In der algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring welches eine zahlentheoretische Aussage uber die Korpererweiterung zweier Zahlkorper macht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften und Anwendung 3 Beispiel 4 Diskriminante eines Zahlkorpers 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei B displaystyle B nbsp ein Ring A B displaystyle A subseteq B nbsp ein Unterring derart dass B displaystyle B nbsp ein freier A displaystyle A nbsp Modul vom Rang n n N displaystyle n n in mathbb N nbsp ist Fur x 1 x 2 x n B n displaystyle x 1 x 2 dots x n in B n nbsp heisst D x 1 x 2 x n det T r B A x i x j i j A displaystyle D x 1 x 2 dots x n det left mathrm Tr B A x i cdot x j i j right in A nbsp die Diskriminante von x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n nbsp Wenn x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n nbsp eine A displaystyle A nbsp Basis von B displaystyle B nbsp darstellt so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in A displaystyle A nbsp eindeutig bestimmt insbesondere ist also das von D x 1 x 2 x n displaystyle D x 1 x 2 dots x n nbsp in A displaystyle A nbsp erzeugte Hauptideal unabhangig von der Basiswahl Dieses Hauptideal wird mit D B A displaystyle mathfrak D B A nbsp bezeichnet und heisst Diskriminante von B displaystyle B nbsp uber A displaystyle A nbsp Eigenschaften und Anwendung BearbeitenSei L K displaystyle L K nbsp eine separable Korpererweiterung vom Grad n n N displaystyle n n in mathbb N nbsp und s 1 s 2 s n displaystyle sigma 1 sigma 2 dots sigma n nbsp die n displaystyle n nbsp verschiedenen K displaystyle K nbsp Algebrenmonomorphismen von L displaystyle L nbsp in den algebraischen Abschluss von K displaystyle K nbsp Dann gilt fur eine K displaystyle K nbsp Basis x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n nbsp von L displaystyle L nbsp 1 D x 1 x 2 x n det s i x j i j 2 0 displaystyle D x 1 x 2 dots x n det left sigma i x j i j right 2 neq 0 nbsp Seien K L displaystyle K subseteq L nbsp zwei Zahlkorper mit den zugehorigen Ganzheitsringen A B displaystyle A subseteq B nbsp Dann gilt fur ein Primideal p A displaystyle mathfrak p subseteq A nbsp das folgende p B displaystyle mathfrak p subseteq B nbsp ist genau dann verzweigt wenn p D B A displaystyle mathfrak p supseteq mathfrak D B A nbsp gilt 2 Insbesondere folgt daraus dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt eindeutige Primzerlegung von D B A displaystyle mathfrak D B A nbsp vgl Dedekindring Beispiel BearbeitenSeien A Q B Q X X 2 b X c b c Q displaystyle A mathbb Q B mathbb Q X X 2 bX c quad b c in mathbb Q nbsp x displaystyle x nbsp bezeichne die Aquivalenzklasse von X displaystyle X nbsp in B displaystyle B nbsp Somit D B A 1 x det T r B A 1 T r B A x T r B A x T r B A x 2 det 2 b b b 2 2 c b 2 4 c displaystyle D B A 1 x det begin pmatrix mathrm Tr B A 1 amp mathrm Tr B A x mathrm Tr B A x amp mathrm Tr B A x 2 end pmatrix det begin pmatrix 2 amp b b amp b 2 2c end pmatrix b 2 4c nbsp was der Diskriminante des Polynoms X 2 b X c displaystyle X 2 bX c nbsp entspricht Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren T r B A 1 T r B A 1 0 0 1 2 displaystyle mathrm Tr B A 1 mathrm Tr B A begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix 2 nbsp T r B A x T r B A 0 c 1 b b displaystyle mathrm Tr B A x mathrm Tr B A begin pmatrix 0 amp c 1 amp b end pmatrix b nbsp T r B A x 2 T r B A b x c b T r B A x c T r B A 1 b 2 2 c displaystyle mathrm Tr B A x 2 mathrm Tr B A b cdot x c b cdot mathrm Tr B A x c cdot mathrm Tr B A 1 b 2 2c nbsp Diskriminante eines Zahlkorpers BearbeitenSei K ein Zahlkorper und OK sein Ganzheitsring Sei b1 bn eine Basis von OK als Z Modul und seien s1 sn die Einbettungen von K in die komplexen Zahlen Die Diskriminante von K ist das Quadrat der Determinante der n mal n Matrix B deren i j Eintrag si bj ist 3 D K det s 1 b 1 s 1 b 2 s 1 b n s 2 b 1 s n b 1 s n b n 2 displaystyle Delta K left operatorname det left begin array cccc sigma 1 b 1 amp sigma 1 b 2 amp cdots amp sigma 1 b n sigma 2 b 1 amp ddots amp amp vdots vdots amp amp ddots amp vdots sigma n b 1 amp cdots amp cdots amp sigma n b n end array right right 2 nbsp Siehe auch BearbeitenDiskriminanteLiteratur BearbeitenFalko Lorenz Algebraische Zahlentheorie BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1993 ISBN 3 411 16701 7 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 2006 ISBN 3 540 37547 3 Einzelnachweise Bearbeiten Neukirch Satz I 2 8 Neukirch Thm III 2 6 Neukirch I 2 nach Kor I 2 7 und Bem nach Satz I 2 11 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diskriminante algebraische Zahlentheorie amp oldid 207024418
