Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhangiges Erzeugendensystem definiert im Gegensatz zu Vektorraumen besitzt allerdings nicht jedes Modul eine Basis Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Induktive Berechnung einer Basis 3 1 Beispiel 4 Beispiele 4 1 ℤ als ℤ Modul 4 2 Gitter in ℝn als ℤ ModulDefinition BearbeitenEin System von Elementen x i i I displaystyle x i mid i in I nbsp eines Moduls M displaystyle M nbsp uber einem Ring R displaystyle R nbsp mit Einselement definiert eine Abbildung 3 R I M displaystyle xi colon R I longrightarrow M nbsp von der direkten Summe von Kopien von R displaystyle R nbsp nach M displaystyle M nbsp die von den Abbildungen R M 1 x i displaystyle R to M quad 1 mapsto x i nbsp induziert wird Ist 3 displaystyle xi nbsp injektiv so heisst x i i I displaystyle x i mid i in I nbsp linear unabhangig Ist 3 displaystyle xi nbsp surjektiv so heisst x i i I displaystyle x i mid i in I nbsp ein Erzeugendensystem Ist 3 displaystyle xi nbsp bijektiv so heisst x i i I displaystyle x i mid i in I nbsp eine Basis von M displaystyle M nbsp Eine Basis ist also ein linear unabhangiges Erzeugendensystem Eigenschaften BearbeitenDie lineare Unabhangigkeit von x i i I displaystyle x i mid i in I nbsp ist aquivalent dazu dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lasst a i x i 0 a i 0 f u r a l l e i I displaystyle sum a i x i 0 quad Longrightarrow quad a i 0 mathrm f ddot u r alle i in I nbsp Ist eine Menge linear abhangig so folgt daraus im Gegensatz zum Fall von Vektorraumen im Allgemeinen nicht dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lasst Das hat die folgenden Konsequenzen Eine linear unabhangige Teilmenge lasst sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis erganzen Eine maximal linear unabhangige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis Als Beispiele betrachte man den Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Z displaystyle mathbb Z nbsp Das System 2 ist maximal linear unabhangig das System 2 3 ist ein minimales Erzeugendensystem keines der beiden ist eine Basis Ein Modul uber einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis wenn er frei ist Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat Uber Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei Induktive Berechnung einer Basis BearbeitenIst M displaystyle M nbsp ein freier Modul uber einem Hauptidealring R displaystyle R nbsp und N displaystyle N nbsp ein Untermodul von M displaystyle M nbsp dann kann eine Basis von N displaystyle N nbsp induktiv berechnet werden Sei m 1 m n displaystyle m 1 dotsc m n nbsp eine Basis von M displaystyle M nbsp betrachte N i N m 1 m i displaystyle N i N cap langle m 1 dotsc m i rangle nbsp Das Ideal r R m N i 1 mit m m r m i 1 und m m 1 m i displaystyle r in R exists m in N i 1 text mit m m r cdot m i 1 text und m in langle m 1 dotsc m i rangle nbsp werde von dem Ringelement a i 1 displaystyle a i 1 nbsp erzeugt und es sein i 1 m a i 1 m i 1 N i 1 mit m m 1 m i displaystyle n i 1 m a i 1 cdot m i 1 in N i 1 text mit m in langle m 1 dotsc m i rangle nbsp dann gilt N i 1 N i R n i 1 displaystyle N i 1 N i oplus R cdot n i 1 nbsp Beispiel Bearbeiten Sei M Z 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle M mathbb Z 3 langle 1 0 0 0 1 0 0 0 1 rangle nbsp ein Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul und der Untermodul definiert durch N z Z 3 2 z 1 3 z 2 4 z 3 0 5 teilt z 2 displaystyle N z in mathbb Z 3 2z 1 3z 2 4z 3 0 land 5 text teilt z 2 nbsp Eine Basis von N displaystyle N nbsp kann nun wie folgt berechnet werden N 1 N 1 0 0 z Z 3 2 z 1 0 0 0 0 displaystyle N 1 N cap langle 1 0 0 rangle z in mathbb Z 3 2z 1 0 0 0 0 nbsp N 2 N 1 0 0 0 1 0 z Z 3 2 z 1 3 z 2 0 5 z 2 displaystyle N 2 N cap langle 1 0 0 0 1 0 rangle z in mathbb Z 3 2z 1 3z 2 0 land 5 vert z 2 nbsp Wir suchen nun das kleinste positive z 2 displaystyle z 2 nbsp welches obige Gleichung erfullt N 2 15 10 0 displaystyle Rightarrow N 2 langle 15 10 0 rangle nbsp N 3 N 1 0 0 0 1 0 0 0 1 N displaystyle N 3 N cap langle 1 0 0 0 1 0 0 0 1 rangle N nbsp Wir suchen das kleinste positive z 3 displaystyle z 3 nbsp welches die Gleichung erfullt N 3 N 2 2 0 1 displaystyle Rightarrow N 3 N 2 oplus langle 2 0 1 rangle nbsp Wir haben eine Basis N 15 10 0 2 0 1 displaystyle N langle 15 10 0 2 0 1 rangle nbsp gefunden Beispiele Bearbeitenℤ als ℤ Modul Bearbeiten Es sei M Z displaystyle M mathbb Z nbsp die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul uber dem Ring der ganzen Zahlen Dann ist 2 displaystyle 2 nbsp eine maximale linear unabhangige Teilmenge aber kein Erzeugendensystem 2 3 displaystyle 2 3 nbsp ein minimales Erzeugendensystem aber nicht linear unabhangig Die einzigen Basen von M displaystyle M nbsp sind 1 displaystyle 1 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp Gitter in ℝn als ℤ Modul Bearbeiten nbsp Gitter mit Basisvektoren b 1 2 3 1 3 displaystyle b 1 tfrac 2 3 tfrac 1 3 nbsp und b 2 1 3 1 3 displaystyle b 2 tfrac 1 3 tfrac 1 3 nbsp Es seien b 1 b 2 b m displaystyle b 1 b 2 ldots b m nbsp linear unabhangige Vektoren des euklidischen Vektorraums R n displaystyle mathbb R n nbsp Dann nennt man den Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul G b 1 b m Z i 1 m g i b i g i Z displaystyle Gamma langle b 1 dots b m rangle mathbb Z left left textstyle sum limits i 1 m g i b i right g i in mathbb Z right nbsp ein Gitter mit Basis b 1 b 2 b m displaystyle b 1 b 2 ldots b m nbsp vom Rang m displaystyle m nbsp Gitter in C R 2 displaystyle mathbb C mathbb R 2 nbsp spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven Gitter in C g R 2 g displaystyle mathbb C g mathbb R 2g nbsp stehen in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietaten Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Basis Modul amp oldid 234808649
