Dieser Artikel beschreibt eine spezielle Funktion Fur die Formel die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe Airy Formel Die Airy Funktion Ai x displaystyle operatorname Ai x bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik Die Funktion Ai x displaystyle operatorname Ai x und die verwandte Funktion Bi x displaystyle operatorname Bi x die ebenfalls Airy Funktion genannt wird sind Losungen der linearen Differentialgleichung y x y 0 displaystyle y xy 0 auch bekannt als Airy Gleichung Sie beschreibt unter anderem die Losung der Schrodinger Gleichung fur einen linearen Potentialtopf Die Airy Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete Airy 1838 Die Bezeichnung Ai x displaystyle operatorname Ai x wurde von Harold Jeffreys eingefuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Reelle Airy Funktion 1 2 Komplexe Airy Funktion 2 Eigenschaften 2 1 Asymptotisches Verhalten 2 2 Nullstellen 2 3 Spezielle Werte 3 Fourier Transformierte 4 Weitere Darstellungen 5 Komplexe Argumente 6 Verallgemeinerungen 7 Verwandte Funktionen 7 1 Airy Zeta Funktion 7 2 Scorersche Funktionen 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenReelle Airy Funktion Bearbeiten nbsp Fur reelle Werte x displaystyle x nbsp ist die Airy Funktion als Parameterintegral definiert A i x 1 p 0 cos t 3 3 x t d t displaystyle mathrm Ai x frac 1 pi int limits 0 infty cos left frac t 3 3 xt right rm d t nbsp Eine zweite linear unabhangige Losung der Differentialgleichung ist die Airy Funktion zweiter Art B i displaystyle mathrm Bi nbsp B i x 1 p 0 exp t 3 3 x t sin t 3 3 x t d t displaystyle mathrm Bi x frac 1 pi int limits 0 infty left exp left frac t 3 3 xt right sin left frac t 3 3 xt right right rm d t nbsp Komplexe Airy Funktion Bearbeiten Die komplexe Airy Funktion ist Ai z 1 2 p i C exp t 3 3 z t d t displaystyle operatorname Ai z frac 1 2 pi i int C exp left tfrac t 3 3 zt right dt nbsp mit Kontour C displaystyle C nbsp von z 1 displaystyle z 1 infty nbsp mit arg z 1 p 3 displaystyle operatorname arg z 1 pi 3 nbsp nach z 2 displaystyle z 2 infty nbsp mit arg z 2 p 3 displaystyle operatorname arg z 2 pi 3 nbsp Eigenschaften BearbeitenAsymptotisches Verhalten Bearbeiten Fur x displaystyle x nbsp gegen displaystyle infty nbsp lassen sich A i x displaystyle mathrm Ai x nbsp und B i x displaystyle mathrm Bi x nbsp mit Hilfe der WKB Naherung approximieren A i x e 2 3 x 3 2 2 p x 1 4 B i x e 2 3 x 3 2 p x 1 4 displaystyle begin aligned mathrm Ai x amp simeq frac e frac 2 3 x 3 2 2 sqrt pi x 1 4 mathrm Bi x amp simeq frac e frac 2 3 x 3 2 sqrt pi x 1 4 end aligned nbsp Fur x displaystyle x nbsp gegen displaystyle infty nbsp gelten die Beziehungen A i x sin 2 3 x 3 2 1 4 p p x 1 4 B i x cos 2 3 x 3 2 1 4 p p x 1 4 displaystyle begin aligned mathrm Ai x amp simeq frac sin frac 2 3 x 3 2 frac 1 4 pi sqrt pi x 1 4 mathrm Bi x amp simeq frac cos frac 2 3 x 3 2 frac 1 4 pi sqrt pi x 1 4 end aligned nbsp Nullstellen Bearbeiten Die Airy Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse 1 Die ungefahre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten fur x displaystyle x to infty nbsp zu Ai x 0 x 3 2 p n 1 4 2 3 n N displaystyle operatorname Ai x 0 quad Rightarrow quad x approx bigl textstyle frac 3 2 pi n frac 1 4 bigr 2 3 quad n in mathbb N nbsp Bi x 0 x 3 2 p n 3 4 2 3 n N displaystyle operatorname Bi x 0 quad Rightarrow quad x approx bigl textstyle frac 3 2 pi n frac 3 4 bigr 2 3 quad n in mathbb N nbsp Spezielle Werte Bearbeiten Die Airy Funktionen und ihre Ableitungen haben fur x 0 displaystyle x 0 nbsp die folgenden Werte A i 0 1 9 3 G 2 3 A i 0 1 3 3 G 1 3 B i 0 1 3 6 G 2 3 B i 0 3 6 G 1 3 displaystyle begin aligned mathrm Ai 0 amp frac 1 sqrt 3 9 cdot Gamma frac 2 3 amp quad mathrm Ai 0 amp frac 1 sqrt 3 3 cdot Gamma frac 1 3 mathrm Bi 0 amp frac 1 sqrt 6 3 cdot Gamma frac 2 3 amp quad mathrm Bi 0 amp frac sqrt 6 3 Gamma frac 1 3 end aligned nbsp Hierbei bezeichnet G displaystyle Gamma cdot nbsp die Gammafunktion Es folgt dass die Wronski Determinante von A i x displaystyle mathrm Ai x nbsp und B i x displaystyle mathrm Bi x nbsp gleich 1 p displaystyle tfrac 1 pi nbsp ist Fourier Transformierte BearbeitenDirekt aus der Definition der Airy Funktion Ai x displaystyle operatorname Ai x nbsp siehe oben folgt deren Fourier Transformierte F Ai k Ai x e 2 p i k x d x e i 3 2 p k 3 displaystyle mathcal F operatorname Ai k int infty infty operatorname Ai x mathrm e 2 pi mathrm i kx dx mathrm e frac mathrm i 3 2 pi k 3 nbsp Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier Transformation Weitere Darstellungen BearbeitenUnter Verwendung der hypergeometrischen Funktion 0 F 1 displaystyle 0 F 1 nbsp A i z 1 3 2 3 G 2 3 0 F 1 0 2 3 1 9 z 3 z 3 1 3 G 1 3 0 F 1 0 4 3 1 9 z 3 displaystyle mathrm Ai z frac 1 3 2 3 cdot Gamma tfrac 2 3 cdot 0 F 1 left 0 tfrac 2 3 tfrac 1 9 z 3 right frac z 3 1 3 cdot Gamma tfrac 1 3 cdot 0 F 1 left 0 tfrac 4 3 tfrac 1 9 z 3 right nbsp B i z 1 3 1 6 G 2 3 0 F 1 0 2 3 1 9 z 3 3 1 6 z G 1 3 0 F 1 0 4 3 1 9 z 3 displaystyle mathrm Bi z frac 1 3 1 6 cdot Gamma tfrac 2 3 cdot 0 F 1 left 0 tfrac 2 3 tfrac 1 9 z 3 right frac 3 1 6 cdot z Gamma tfrac 1 3 cdot 0 F 1 left 0 tfrac 4 3 tfrac 1 9 z 3 right nbsp Fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel Funktion erster Art I displaystyle I nbsp so darstellen A i x 1 3 x I 1 3 2 3 x 3 2 I 1 3 2 3 x 3 2 displaystyle mathrm Ai x frac 1 3 sqrt x left I 1 3 left frac 2 3 x 3 2 right I 1 3 left frac 2 3 x 3 2 right right nbsp B i x x 3 I 1 3 2 3 x 3 2 I 1 3 2 3 x 3 2 displaystyle mathrm Bi x sqrt frac x 3 left I 1 3 left frac 2 3 x 3 2 right I 1 3 left frac 2 3 x 3 2 right right nbsp Eine andere unendliche Integraldarstellung fur A i displaystyle mathrm Ai nbsp lautetA i z 1 2 p exp i z t t 3 3 d t displaystyle mathrm Ai z frac 1 2 pi int limits infty infty exp left mathrm i cdot left zt frac t 3 3 right right mathrm d t nbsp Es gibt die Reihendarstellungen 2 A i z 1 3 2 3 p n 0 G 1 3 n 1 n 3 1 3 z n sin 2 n 1 p 3 displaystyle mathrm Ai z frac 1 3 2 3 pi sum n 0 infty frac Gamma left frac 1 3 n 1 right n left 3 1 3 z right n sin left frac 2 n 1 pi 3 right nbsp B i z 1 3 1 6 p n 0 G 1 3 n 1 n 3 1 3 z n sin 2 n 1 p 3 displaystyle mathrm Bi z frac 1 3 1 6 pi sum n 0 infty frac Gamma left frac 1 3 n 1 right n left 3 1 3 z right n left sin left frac 2 n 1 pi 3 right right nbsp Komplexe Argumente BearbeitenA i x displaystyle mathrm Ai x nbsp und B i x displaystyle mathrm Bi x nbsp sind ganze Funktionen Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen ℜ A i x i y displaystyle Re left mathrm Ai x iy right nbsp ℑ A i x i y displaystyle Im left mathrm Ai x iy right nbsp A i x i y displaystyle mathrm Ai x iy nbsp a r g A i x i y displaystyle mathrm arg left mathrm Ai x iy right nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ℜ B i x i y displaystyle Re left mathrm Bi x iy right nbsp ℑ B i x i y displaystyle Im left mathrm Bi x iy right nbsp B i x i y displaystyle mathrm Bi x iy nbsp a r g B i x i y displaystyle mathrm arg left mathrm Bi x iy right nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenDefiniere T n t a t n 2 F 1 n 2 1 n 2 1 n 4 a t 2 displaystyle T n t alpha t n 2 F 1 left frac n 2 frac 1 n 2 1 n frac 4 alpha t 2 right nbsp wobei 2 F 1 displaystyle 2 F 1 nbsp die hypergeometrische Funktion ist Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy Integrals Ci n a 0 cos T n t a d t displaystyle operatorname Ci n alpha int 0 infty cos T n t alpha mathrm d t nbsp Si n a 0 sin T n t a d t displaystyle operatorname Si n alpha int 0 infty sin T n t alpha mathrm d t nbsp Ei n a 0 exp T n t a d t displaystyle operatorname Ei n alpha int 0 infty exp T n t alpha mathrm d t nbsp Verwandte Funktionen BearbeitenAiry Zeta Funktion Bearbeiten Zu der Airy Funktion lasst sich analog zu den anderen Zeta Funktionen die Airysche Zeta Funktion definieren als 3 Z n r 1 r n displaystyle Z n sum r frac 1 r n nbsp wobei die Summe uber die reellen negativen Nullstellen von A i displaystyle mathrm Ai nbsp geht Scorersche Funktionen Bearbeiten nbsp Funktionsgraphen von G i x displaystyle mathrm Gi x nbsp und H i x displaystyle mathrm Hi x nbsp Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen G i x displaystyle mathrm Gi x nbsp und H i x displaystyle mathrm Hi x nbsp zu den Airy Funktionen dazugerechnet Die Integral Definitionen lauten 4 G i x 1 p 0 sin t 3 3 x t d t displaystyle mathrm Gi x frac 1 pi int limits 0 infty sin left frac t 3 3 xt right mathrm d t nbsp H i x 1 p 0 exp t 3 3 x t d t displaystyle mathrm Hi x frac 1 pi int limits 0 infty exp left frac t 3 3 xt right mathrm d t nbsp Sie lassen sich auch durch die Funktionen A i displaystyle mathrm Ai nbsp und B i displaystyle mathrm Bi nbsp darstellen Literatur BearbeitenMilton Abramowitz Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables siehe 10 4 National Bureau of Standards 1954 George Biddell Airy On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic In Transactions of the Cambridge Philosophical Society Band 6 1838 S 379 402 Frank Olver Asymptotics and Special Functions Chapter 11 Academic Press New York 1974 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Airy Funktion Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Airy Functions In MathWorld englisch Bessel Type Functions Wolfram Funktionenseite Chapter 9 Airy and related functions In Digital Library of Mathematical Functions Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Airy Function Zeros In MathWorld englisch C Banderier P Flajolet G Schaeffer M Soria Planar Maps and Airy Phenomena In Automata Languages and Programming Proceedings of the 27th International Colloquium ICALP 2000 held at the University of Geneva Geneva 9 15 Juli 2000 Ed U Montanari J D P Rolim E Welzl Berlin Springer S 388 402 2000 Eric W Weisstein Airy Zeta Function In MathWorld englisch Milton Abramowitz und Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables 1954 Seite 447 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Airy Funktion amp oldid 231151063
