Die Primzetafunktion ist eine mathematische Funktion die in der analytischen Zahlentheorie einem Teilgebiet der Mathematik eine Rolle spielt Sie ist verwandt mit der Riemannschen Zetafunktion Wie viele andere zahlentheoretische Funktionen erlangt sie ihre Bedeutung uber die Verbindung zu den Primzahlen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Verbindung zur riemannschen Zetafunktion 3 Weitere Darstellungen 4 Eigenschaften 5 Ableitung 6 Stammfunktion 7 Spezielle Werte 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur eine komplexe Zahl s displaystyle s nbsp deren Realteil grosser als 1 ist wird die Primzetafunktion uber eine Dirichletreihe definiert die sich uber alle Primzahlen erstreckt P s p p r i m 1 p s 1 2 s 1 3 s 1 5 s 1 7 s 1 11 s displaystyle P s sum p mathrm prim frac 1 p s frac 1 2 s frac 1 3 s frac 1 5 s frac 1 7 s frac 1 11 s ldots nbsp Obwohl diese Darstellung nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene konvergiert existiert eine Fortsetzung auf die komplette rechte Halbebene H s C R e s gt 0 displaystyle mathbb H s in mathbb C mid mathrm Re s gt 0 nbsp die jedoch nicht in allen Punkten meromorph ist Verbindung zur riemannschen Zetafunktion BearbeitenEs existiert ein Zusammenhang zwischen der Primzetafunktion und der logarithmierten riemannschen Zetafunktion 1 Dieser gilt fur alle R e s gt 0 displaystyle mathrm Re s gt 0 nbsp und druckt sich formelhaft aus uber log z s n 1 P n s n P s P 2 s 2 P 3 s 3 P 4 s 4 displaystyle log zeta s sum n 1 infty frac P ns n P s frac P 2s 2 frac P 3s 3 frac P 4s 4 ldots nbsp Als einfache Beweismoglichkeit dieser Verbindung dient das Euler Produkt der Zetafunktion Mit z s p p r i m 1 1 p s displaystyle zeta s prod p mathrm prim frac 1 1 p s nbsp erhalt man durch beidseitiges Logarithmieren log z s log p p r i m 1 1 p s p p r i m log 1 1 p s n 1 P n s n displaystyle log zeta s log prod p mathrm prim frac 1 1 p s sum p mathrm prim log left 1 frac 1 p s right sum n 1 infty frac P ns n nbsp Im letzten Schritt wurde die Taylorreihe des naturlichen Logarithmus um den Punkt x 1 displaystyle x 1 nbsp angewendet Weitere Darstellungen BearbeitenUber eine Mobius Inversion erhalt man die haufig genutzte Darstellung P s n 1 m n n log z n s log z s 1 2 log z 2 s 1 3 log z 3 s 1 5 log z 5 s 1 6 log z 6 s displaystyle P s sum n 1 infty frac mu n n log zeta ns log zeta s frac 1 2 log zeta 2s frac 1 3 log zeta 3s frac 1 5 log zeta 5s frac 1 6 log zeta 6s ldots nbsp wobei m displaystyle mu nbsp hier die Mobiusfunktion bezeichnet Dies ermoglicht eine analytische Fortsetzung der Primzetafunktion in elementare Bereiche der Halbebene s C Re s gt 1 E s C Re s gt 0 displaystyle s in mathbb C mid operatorname Re s gt 1 subset E subset s in mathbb C mid operatorname Re s gt 0 nbsp in denen alle Funktionen log z s n displaystyle log zeta sn nbsp mit n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 dotsc nbsp holomorph sind Ausserdem kann die Formel fur eine schnelle numerische Berechnung der Primzetafunktion herangezogen werden Zum Beispiel fand Henri Cohen innerhalb weniger Millisekunden 2 p Primzahl 1 p 2 0 452 24742004106549850654336483224793417323134323989 displaystyle sum p text Primzahl frac 1 p 2 0 45224742004106549850654336483224793417323134323989 dots nbsp Ferner folgt aus P s log z s displaystyle P s sim log zeta s to infty nbsp fur s 1 displaystyle s to 1 nbsp dass die Reihe 1 2 1 3 1 5 displaystyle 1 2 1 3 1 5 dotsb nbsp der reziproken Primzahlen divergiert Eigenschaften BearbeitenDie Primzetafunktion ist eine auf ganz s C R e s gt 1 displaystyle s in mathbb C mid mathrm Re s gt 1 nbsp holomorphe Funktion Sie besitzt fur eine quadratfreie positive ganze Zahl K displaystyle K nbsp Singularitaten in Form von Verzweigungspunkten an allen Stellen s 1 K displaystyle s 1 K nbsp allen Stellen s r K displaystyle s rho K nbsp wobei r displaystyle rho nbsp eine beliebige nicht triviale Nullstelle der riemannschen Zetafunktion bezeichnet Dies wird unter Betrachtung der Darstellung P s n 1 m n n log z n s displaystyle P s sum n 1 infty frac mu n n log zeta ns nbsp deutlich da der Logarithmus an allen Stellen z K r K z r 0 displaystyle textstyle zeta K cdot frac rho K zeta rho 0 nbsp bzw z K 1 K z 1 displaystyle textstyle zeta K cdot frac 1 K zeta 1 infty nbsp und m K 0 displaystyle mu K not 0 nbsp bei n K displaystyle n K nbsp in der Summe nicht definiert ist Wenn man annimmt dass die riemannsche Zetafunktion im sog kritischen Streifen S s C 1 gt R e s gt 0 displaystyle S s in mathbb C 1 gt mathrm Re s gt 0 nbsp unendlich viele nicht triviale Nullstellen besitzt kommt es zu einer Verdichtung von Singularitaten auf der Geraden R e s 0 displaystyle mathrm Re s 0 nbsp die als naturliche Grenze des Definitionsbereichs der Primzetafunktion angesehen werden kann Des Weiteren gilt fur alle t displaystyle t nbsp lim s P s i t 0 displaystyle lim sigma to infty P sigma mathrm i t 0 nbsp Ableitung BearbeitenDie Primzetafunktion ist in ganz s C R e s gt 1 displaystyle s in mathbb C mathrm Re s gt 1 nbsp holomorph Ein Ableitungsausdruck ist P s p p r i m log p p s displaystyle P s sum p mathrm prim frac log p p s nbsp Fur die k displaystyle k nbsp te Ableitung gilt P k s 1 k p p r i m log p k p s displaystyle P k s 1 k sum p mathrm prim frac log p k p s nbsp Stammfunktion BearbeitenEine Stammfunktion ist gegeben durch P s d s p p r i m 1 p s log p C displaystyle int P s mathrm d s sum p mathrm prim frac 1 p s log p C nbsp Spezielle Werte BearbeitenWie Euler bereits beweisen konnte ist die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergent Es gilt also P 1 1 2 1 3 1 5 1 7 1 11 displaystyle P 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 ldots infty nbsp Uber sonstige ganzzahlige Werte der Primzetafunktion ist bis heute nichts bekannt Dezimalentwicklungen sind P 2 0 452 24 74200 41065 49850 displaystyle P 2 0 45224 74200 41065 49850 ldots nbsp Folge A085548 in OEIS P 3 0 174 76 26392 99443 53642 displaystyle P 3 0 17476 26392 99443 53642 ldots nbsp Folge A085541 in OEIS P 4 0 076 99 31397 64246 84494 displaystyle P 4 0 07699 31397 64246 84494 ldots nbsp Folge A085964 in OEIS Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Prime zeta function auf MathWorld engl Einzelnachweise Bearbeiten Komaravolu Chandrasekharan Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie Springer Verlag 1965 66 Kapitel XI Seite 2 Henri Cohen Number Theory Volume II Analytic and Modern Tools Springer Verlag S 209 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primzetafunktion amp oldid 235226244
