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Ganze Funktion In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion die in der gesamten komplexen Zahlenebene

Ganze Funktion

In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion, die in der gesamten komplexen Zahlenebene holomorph (also analytisch) ist. Typische Beispiele ganzer Funktionen sind Polynome oder die Exponentialfunktion sowie Summen, Produkte und Verknüpfungen davon, etwa die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen.

Eigenschaften Bearbeiten

Jede ganze Funktion kann als eine überall konvergierende Potenzreihe um ein beliebiges Zentrum dargestellt werden. Weder der Logarithmus noch die Wurzelfunktion sind ganz.

Eine ganze Funktion kann eine isolierte Singularität, insbesondere sogar eine wesentliche Singularität im komplexen Punkt im Unendlichen (und nur da) besitzen.

Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist der Satz von Liouville: Beschränkte ganze Funktionen sind konstant. Damit lässt sich recht elegant der Fundamentalsatz der Algebra beweisen. Der kleine Satz von Picard ist eine beträchtliche Verschärfung des Satzes von Liouville: Eine nichtkonstante ganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an, bis auf möglicherweise einen. Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise die Exponentialfunktion, die nicht den Wert 0 annimmt.

Weitere Beispiele Bearbeiten

Die Airy-Funktion (hier der Realteil) ist eine ganze Funktion.

Literatur Bearbeiten

  • Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2004
  • Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992
  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Schramm: The Fourier transform of functions of the greatest common divisor. In: Integers – The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 8, 2008, A50 (Abstract)
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In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion die in der gesamten komplexen Zahlenebene C displaystyle mathbb C holomorph also analytisch ist Typische Beispiele ganzer Funktionen sind Polynome oder die Exponentialfunktion sowie Summen Produkte und Verknupfungen davon etwa die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Weitere Beispiele 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenJede ganze Funktion kann als eine uberall konvergierende Potenzreihe um ein beliebiges Zentrum dargestellt werden Weder der Logarithmus noch die Wurzelfunktion sind ganz Eine ganze Funktion kann eine isolierte Singularitat insbesondere sogar eine wesentliche Singularitat im komplexen Punkt im Unendlichen und nur da besitzen Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist der Satz von Liouville Beschrankte ganze Funktionen sind konstant Damit lasst sich recht elegant der Fundamentalsatz der Algebra beweisen Der kleine Satz von Picard ist eine betrachtliche Verscharfung des Satzes von Liouville Eine nichtkonstante ganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an bis auf moglicherweise einen Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise die Exponentialfunktion die nicht den Wert 0 annimmt Weitere Beispiele Bearbeiten nbsp Die Airy Funktion Bi x i y displaystyle operatorname Bi x iy nbsp hier der Realteil ist eine ganze Funktion der Kehrwert der Gammafunktion 1 G z displaystyle 1 Gamma z nbsp die Fehlerfunktion erf z displaystyle operatorname erf z nbsp der Integralsinus Si z displaystyle operatorname Si z nbsp die Airy Funktionen Ai z displaystyle operatorname Ai z nbsp und Bi z displaystyle operatorname Bi z nbsp die Fresnelschen Integrale S z displaystyle S z nbsp und C z displaystyle C z nbsp die Riemannsche Xi Funktion 3 z displaystyle xi z nbsp die Besselfunktionen erster Art J n z displaystyle J n z nbsp fur ganzzahlige n displaystyle n nbsp die Struve Funktionen H n z displaystyle H n z nbsp fur ganzzahlige n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp der grosste gemeinsame Teiler bezuglich einer naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp in der verallgemeinerten Form 1 ggT n z m 1 n e 2 p i m n z d n c d m d mit c d m k 1 ggT k d 1 d e 2 p i k d m displaystyle textstyle operatorname ggT n z sum limits m 1 n e 2 pi i frac m n z sum limits d n frac c d m d quad text mit quad c d m sum limits k 1 atop operatorname ggT k d 1 d e 2 pi i frac k d m nbsp Ramanujansumme Literatur BearbeitenKlaus Janich Funktionentheorie Eine Einfuhrung 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2004 Reinhold Remmert Funktionentheorie I 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1992 Eberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 1 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Entire Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Schramm The Fourier transform of functions of the greatest common divisor In Integers The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 8 2008 A50 Abstract Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ganze Funktion amp oldid 223018458