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Derrick Henry Lehmer 23 Februar 1905 in Berkeley Kalifornien 22 Mai 1991 ebenda war ein US amerikanischer Mathematiker s

Derrick Henry Lehmer

Derrick Henry Lehmer (* 23. Februar 1905 in Berkeley (Kalifornien); † 22. Mai 1991 ebenda) war ein US-amerikanischer Mathematiker, spezialisiert auf Zahlentheorie.

Derrick Lehmer (1984)

Leben Bearbeiten

Lehmer wurde schon als Kind in sein späteres Arbeitsgebiet hineingezogen, da sein Vater Derrick Norman Lehmer (1867–1938) mit Hilfe mechanischer Rechengeräte Primzahltafeln und Faktor-Tabellen erstellte. Er studierte zunächst Physik an der University of California, Berkeley, wo sein Vater Professor für Mathematik war. Als Student arbeitete er an einer Realisierung von Faktorisierungs-Algorithmen für seinen Vater mit Lochkarten-Rechnern, wobei er von seiner späteren Frau Emma Markovna Trotskaya, die ebenfalls in Berkeley studierte, unterstützt wurde. 1927 machte er seinen B.A. in Physik und begann an einer Promotion beim führenden amerikanischen Zahlentheoretiker Leonard Eugene Dickson in Chicago zu arbeiten. Da er mit diesem nicht zurechtkam, wechselte er zu Jacob David Tamarkin an die Brown University in Rhode Island, wo er 1930 promovierte.

Danach ging er mit einem staatlichen Stipendium versehen 1930/31 ans California Institute of Technology und danach für ein Jahr an die Stanford University sowie an das Institute for Advanced Study in Princeton (New Jersey), bevor er eine Dozentur an der Lehigh University erhalten konnte. Bis auf einen Besuch in England 1938/39 bei Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell und Paul Erdős blieben er und seine Frau bis 1940 in Lehigh, bevor er einen Posten an seiner Heimatuniversität Berkeley erhalten konnte. In den Kriegsjahren arbeiteten er und seine Frau als Operatoren für den ENIAC auf dem Aberdeen-Testgelände der US-Armee: tagsüber an ballistischen Rechnungen, nachts war Zeit für die Zahlentheorie. Als er 1950 in Berkeley einen von Joseph McCarthy forcierten Loyalitäts-Eid verweigerte, verlor er kurzzeitig seinen Posten, was er mit Arbeiten für das National Bureau of Standards überbrückte. Nach seiner Wiedereinstellung erhielt er Anerkennung und Ehrungen, etwa als Vizepräsident der American Mathematical Society und als Governor at Large der Association for Computing Machinery 1953–1954.

Bei der Gründung der Zeitschrift "Mathematical Tables and other Aids to Computation" (MTAC, heute "Mathematics of Computation") im Januar 1943 durch Raymond Clare Archibald gehörte er dem Beirat an und wurde bereits 1944 zweiter Herausgeber. Nachdem Archibald Ende 1949 in den Ruhestand ging, leitete Lehmer von 1950 bis 1954 als First Chairman das Editorial Committee der Zeitschrift.

Von 1954 bis 1957 leitete er das Mathematics Department der University of California in Berkeley. 1958 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Edinburgh (Discrete variable methods in numerical analysis). Im Jahr 1972 ging er in den Ruhestand. Er erhielt 1980 die Ehrendoktorwürde von der Brown University.
Lehmer wurde am 50. Todestag von Carl Friedrich Gauß geboren. Das veranlasste Daniel Shanks 1989 zu einer scherzhaften Bemerkung, die sich auf seine gemeinsame Arbeit mit Lehmer an einem von Gauß angeregten Problem bezog.

Die Lehmers hatten eine Tochter (Laura Lehmer Gould, * 1932) und einen Sohn (Donald, * 1934).

Werk Bearbeiten

Lehmer war ein Pionier in der Anwendung von Computern oder allgemein numerischer Verfahren in der Zahlentheorie. Er fand eine verbesserte Version des von Édouard Lucas stammenden Lucas-Tests und weitere Verfahren zum Nachweis der Primalität natürlicher Zahlen. Der Lucas-Lehmer-Test für Mersenne-Primzahlen ist nach Lucas und ihm benannt. Er war auch einer der ersten, die die Riemannhypothese elektronisch überprüften. Dabei entdeckte er unerwartet eng benachbarte Nullstellen der riemannschen Zetafunktion, die heute Lehmer-Paare genannt werden.

Ferner konstruierte Lehmer in der Nachfolge seines Vaters verschiedene Geräte für das Siebverfahren zum Berechnen einer Lösung von zahlentheoretischen Kongruenzen, in erster Linie für Primfaktorzerlegungen – 1926 mit Fahrradketten, 1932 mit optischen Zahnrädern (ausgestellt auf der Weltausstellung 1933/34 in Chicago), 1936 mit 16-mm-Filmstreifen, 1966 Delay Line Sieve ("Dick Lehmers Sieve") DLS-127, 1969 DLS-157, 1975 Shift Register Sieve SRS-181, und programmierte das Siebverfahren auf den Computern SWAC, IBM 7094 und ILLIAC IV.

Er entwickelte bereits im Jahr 1938 eine wesentlich beschleunigte Variante des euklidischen Algorithmus für sehr große natürliche Zahlen. Im Jahr 1959 verbesserte er die Formel des Astronomen Ernst Meissel für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegebenen Grenze und konnte mit seiner Methode berechnen. Kurz darauf erwies sich jedoch sein Wert als um 1 zu groß.

Die Lehmersche Konstante ist diejenige reelle Zahl, deren (erstmals von Lehmer eingeführte) Kotangensentwicklung am langsamsten konvergiert.

Lehmer befasste sich mit der ursprünglich von S. Ramanujan untersuchten -Funktion, definiert durch

und stellte 1947 die Lehmersche Vermutung auf, dass für kein natürliches den Wert Null annimmt (vgl. Ramanujansche tau-Funktion).

Der Lehmer-Schur-Algorithmus ist ein Verfahren zur Isolierung der Nullstellen eines Polynoms in der komplexen Ebene. Es beruht auf einem Kriterium zur Bestimmung der Nullstellenanzahl des Polynoms in einem Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und Radius und auf systematischer Verallgemeinerung der eindimensionalen Intervallschachtelung.

Ein parametrisches Verfahren zur Mittelwertbildung nichtnegativer Zahlen, das einige der gebräuchlichsten Mittelwerte als Spezialfälle liefert, wird als Lehmer-Mittel bezeichnet.

Das (ungelöste) Lehmersche Problem fragt danach, ob ein von Lehmer entdecktes ganzzahliges Polynom 10. Grades mit seinen außerhalb des komplexen Einheitskreises liegenden Nullstellen bezüglich ihrer Nähe zu diesem Einheitskreis übertroffen werden kann (genauer wird nach der Existenz einer unteren Schranke für das sogenannte Mahler-Maß eines Polynoms gefragt, dessen Koeffizienten ganze Zahlen sind). Die größte reelle Nullstelle dieses Polynoms wird als Lehmers Zahl bezeichnet.

Auch das sogenannte Totient-Problem von Lehmer gehört zu den einfach zu stellenden, aber bisher völlig ungelösten Fragen: Gibt es eine zusammengesetzte natürliche Zahl , so dass mit der eulerschen φ-Funktion gilt? Ein solches wäre eine äußerst bemerkenswerte Fermatsche Pseudoprimzahl, andererseits hätte die Nichtexistenz einer solchen Zahl das (noch fragliche) Primzahlkriterium zur Folge.

Als Lehmer-Matrizen wird eine von Lehmer angegebene Familie symmetrischer Matrizen mit rationalen Elementen bezeichnet. Deren Inverse sind tridiagonale Matrizen mit strikt negativen Elementen auf beiden Nebendiagonalen. Da sie sich analytisch angeben lassen, können sie zum Test von numerischen Invertierungsprogrammen verwendet werden.

Als Lehmer-Code wird eine eineindeutige Zuordnung zwischen einer Permutation und einer positiven ganzen Zahl in fakultätsbasierter Zahlendarstellung (engl. factorial number system) bezeichnet.

Die Lehmer Five sind diejenigen fünf natürlichen Zahlen (276, 552, 564, 660, 966) unterhalb 1000, für die das asymptotische Verhalten ihrer „aliquoten Folge“, der Folge der iterierten Summe aller echten Teiler, noch nicht geklärt werden konnte.

Die Suche nach Cunningham-Ketten geht ebenfalls auf Lehmer zurück. Das sind Ketten von Primzahlen, in denen benachbarte Glieder erfüllen (die Motivation stammt von Primzahltests vom Lucas-Typ, bei denen für den Test, ob prim ist, faktorisiert werden muss). Lehmer fand drei solche Ketten aus sieben Primzahlen, bei denen die kleinste Primzahl kleiner als ist.

Die enge Zusammenarbeit von Emma und Derrick Lehmer in der Zahlentheorie findet eigentlich nur ein Pendant bei den Ehepaaren Pierre und Marie Curie sowie deren Tochter Irène mit ihrem Ehemann Frédéric Joliot-Curie in der Physik und Chemie.

Er war unter anderem Doktorvater von Tom Apostol, John Brillhart, Ronald Graham, David Singmaster, Harold Stark und Peter Weinberger.

Schriften Bearbeiten

  • Guide to Tables in the Theory of Numbers Washington, D.C. 1941, Nachdruck 1961
  • Selected papers 1981.
  • mit John Brillhart, John L. Selfridge, Bryant Tuckerman, S. S. Wagstaff Jr.: Factorizations of ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 up to high powers, American Mathematical Society 1983, 3. Auflage, 2002
  • An extended theory of Lucas’ functions. Annals of Mathematics, Band 31 (1930), S. 419–448.
  • A machine for combining sets of linear congruences. Mathematische Annalen, Band 109 (1934), S. 661–667.
  • The Vanishing of Ramanujan’s Function tau(n). Duke Math. J., Band 14 (1947), S. 429–433.
  • Mechanized mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society, 1966.

Literatur Bearbeiten

  • Leo Corry: Number crunching vs. number theory: computers and FLT, from Kummer to SWAC (1850–1960), and beyond, Archive History Exact Sciences, 62, 2008, 393–455

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. A. Mollin: Number Theory and applications. Banff 1988 Kluwer, Dordrecht, 1989, S. 194.
  2. Siehe Ribenboim: Die Welt der Primzahlen, 1996, S. 80.
  3. math.kent.edu
  4. D. N. Lehmer: Hunting big game in the theory of numbers. Scripta Mathematica 1, 1933, S. 229–235. Unterhaltsame Beschreibung der Faktorzerlegung als Großwildjagd ebenfalls online als Abschrift durch Richard Schroeppel
  5. ed-thelen.org
  6. (Memento vom 23. Februar 2010 im Internet Archive)
  7. D. H. Lehmer: Euclid’s algorithm for large numbers. Amer. Math. Monthly 45 (1938), S. 227–233.
  8. E. Bach, J. Shallit: Algorithmic Number Theory, Vol. I, MIT Press 1996, S. 300.
  9. Eric Weisstein: Lehmer’s Constant. In: MathWorld (englisch).
  10. D. H. Lehmer: A machine method for solving polynomial equations. Journal ACM 8 (1961), S. 151–162.
  11. I. Schur: Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind. Journal Reine Angew. Math. 148 (1918), S. 122–145, speziell S. 134.
  12. cecm.sfu.ca
  13. Eriko Hironaka: What is Lehmer’s number? (PDF-Datei; 61 kB)
  14. math.dartmouth.edu
  15. Richard G. E. Pinch; A note on Lehmer’s totient problem Poster (PDF-Datei; 48 kB) bei ANTS VII (2006)
  16. D. H. Lehmer: Matrix paraphrases. Linear and Multilinear Algebra 28 (1991), Nr. 4, S. 251–264.
  17. R. Mantaci, F. Rakotondrajao: A permutation representation that knows what “Eulerian” means. (mit Verweis auf Originalquelle; PDF; 92 kB)
  18. aliquot.de
  19. Siehe Richard K. Guy Unsolved Problems in Number Theory, Springer Verlag 1994, S. 18.
  20. openlibrary.org
  21. ams.org
  22. gdz.sub.uni-goettingen.de
  23. ams.org
Personendaten
NAME Lehmer, Derrick Henry
ALTERNATIVNAMEN Lehmer, Derrick
KURZBESCHREIBUNG US-amerikanischer Mathematiker
GEBURTSDATUM 23. Februar 1905
GEBURTSORT Berkeley (Kalifornien)
STERBEDATUM 22. Mai 1991
STERBEORT Berkeley (Kalifornien)
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Veröffentlichungsdatum:
Derrick Henry Lehmer 23 Februar 1905 in Berkeley Kalifornien 22 Mai 1991 ebenda war ein US amerikanischer Mathematiker spezialisiert auf Zahlentheorie Derrick Lehmer 1984 Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Werk 3 Schriften 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseLeben BearbeitenLehmer wurde schon als Kind in sein spateres Arbeitsgebiet hineingezogen da sein Vater Derrick Norman Lehmer 1867 1938 mit Hilfe mechanischer Rechengerate Primzahltafeln und Faktor Tabellen erstellte Er studierte zunachst Physik an der University of California Berkeley wo sein Vater Professor fur Mathematik war Als Student arbeitete er an einer Realisierung von Faktorisierungs Algorithmen fur seinen Vater mit Lochkarten Rechnern wobei er von seiner spateren Frau Emma Markovna Trotskaya die ebenfalls in Berkeley studierte unterstutzt wurde 1927 machte er seinen B A in Physik und begann an einer Promotion beim fuhrenden amerikanischen Zahlentheoretiker Leonard Eugene Dickson in Chicago zu arbeiten Da er mit diesem nicht zurechtkam wechselte er zu Jacob David Tamarkin an die Brown University in Rhode Island wo er 1930 promovierte Danach ging er mit einem staatlichen Stipendium versehen 1930 31 ans California Institute of Technology und danach fur ein Jahr an die Stanford University sowie an das Institute for Advanced Study in Princeton New Jersey bevor er eine Dozentur an der Lehigh University erhalten konnte Bis auf einen Besuch in England 1938 39 bei Godfrey Harold Hardy John Edensor Littlewood Harold Davenport Kurt Mahler Louis Mordell und Paul Erdos blieben er und seine Frau bis 1940 in Lehigh bevor er einen Posten an seiner Heimatuniversitat Berkeley erhalten konnte In den Kriegsjahren arbeiteten er und seine Frau als Operatoren fur den ENIAC auf dem Aberdeen Testgelande der US Armee tagsuber an ballistischen Rechnungen nachts war Zeit fur die Zahlentheorie Als er 1950 in Berkeley einen von Joseph McCarthy forcierten Loyalitats Eid verweigerte verlor er kurzzeitig seinen Posten was er mit Arbeiten fur das National Bureau of Standards uberbruckte Nach seiner Wiedereinstellung erhielt er Anerkennung und Ehrungen etwa als Vizeprasident der American Mathematical Society und als Governor at Large der Association for Computing Machinery 1953 1954 Bei der Grundung der Zeitschrift Mathematical Tables and other Aids to Computation MTAC heute Mathematics of Computation im Januar 1943 durch Raymond Clare Archibald gehorte er dem Beirat an und wurde bereits 1944 zweiter Herausgeber Nachdem Archibald Ende 1949 in den Ruhestand ging leitete Lehmer von 1950 bis 1954 als First Chairman das Editorial Committee der Zeitschrift Von 1954 bis 1957 leitete er das Mathematics Department der University of California in Berkeley 1958 war er Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Edinburgh Discrete variable methods in numerical analysis Im Jahr 1972 ging er in den Ruhestand Er erhielt 1980 die Ehrendoktorwurde von der Brown University Lehmer wurde am 50 Todestag von Carl Friedrich Gauss geboren Das veranlasste Daniel Shanks 1989 zu einer scherzhaften Bemerkung die sich auf seine gemeinsame Arbeit mit Lehmer an einem von Gauss angeregten Problem bezog 1 Die Lehmers hatten eine Tochter Laura Lehmer Gould 1932 und einen Sohn Donald 1934 Werk BearbeitenLehmer war ein Pionier in der Anwendung von Computern oder allgemein numerischer Verfahren in der Zahlentheorie Er fand eine verbesserte Version des von Edouard Lucas stammenden Lucas Tests und weitere Verfahren zum Nachweis der Primalitat naturlicher Zahlen Der Lucas Lehmer Test fur Mersenne Primzahlen ist nach Lucas und ihm benannt 2 Er war auch einer der ersten die die Riemannhypothese elektronisch uberpruften Dabei entdeckte er unerwartet eng benachbarte Nullstellen der riemannschen Zetafunktion die heute Lehmer Paare 3 genannt werden Ferner konstruierte Lehmer in der Nachfolge seines Vaters 4 verschiedene Gerate 5 fur das Siebverfahren zum Berechnen einer Losung von zahlentheoretischen Kongruenzen in erster Linie fur Primfaktorzerlegungen 1926 mit Fahrradketten 1932 mit optischen Zahnradern ausgestellt auf der Weltausstellung 1933 34 in Chicago 1936 mit 16 mm Filmstreifen 6 1966 Delay Line Sieve Dick Lehmers Sieve DLS 127 1969 DLS 157 1975 Shift Register Sieve SRS 181 und programmierte das Siebverfahren auf den Computern SWAC IBM 7094 und ILLIAC IV Er entwickelte bereits im Jahr 1938 eine wesentlich beschleunigte Variante des euklidischen Algorithmus fur sehr grosse naturliche Zahlen 7 Im Jahr 1959 verbesserte er die Formel des Astronomen Ernst Meissel fur die Anzahl der Primzahlen p x displaystyle pi x nbsp bis zu einer gegebenen Grenze x displaystyle x nbsp und konnte mit seiner Methode p 10 10 displaystyle pi 10 10 nbsp berechnen Kurz darauf erwies sich jedoch sein Wert als um 1 zu gross 8 Die Lehmersche Konstante 9 0 592 6327182 displaystyle 0 5926327182 nbsp ist diejenige reelle Zahl deren erstmals von Lehmer eingefuhrte Kotangensentwicklung am langsamsten konvergiert Lehmer 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eine von Lehmer angegebene Familie symmetrischer Matrizen mit rationalen Elementen bezeichnet 16 Deren Inverse sind tridiagonale Matrizen mit strikt negativen Elementen auf beiden Nebendiagonalen Da sie sich analytisch angeben lassen konnen sie zum Test von numerischen Invertierungsprogrammen verwendet werden Als Lehmer Code wird eine eineindeutige Zuordnung zwischen einer Permutation und einer positiven ganzen Zahl in fakultatsbasierter Zahlendarstellung engl factorial number system bezeichnet 17 Die Lehmer Five sind diejenigen funf naturlichen Zahlen 276 552 564 660 966 unterhalb 1000 fur die das asymptotische Verhalten ihrer aliquoten Folge der Folge der iterierten Summe aller echten Teiler noch nicht geklart werden konnte 18 Die Suche nach Cunningham Ketten geht ebenfalls auf Lehmer zuruck Das sind Ketten von Primzahlen in denen benachbarte Glieder p i 2 p i 1 1 displaystyle p i 2 cdot p i 1 1 nbsp erfullen die Motivation stammt von Primzahltests vom Lucas Typ bei denen fur den Test ob p displaystyle p nbsp prim ist p 1 displaystyle p 1 nbsp faktorisiert werden muss Lehmer fand drei solche Ketten aus sieben Primzahlen bei denen die kleinste Primzahl kleiner als 10 7 displaystyle 10 7 nbsp ist 19 Die enge Zusammenarbeit von Emma und Derrick Lehmer in der Zahlentheorie findet eigentlich nur ein Pendant bei den Ehepaaren Pierre und Marie Curie sowie deren Tochter Irene mit ihrem Ehemann Frederic Joliot Curie in der Physik und Chemie Er war unter anderem Doktorvater von Tom Apostol John Brillhart Ronald Graham David Singmaster Harold Stark und Peter Weinberger Schriften BearbeitenGuide to Tables in the Theory of Numbers Washington D C 1941 Nachdruck 1961 Selected papers 1981 20 mit John Brillhart John L Selfridge Bryant Tuckerman S S Wagstaff Jr Factorizations of b n displaystyle b n nbsp 1 b 2 3 5 6 7 10 11 12 up to high powers American Mathematical Society 1983 3 Auflage 2002 21 An extended theory of Lucas functions Annals of Mathematics Band 31 1930 S 419 448 A machine for combining sets of linear congruences Mathematische Annalen Band 109 1934 S 661 667 22 The Vanishing of Ramanujan s Function tau n Duke Math J Band 14 1947 S 429 433 Mechanized mathematics Bulletin of the American Mathematical Society 1966 23 Literatur BearbeitenLeo Corry Number crunching vs number theory computers and FLT from Kummer to SWAC 1850 1960 and beyond Archive History Exact Sciences 62 2008 393 455Weblinks BearbeitenJohn J O Connor Edmund F Robertson Derrick Henry Lehmer In MacTutor History of Mathematics archive Biografie von John Brillhart in Acta Arithmetica PDF 191 kB Leo Corry Fermat Meets SWAC Vandiver the Lehmers Computers and Number Theory IEEE Annals of the History of Computing 30 Nr 1 2008 S 38 49 PDF 442 kB Lehmer Ausstellung an der Universitat Berkeley Lehmer an der Universitat BerkeleyEinzelnachweise Bearbeiten R A Mollin Number Theory and applications Banff 1988 Kluwer Dordrecht 1989 S 194 Siehe Ribenboim Die Welt der Primzahlen 1996 S 80 math kent edu D N Lehmer Hunting big game in the theory of numbers Scripta Mathematica 1 1933 S 229 235 Unterhaltsame Beschreibung der Faktorzerlegung als Grosswildjagd ebenfalls online als Abschrift durch Richard Schroeppel ed thelen org Archivierte Kopie Memento vom 23 Februar 2010 im Internet Archive D H Lehmer Euclid s algorithm for large numbers Amer Math Monthly 45 1938 S 227 233 E Bach J Shallit Algorithmic Number Theory Vol I MIT Press 1996 S 300 Eric Weisstein Lehmer s Constant In MathWorld englisch D H Lehmer A machine method for solving polynomial equations Journal ACM 8 1961 S 151 162 I Schur Uber Potenzreihen die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind Journal Reine Angew Math 148 1918 S 122 145 speziell S 134 cecm sfu ca Eriko Hironaka What is Lehmer s number PDF Datei 61 kB math dartmouth edu Richard G E Pinch A note on Lehmer s totient problem Poster PDF Datei 48 kB bei ANTS VII 2006 D H Lehmer Matrix paraphrases Linear and Multilinear Algebra 28 1991 Nr 4 S 251 264 R Mantaci F Rakotondrajao A permutation representation that knows what Eulerian means mit Verweis auf Originalquelle PDF 92 kB aliquot de Siehe Richard K Guy Unsolved Problems in Number Theory Springer Verlag 1994 S 18 openlibrary org ams org gdz sub uni goettingen de ams orgNormdaten Person GND 120973979 lobid OGND AKS LCCN n87147927 VIAF 44381723 Wikipedia Personensuche PersonendatenNAME Lehmer Derrick HenryALTERNATIVNAMEN Lehmer DerrickKURZBESCHREIBUNG US amerikanischer MathematikerGEBURTSDATUM 23 Februar 1905GEBURTSORT Berkeley Kalifornien STERBEDATUM 22 Mai 1991STERBEORT Berkeley Kalifornien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Derrick Henry Lehmer amp oldid 233566144