In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion beziehungsweise das Exponentialintegral eine nicht elementare infinitesimalanalytische Funktion Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die Kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit sehr wohl elementar darstellbar Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen Darstellung der Funktionen E 1 x displaystyle operatorname E 1 x Darstellung der Funktionen Ei x displaystyle operatorname Ei x Darstellung der Funktionen li x displaystyle operatorname li x Darstellung der Funktionen Ein x displaystyle operatorname Ein x Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Abgewandelte Integralexponentialfunktionen 3 Integralhyperbelfunktionen 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenDas Exponentialintegral Ei x displaystyle operatorname Ei x nbsp ist uber folgende Formel definiert Ei x x e t t d t x e t t d t displaystyle operatorname Ei x int infty x frac e t t mathrm d t int x infty frac e t t mathrm d t nbsp Da 1 t displaystyle tfrac 1 t nbsp bei t 0 displaystyle t 0 nbsp divergiert ist das obige Integral fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp als cauchyscher Hauptwert zu verstehen Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung Ei x g ln x k 1 x k k k displaystyle operatorname Ei x gamma ln left x right sum k 1 infty frac x k k cdot k nbsp wobei ln displaystyle ln nbsp der naturliche Logarithmus und g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante ist Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus li x displaystyle operatorname li x nbsp verwandt es gilt li x Ei ln x 0 lt x 1 displaystyle operatorname li x operatorname Ei ln x quad 0 lt x neq 1 nbsp Abgewandelte Integralexponentialfunktionen BearbeitenEbenfalls eng verwandt ist eine Funktion die uber einen anderen Integrationsbereich integriert E 1 x exp x 0 exp t x t 1 d t 1 e t x t d t x e t t d t displaystyle operatorname E 1 x exp x int 0 infty frac exp tx t 1 mathrm d t int 1 infty frac e tx t mathrm d t int x infty frac e t t mathrm d t nbsp Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden da Ei x E 1 x displaystyle operatorname Ei x operatorname E 1 x nbsp Die Funktion Ein x displaystyle operatorname Ein x nbsp ist eine ganze Funktion und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt Ein x 0 1 1 t 1 exp t x d t 0 x 1 e t t d t displaystyle operatorname Ein x int 0 1 frac 1 t bigl 1 exp tx bigr mathrm d t int 0 x frac 1 e t t mathrm d t nbsp Ein x n 1 x 2 n 1 2 n 1 2 n 1 x 2 n 2 n 2 n k 1 1 k 1 x k k k displaystyle operatorname Ein x sum n 1 infty biggl frac x 2n 1 2n 1 2n 1 frac x 2n 2n 2n biggr sum k 1 infty frac 1 k 1 x k k k nbsp Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrucken gelten diese Beziehungen Ei x g ln x Ein x displaystyle operatorname Ei x gamma ln x operatorname Ein x nbsp E 1 x g ln x Ein x displaystyle operatorname E 1 x gamma ln x operatorname Ein x nbsp Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollstandigen Gammafunktion E n x x n 1 G 1 n x displaystyle E n x x n 1 Gamma 1 n x nbsp Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden E n x 1 e x t t n d t ℜ x gt 0 displaystyle E n x int 1 infty frac e xt t n mathrm d t quad Re x gt 0 nbsp Integralhyperbelfunktionen BearbeitenDurch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrucken werden die Integralhyperfbelfunktionen Shi x displaystyle operatorname Shi x nbsp und Chi x displaystyle operatorname Chi x nbsp gebildet Shi x 1 2 Ein x 1 2 Ein x displaystyle operatorname Shi x frac 1 2 operatorname Ein x frac 1 2 operatorname Ein x nbsp Chi x 1 2 Ei x 1 2 Ei x displaystyle operatorname Chi x frac 1 2 operatorname Ei x frac 1 2 operatorname Ei x nbsp Chi x g ln x 1 2 Ein x 1 2 Ein x displaystyle operatorname Chi x gamma ln x frac 1 2 operatorname Ein x frac 1 2 operatorname Ein x nbsp So lauten ihre Integraldefinitionen Shi x 0 1 sinh t x t d t 0 x sinh t t d t displaystyle operatorname Shi x int 0 1 frac sinh tx t mathrm d t int 0 x frac sinh t t mathrm d t nbsp Chi x g ln x 0 1 cosh t x 1 t d t displaystyle operatorname Chi x gamma ln x int 0 1 frac cosh tx 1 t mathrm d t nbsp g ln x 0 x cosh t 1 t d t displaystyle gamma ln x int 0 x frac cosh t 1 t mathrm d t nbsp Literatur BearbeitenWilliam H Press et al Numerical Recipes FORTRAN Cambridge University Press New York 1989 Milton Abramowitz Irene A Stegun Hrsg Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables Dover New York 1972 Siehe Kapitel 5 R D Misra Proc Cambridge Phil Soc Band 36 1940 S 173 Bitte uberprufen Nach JFM zweifelhaft befremdlicher Titel On the stability of crystal lattices II S 173 182 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Exponential Integral In MathWorld englisch Eric W Weisstein En Function In MathWorld englisch Maxim Lwowitsch Konzewitsch Exponential Integral Vorlesungsreihe englisch 2015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Integralexponentialfunktion amp oldid 231024866
