www.wikidata.de-de.nina.az

Möbius Inversion Die oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es eine zahle

Möbius-Inversion

Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

und ihre summatorische Funktion

Dann gilt für jede natürliche Zahl

wobei die Möbiusfunktion auf mit Werten in bezeichnet.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

und ihre „summatorische“ Funktion

Dann gilt für jede natürliche Zahl

wobei die Möbiusfunktion auf mit Werten in bezeichnet.

Diese Form liefert mit für das Kreisteilungspolynom eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper , also im Quotientenkörper der Polynomalgebra . Dass und sogar , erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.

Literatur Bearbeiten

  • Helmut Hasse: Zahlentheorie, 2. erweiterte Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1963, mit 49 Abbildungen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Helmut Hasse, I. § 2 (Teilbarkeit), Seite 21 unten.
  2. Helmut Hasse, III. § 27 (Einheitswurzelkörper), Seite 501.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Mobius Inversion oder auch Mobiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Mobius zuruck und erlaubt es eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion f N C displaystyle f colon mathbb N to mathbb C und ihre summatorische Funktion F N C F n d n f d displaystyle F colon mathbb N to mathbb C quad F n sum d mid n f d Dann gilt fur jede naturliche Zahl n displaystyle n f n d n m d F n d d n m n d F d displaystyle f n sum d mid n mu d F left frac n d right sum d mid n mu left frac n d right F d wobei m displaystyle mu die Mobiusfunktion auf N displaystyle mathbb N mit Werten in 1 0 1 displaystyle 1 0 1 bezeichnet Verallgemeinerung BearbeitenBeim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich C displaystyle mathbb C nbsp der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt dass C 0 displaystyle mathbb C 0 nbsp eine abelsche Gruppe ist Fur multiplikativ notierte abelsche Gruppen G 1 displaystyle G cdot 1 nbsp erhalt die Mobiussche Umkehrformel also die folgende Form 1 Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion f N G displaystyle f colon mathbb N to G nbsp und ihre summatorische Funktion F N G F n d n f d displaystyle F colon mathbb N to G quad F n prod d mid n f d nbsp Dann gilt fur jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp f n d n F n d m d d n F d m n d d e n F d m e displaystyle f n prod d mid n F left frac n d right mu d prod d mid n F d mu left frac n d right prod de n F d mu e nbsp wobei m displaystyle mu nbsp die Mobiusfunktion auf N displaystyle mathbb N nbsp mit Werten in 1 0 1 displaystyle 1 0 1 nbsp bezeichnet Diese Form liefert mit G 1 Q X 1 displaystyle G cdot 1 mathbb Q X times cdot 1 nbsp fur das Kreisteilungspolynom F n X Z X displaystyle Phi n X in mathbb Z X nbsp eine explizite Definition allerdings im gebrochen rationalen Funktionenkorper Q X displaystyle mathbb Q X nbsp also im Quotientenkorper der Polynomalgebra Q X displaystyle mathbb Q X nbsp Dass F n X Q X displaystyle Phi n X in mathbb Q X nbsp und sogar F n X Z X displaystyle Phi n X in mathbb Z X nbsp erfordert weitere gleichwohl einfache Argumente 2 Literatur BearbeitenHelmut Hasse Zahlentheorie 2 erweiterte Auflage Akademie Verlag Berlin 1963 mit 49 Abbildungen Einzelnachweise Bearbeiten Helmut Hasse I 2 Teilbarkeit Seite 21 unten Helmut Hasse III 27 Einheitswurzelkorper Seite 501 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mobius Inversion amp oldid 236929040