Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen x 0 x 1 displaystyle x geq 0 x neq 1 oder x gt 1 displaystyle x gt 1 in die reellen Zahlen Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der Physik wie der Quantenfeldtheorie und bei der Losung der Laplace Gleichung in Halbleitern sowie in der Zahlentheorie da sie eng mit der Dichte der Primzahlen verknupft ist Funktionsgraph von li x displaystyle operatorname li x im Bereich zwischen 0 und 10 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Asymptotisches Verhalten 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenEs sind zwei Definitionen ublich die sich um eine Konstante unterscheiden Fur eine der wichtigsten Anwendungen als asymptotische Vergleichsgrosse fur die Primzahlfunktion im Primzahlsatz spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle Eine Definition im Bereich x 0 displaystyle x geq 0 nbsp lautet li x 0 x d t ln t displaystyle operatorname li x int 0 x frac mathrm d t ln t nbsp dabei muss li displaystyle operatorname li nbsp wegen der Polstelle bei x 1 displaystyle x 1 nbsp fur x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp uber einen Grenzwert definiert werden cauchyscher Hauptwert li x lim e 0 0 1 e d t ln t 1 e x d t ln t displaystyle operatorname li x lim varepsilon to 0 left int 0 1 varepsilon frac mathrm d t ln t int 1 varepsilon x frac mathrm d t ln t right nbsp Eine andere Definition fur x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp ist Li x li x li 2 2 x d t ln t displaystyle operatorname Li x operatorname li x operatorname li 2 int 2 x frac mathrm d t ln t nbsp Bei x 1 displaystyle x 1 nbsp liegt keine Polstelle sondern eine logarithmische Singularitat vor Eigenschaften Bearbeiten nbsp Funktionsgraph von li x displaystyle operatorname li x nbsp im Bereich zwischen 0 und 2 umfasst 0 1 µ und 2 Einige Werte li 0 0 displaystyle operatorname li 0 0 nbsp li 1 displaystyle operatorname li 1 infty nbsp li m 0 displaystyle operatorname li mu 0 nbsp li 2 1 045 16 37801 17492 78484 displaystyle operatorname li 2 1 04516 37801 17492 78484 ldots nbsp Folge A069284 in OEIS Dabei ist m 1 451 36 92348 83381 05028 displaystyle mu 1 45136 92348 83381 05028 ldots nbsp Folge A070769 in OEIS die Ramanujan Soldner Konstante Es gilt li x Ei ln x displaystyle operatorname li x operatorname Ei ln x nbsp mit der Integralexponentialfunktion Ei displaystyle operatorname Ei nbsp daraus erhalt man die Reihendarstellung li x g ln ln x k 1 ln x k k k displaystyle operatorname li x gamma ln left ln x right sum k 1 infty frac ln x k k cdot k nbsp wobei g 0 577 21 56649 01532 86060 displaystyle gamma 0 57721 56649 01532 86060 ldots nbsp Folge A001620 in OEIS die Euler Mascheroni Konstante ist Aus der Definition von li displaystyle operatorname li nbsp erhalt man durch lineare Substitution li x x 0 1 d t ln x t displaystyle operatorname li x x int 0 1 frac mathrm d t ln x t nbsp wobei fur x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp wegen der Singularitat bei t 1 x displaystyle t 1 x nbsp der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss Ferner haben wir fur x 0 x 1 displaystyle x geq 0 x neq 1 nbsp 0 x li t d t x li x li x 2 displaystyle int 0 x operatorname li t mathrm d t x operatorname li x operatorname li x 2 nbsp Ausserdem gilt fur p gt 1 p 0 displaystyle p gt 1 p not 0 nbsp 0 1 li t t p 1 d t 1 p ln p 1 displaystyle int 0 1 operatorname li t t p 1 mathrm d t tfrac 1 p ln p 1 nbsp fur p 1 displaystyle p 1 nbsp erhalt man 0 1 li t d t ln 2 displaystyle textstyle int 0 1 operatorname li t mathrm d t ln 2 nbsp Im Grenzfall p 0 displaystyle p 0 nbsp ist 0 1 li t t 1 d t 1 displaystyle textstyle int 0 1 operatorname li t t 1 mathrm d t 1 nbsp Eine weitere Formel ist 0 1 li t 1 t d t 1 li t t 3 d t 0 displaystyle textstyle int 0 1 operatorname li t 1 t mathrm d t textstyle int 1 infty operatorname li t t 3 mathrm d t 0 nbsp Die Golomb Dickman Konstante l 0 1 e li x d x 0 624 32 99885 43550 87099 displaystyle lambda textstyle int 0 1 mathrm e operatorname li x mathrm d x 0 62432 99885 43550 87099 ldots nbsp Folge A084945 in OEIS tritt in der Theorie zufalliger Permutationen bei der Abschatzung der Lange des langsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschatzung der Grosse des grossten Primfaktors einer Zahl auf Asymptotisches Verhalten Bearbeiten nbsp Funktionsgraph von li x displaystyle operatorname li x nbsp im Bereich zwischen 1 und 1013Fur grosse x displaystyle x nbsp lasst sich li x displaystyle operatorname li x nbsp durch li x 0 x ln x 1 x ln 2 x 2 x ln 3 x 3 x ln 4 x displaystyle operatorname li x 0 frac x ln x 1 frac x ln 2 x 2 frac x ln 3 x 3 frac x ln 4 x dotsb nbsp approximieren Die Reihe ist eine asymptotische Entwicklung sie konvergiert nicht sondern nahert sich dem wahren Wert an um sich dann wieder zu entfernen Die beste Approximation wird nach etwa ln x displaystyle ln x nbsp Gliedern erreicht dann werden die Summanden grosser durch die starker werdende Wirkung der Fakultat Siehe auch BearbeitenIntegralsinus IntegralcosinusLiteratur BearbeitenJohann Georg Soldner Theorie et tables d une nouvelle fonction transcendante Lindauer Munchen 1809 franzosisch bei Google Books Niels Nielsen Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten B G Teubner Leipzig 1906 archive org Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Logarithmic Integral In MathWorld englisch Logarithmic integral bei The Wolfram Functions Site englisch mit Berechnungsmoglichkeit Normdaten Sachbegriff GND 4212683 6 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Integrallogarithmus amp oldid 231087865
