In der Mathematik ist die Riemannsche Xi Funktion eine Transformierte der Riemannschen Zeta Funktion Ihre Nullstellen entsprechen dabei ausschliesslich den nichttrivialen Nullstellen der Zeta Funktion und im Gegensatz zu dieser ist die Xi Funktion holomorph auf der ganzen komplexen Ebene Zudem genugt sie einer besonders einfachen Funktionalgleichung Bernhard Riemann fuhrte sie 1859 in derselben Arbeit uber die Primzahlverteilung ein in der er auch die spater nach ihm benannte Riemannsche Vermutung formulierte Die Riemannsche 3 displaystyle xi Funktion in der komplexen Zahlenebene Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Analytische Fortsetzung 3 Eigenschaften 3 1 Spezielle Werte 3 2 Funktionalgleichung 3 3 Produktdarstellung 3 4 Summendarstellung 3 5 Beziehung zur Riemann Siegelschen Z Funktion 3 6 Asymptotisches Verhalten 3 7 Li Koeffizienten 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Riemannsche Xi Funktion 3 displaystyle xi nbsp klein xi ist definiert als 3 s 1 2 s s 1 p s 2 G s 2 z s displaystyle xi s frac 1 2 s s 1 pi s 2 Gamma left frac s 2 right zeta s nbsp wo z displaystyle zeta nbsp die Riemannsche Zeta Funktion und G displaystyle Gamma nbsp die Gamma Funktion bezeichnet Der Produktterm auf der rechten Seite vor der Riemannschen z displaystyle zeta nbsp Funktion eliminiert genau alle negativen Nullstellen und die Singularitat der Zeta Funktion an der Stelle s 1 displaystyle s 1 nbsp Die einzigen Nullstellen von 3 displaystyle xi nbsp sind daher genau die nichttrivialen Nullstellen der z displaystyle zeta nbsp Funktion Eine Variante der Xi Funktion wird ublicherweise mit 3 displaystyle Xi nbsp gross Xi bezeichnet und geht aus 3 displaystyle xi nbsp durch die Variablentransformation s t i 2 i s displaystyle textstyle s mapsto t frac i 2 is nbsp also s 1 2 i t displaystyle s textstyle frac 1 2 it nbsp hervor 3 t 3 1 2 i t t 2 1 4 2 p 1 2 i t G 1 4 i t 2 z 1 2 i t displaystyle Xi t xi textstyle frac 1 2 it frac t 2 frac 1 4 2 sqrt pi 1 2 it Gamma left textstyle frac 1 4 frac it 2 right zeta left textstyle frac 1 2 it right nbsp Die Riemannsche Vermutung ist aquivalent zu der Aussage dass alle Nullstellen von 3 displaystyle Xi nbsp reell sind Bemerkenswerterweise verwendete Riemann selber den Buchstaben 3 displaystyle xi nbsp zur Bezeichnung derjenigen Funktion die man heute nach Landau mit 3 displaystyle Xi nbsp bezeichnet die Ursache fur diese zunachst verwirrende Symbolik liegt offenbar in einem Fehler Riemanns 1 der aber keinerlei Auswirkungen auf die Aussagen seines Artikels hat Analytische Fortsetzung BearbeitenFur die modifizierte Funktion 3 s p s 2 G s 2 z s displaystyle xi s pi s 2 Gamma left tfrac s 2 right zeta s nbsp leitet man zunachst fur 1 gt Re s gt 0 displaystyle 1 gt operatorname Re s gt 0 nbsp die folgende Integraldarstellung her 3 s 0 e s u e 1 s u ϑ e 2 u 1 d u 1 s 1 1 s displaystyle xi s int limits 0 infty left e su e 1 s u right cdot left vartheta e 2u 1 right cdot mathrm d u frac 1 s 1 frac 1 s nbsp Hierbei ist ϑ y n e p n 2 y displaystyle vartheta y sum n infty infty e pi n 2 y nbsp der Thetanullwert der Thetafunktion Dies liefert die meromorphe Fortsetzung auf die komplexe Ebene mit einfachen Polen in 1 und 0 Multiplikation mit dem Faktor s s 1 displaystyle s s 1 nbsp ergibt die gewunschte analytische Fortsetzung auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp Eigenschaften BearbeitenSpezielle Werte Bearbeiten Es gilt 3 0 3 1 z 0 1 2 displaystyle xi 0 xi 1 zeta 0 frac 1 2 nbsp 3 1 2 z 1 2 G 1 4 8 p 1 4 0 497 1207781 displaystyle xi 1 2 zeta 1 2 cdot frac Gamma 1 4 8 pi frac 1 4 0 4971207781 dots nbsp Minimum im reellwertigen Definitionsbereich Folge A114720 in OEIS 3 3 3 2 p z 3 displaystyle xi 3 frac 3 2 pi zeta 3 nbsp 3 5 15 2 p 2 z 5 displaystyle xi 5 frac 15 2 pi 2 zeta 5 nbsp Fur gerade naturliche Zahlen gilt 3 2 n 1 n 1 B 2 n 2 2 n 1 p n 2 n 2 n n 1 2 n n 1 2 3 4 displaystyle xi 2n 1 n 1 B 2n 2 2n 1 pi n 2n 2 n n 1 over 2n qquad n 1 2 3 4 dots nbsp wobei B 2 n displaystyle B 2n nbsp die 2 n displaystyle 2n nbsp te Bernoulli Zahl bezeichnet Aus dieser Darstellung ergeben sich unter anderem die Werte 3 2 z 2 p p 6 displaystyle xi 2 frac zeta 2 pi frac pi 6 nbsp 3 4 6 p 2 z 4 p 2 15 displaystyle xi 4 frac 6 pi 2 zeta 4 frac pi 2 15 nbsp Funktionalgleichung Bearbeiten Die Xi Funktion genugt der Funktionalgleichung Reflexionsformel 3 1 s 3 s displaystyle xi 1 s xi s nbsp oder aquivalent dazu fur die 3 displaystyle Xi nbsp Funktion 3 t 3 t displaystyle Xi t Xi t nbsp 3 displaystyle Xi nbsp ist damit eine gerade Funktion Produktdarstellung Bearbeiten 3 s 1 2 r 1 s r displaystyle xi s frac 1 2 prod rho left 1 frac s rho right nbsp wobei r displaystyle rho nbsp in der Produktformel uber alle Nullstellen von 3 displaystyle xi nbsp lauft 2 Summendarstellung Bearbeiten Aus der meromorphen Fortsetzung der modifizierten Funktion 3 s displaystyle xi s nbsp folgt auch fur alle t displaystyle t nbsp aus C i 2 i 2 displaystyle mathbb C setminus left tfrac i 2 tfrac i 2 right nbsp die Summendarstellung 3 1 2 i t n 1 E 3 4 t i 2 p n 2 E 3 4 t i 2 p n 2 4 4 t 2 1 displaystyle xi left frac 1 2 it right sum n 1 infty left E frac 3 4 frac ti 2 pi n 2 E frac 3 4 frac ti 2 pi n 2 right frac 4 4t 2 1 nbsp mit der verallgemeinerten Integralexponentialfunktion E s x 1 e x t t s d t displaystyle E s x int limits 1 infty frac e xt t s mathrm d t nbsp Beziehung zur Riemann Siegelschen Z Funktion Bearbeiten Es gilt 3 Z t 2 p 1 4 t 2 1 4 G 1 4 1 2 i t 3 t displaystyle Z t frac 2 pi 1 4 left t 2 frac 1 4 right left Gamma frac 1 4 frac 1 2 it right Xi t nbsp Asymptotisches Verhalten Bearbeiten Fur reelle Werte von s displaystyle s nbsp gilt 4 ln 3 s 8 1 2 s ln s displaystyle ln xi s Theta left frac 1 2 s ln s right nbsp fur s R s displaystyle s in mathbb R s to infty nbsp also 3 s 8 s s displaystyle xi s Theta left sqrt s s right nbsp wobei 8 displaystyle Theta nbsp und anschliessend auch O displaystyle mathcal O nbsp Landau Symbole bezeichnen Entsprechend gilt fur reelle Werte von t displaystyle t colon nbsp 5 3 t 3 1 2 i t O t 1 4 e p t 4 displaystyle Xi t xi left frac 1 2 it right mathcal O left t 1 4 e pi t 4 right nbsp fur t R t displaystyle t in mathbb R t to infty nbsp Li Koeffizienten Bearbeiten Die Xi Funktion 3 displaystyle xi nbsp hat eine enge Beziehung zu den sogenannten Li Koeffizienten l n r 1 1 1 r n displaystyle lambda n sum rho left 1 left 1 frac 1 rho right n right nbsp wobei sich die Summe uber die Nullstellen r displaystyle rho nbsp von 3 displaystyle xi nbsp erstreckt denn es gelten die Beziehungen 6 l n 1 n 1 d n d s n s n 1 ln 3 s s 1 n 1 displaystyle lambda n frac 1 n 1 left frac mathrm d n mathrm d s n left s n 1 ln xi s right right s 1 qquad n geqq 1 nbsp und d d z ln 3 z z 1 n 0 l n 1 z n displaystyle frac mathrm d mathrm d z ln xi left frac z z 1 right sum n 0 infty lambda n 1 z n nbsp Das lische Kriterium ist die Eigenschaft l n gt 0 displaystyle lambda n gt 0 nbsp fur alle positiven n displaystyle n nbsp Es ist aquivalent zur Riemannschen Vermutung Literatur BearbeitenH M Edwards Riemann s Zeta Function Dover Publications Mineola NY 2001 ISBN 0 486 41740 9 J C Lagarias Li coefficients for automorphic L functions In Mathematics 2004 arxiv math MG 0404394 B Riemann Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse In Monatsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1859 E C Titchmarsh The Theory of the Riemann Zeta Function Second revised Heath Brown edition Oxford University Press 1986 ISBN 0 19 853369 1 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikisource Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse Quellen und Volltexte Eric W Weisstein Xi Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Edwards 2001 Fussnote 1 16 S 31 Edwards 2001 2 1 S 39 Titchmarsh 1986 4 17 S 89 Titchmarsh 1986 2 12 S 29 Titchmarsh 1986 5 1 S 96 amp 10 2 S 257 Lagarias 2004 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riemannsche Xi Funktion amp oldid 224713711
