Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion.
Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.
Definition Bearbeiten
Für sei ,
dabei sind und die Eisensteinreihen zum Gitter .
Produktentwicklung Bearbeiten
Die Diskriminante lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:
Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass in keine Nullstellen hat.
Die Diskriminante ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist .
Transformationsverhalten Bearbeiten
Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von
gilt:
Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).
Fourierentwicklung Bearbeiten
Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:
Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.
wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel
Für die ersten Werte der tau-Funktion gilt:
Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung
Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen gilt:
Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.
Die erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz
mit
Literatur Bearbeiten
- Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
- Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2