i i mod 5 nbsp i 1 5 u i 0 displaystyle sum i 1 5 u i 0 nbsp i 1 5 u i 2 10 n displaystyle sum i 1 5 u i 2 10 n nbsp Ramanujan Vermutung BearbeitenDie Ramanujan Vermutung 4 besagt dass fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp die Ungleichung t p 2 p 11 2 displaystyle tau p leq 2p 11 2 nbsp und allgemeiner fur alle naturlichen Zahlen n displaystyle n nbsp die Ungleichung t n d n n 11 2 displaystyle tau n leq d n n frac 11 2 nbsp gilt wobei d n displaystyle d n nbsp die Anzahl der Teiler von n displaystyle n nbsp bezeichnet Sie wurde 1974 von Pierre Deligne als Konsequenz der von ihm bewiesenen Weil Vermutungen bewiesen 5 Eine analoge Vermutung fur Spitzenformen Gewicht k zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe stammt von Hans Petersson 1938 Ramanujan Petersson Vermutung Wie bei der Diskriminante Gewicht k 12 ist der Exponent k 1 2 displaystyle frac k 1 2 nbsp nur fur allgemeine k t p 2 p k 1 2 displaystyle tau p leq 2p frac k 1 2 nbsp Sie wurde ebenfalls von Deligne uber die Weil Vermutungen bewiesen Es gibt auch Versionen fur automorphe Formen im Langlands Programm Ilja Pjatetskij Shapiro u a und fur Maass Formen unbewiesen Anwendungen BearbeitenKonstruktion von Ramanujan Graphen Lubotzky Philips Sarnak 6 benutzten die Ramanujan Vermutung um zu beweisen dass gewisse Quotienten des p adischen symmetrischen Raums P G L 2 Q p P G L 2 Z p displaystyle PGL 2 mathbb Q p PGL 2 mathbb Z p nbsp Ramanujan Graphen sind also sehr gute Expander Eigenschaften haben Die Ramanujan Vermutung kann umformuliert werden in eine Abschatzung der Eigenwerte von Hecke Operatoren Die Ramanujan Vermutung kann umformuliert werden in eine Aussage uber die zu D displaystyle Delta nbsp assoziierte automorphe Darstellung Trivia BearbeitenDie Ramanujan Vermutung war Teil des Logos des Internationalen Mathematikerkongresses 2010 in Hyderabad Literatur BearbeitenAlexander Lubotzky Discrete groups expanding graphs and invariant measures With an appendix by Jonathan D Rogawski Progress in Mathematics 125 Birkhauser Verlag Basel 1994 ISBN 3 7643 5075 X Valentin Blomer Farrell Brumley The role of the Ramanujan conjecture in analytic number theory Bull Amer Math Soc N S 50 2013 no 2 267 320 online pdf Robert Alexander Rankin Ramanujan s tau function and its generalizations in George E Andrews Hrsg Ramanujan revisited Urbana Champaign Ill 1987 Academic Press 1988 S 245 268Weblinks BearbeitenBrian Conrad Modular forms cohomology and the Ramanujan conjecture Tau function MathworldEinzelnachweise Bearbeiten Mordell On Mr Ramanujan s empirical expansions of modular functions Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Band 19 1917 S 117 124 archive Unveroffentlicht siehe Freeman Dyson Missed opportunities Bulletin AMS Band 73 September 1972 S 637 Die von Dyson aufgefuhrten Formeln waren nach Dyson teilweise von A O L Atkin nicht veroffentlicht dem schwedischen Physiker Winquist Jacobi Felix Klein und Robert Fricke und anderen Der Aufsatz handelte von vermissten Gelegenheiten der Kommunikation von Mathematik und Physik in diesem Fall bei Dyson selbst der den Zusammenhang mit Lie Algebren nicht erkannte Ian Macdonald Affine root systems and Dedekind h displaystyle eta nbsp function Inventiones Mathematicae Band 15 1972 S 91 143 SUB Gottingen Eine Ausnahme bildete die Dimension d 26 fur die nach Dyson keine solche Erklarung existiert S Ramanujan On certain arithmetical functions Trans Cambridge Phil Soc 22 1916 159 184 Pierre Deligne La conjecture de Weil I Inst Hautes Etudes Sci Publ Math 43 1974 273 307 Alexander Lubotzky Ralph Phillips Peter Sarnak Ramanujan graphs Combinatorica 8 1988 no 3 261 277 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ramanujan Vermutung amp oldid 235949302