Eine arithmetische Folge auch arithmetische Progression ist eine regelmassige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden naturlichen Zahlen dar 1 3 5 7 9 11 displaystyle 1 3 5 7 9 11 ldots Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Beispiel 3 Namensherkunft 4 Differenzenfolge 4 1 Ungerade Zahlen 4 2 Primzahlfolge 5 Arithmetische Folgen hoherer Ordnung 5 1 Berechnung 5 2 Tetraederzahlen 5 3 Quadratzahlen 6 Mehrdimensionale arithmetische Folgen 7 Siehe auch 8 EinzelnachweiseBerechnung BearbeitenEs gilt a i 1 a i d displaystyle a i 1 a i d quad nbsp rekursive Formel Das i displaystyle i nbsp te Glied a i displaystyle a i nbsp einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a 1 displaystyle a 1 nbsp und der Differenz d displaystyle d nbsp berechnet sich aus a i a 1 i 1 d displaystyle a i a 1 i 1 cdot d quad nbsp explizite Formel oder in ausgeschriebener Form a 1 a 1 a 2 a 1 d a 3 a 1 2 d a 4 a 1 3 d displaystyle a 1 a 1 a 2 a 1 d a 3 a 1 2d a 4 a 1 3d dots nbsp Beispiel BearbeitenDie arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a 1 25 displaystyle a 1 25 nbsp und der Differenz d 3 displaystyle d 3 nbsp lautet a 1 25 0 3 25 a 2 25 1 3 22 a 3 25 2 3 19 a 4 25 3 3 16 displaystyle begin aligned a 1 amp 25 0 cdot 3 25 a 2 amp 25 1 cdot 3 22 a 3 amp 25 2 cdot 3 19 a 4 amp 25 3 cdot 3 16 vdots end aligned nbsp Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich 25 22 19 16 13 10 7 4 1 2 displaystyle 25 22 19 16 13 10 7 4 1 2 dots nbsp Zum Beispiel das 6 Glied a 6 displaystyle a 6 nbsp lasst sich explizit berechnen als a 6 a 1 6 1 d 25 5 3 10 displaystyle a 6 a 1 6 1 cdot d 25 5 cdot 3 10 nbsp Namensherkunft BearbeitenDie Bezeichnung arithmetische Folge leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab Jedes Glied einer arithmetischen Folge a i displaystyle a i nbsp mit i gt 0 displaystyle i gt 0 nbsp ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder 1 2 Unter Zuhilfenahme von a i a i 1 d a i 1 a i d displaystyle a i a i 1 d Leftrightarrow a i 1 a i d nbsp folgert man schnell dass a i 1 a i 1 2 a i d a i 1 a i d a i 1 2 2 a i 2 a i displaystyle frac a i 1 a i 1 2 frac overbrace a i d a i 1 overbrace a i d a i 1 2 frac 2a i 2 a i nbsp erfullt ist Die Summierung der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe Differenzenfolge BearbeitenDie Folge der Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenzenfolge konstant fur jedes i gt 0 displaystyle i gt 0 nbsp gilt a i 1 a i d displaystyle a i 1 a i d nbsp Ungerade Zahlen Bearbeiten Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader naturlicher Zahlen ist immer 2 Also ergibt sich als Differenzenfolge die Folge die nur aus Zweien besteht 1 displaystyle 1 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 11 displaystyle 11 nbsp 13 displaystyle 13 nbsp displaystyle nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp displaystyle nbsp Primzahlfolge Bearbeiten Beispiel einer arithmetischen Progression von Primzahlen mit dem konstanten Abstand 210 3 199 displaystyle 199 nbsp 409 displaystyle 409 nbsp 619 displaystyle 619 nbsp 829 displaystyle 829 nbsp 1039 displaystyle 1039 nbsp 1249 displaystyle 1249 nbsp 1459 displaystyle 1459 nbsp 1669 displaystyle 1669 nbsp 1879 displaystyle 1879 nbsp 2089 displaystyle 2089 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp 210 displaystyle 210 nbsp Die Folge endet nach 10 Gliedern AP 10 Die Differenz selbst ist ein Primorial 210 2 3 5 7 Terence Tao und Ben Green bewiesen dass es beliebig lange derartige arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss Satz von Green Tao 4 Die langste bisher bekannte Folge wurde 2019 gefunden und besteht aus 27 Elementen AP 27 5 Arithmetische Folgen hoherer Ordnung BearbeitenFolgen die sich auf eine arithmetische Folge zuruckfuhren lassen nennt man arithmetische Folgen hoherer Ordnung Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms Berechnung Bearbeiten Formeln zur Berechnung von Partialsummen arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung i 1 n i n n 1 2 displaystyle sum i 1 n i frac n n 1 2 nbsp i 1 n i 2 n n 1 2 n 1 6 displaystyle sum i 1 n i 2 frac n n 1 2n 1 6 nbsp i 1 n i 3 n n 1 2 2 displaystyle sum i 1 n i 3 left frac n n 1 2 right 2 nbsp Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel i 1 n i p n 1 p 1 p 1 k 1 p B k p k 1 p k n 1 p k 1 displaystyle sum i 1 n i p frac n 1 p 1 p 1 sum k 1 p frac B k p k 1 p choose k n 1 p k 1 nbsp Dabei bezeichnet B k displaystyle B k nbsp die k displaystyle k nbsp te Bernoulli Zahl Tetraederzahlen Bearbeiten Folge 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 20 displaystyle 20 nbsp 35 displaystyle 35 nbsp 56 displaystyle 56 nbsp 84 displaystyle 84 nbsp displaystyle nbsp 1 Differenzenfolge 1 displaystyle 1 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 15 displaystyle 15 nbsp 21 displaystyle 21 nbsp 28 displaystyle 28 nbsp displaystyle nbsp 2 Differenzenfolge 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp displaystyle nbsp 3 Differenzenfolge 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle nbsp Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3 Ordnung Die Polynomfunktion welche die Folge beschreibt lautet a n n n 1 n 2 6 1 6 n 3 3 n 2 2 n displaystyle a n frac n n 1 n 2 6 frac 1 6 cdot n 3 3n 2 2n nbsp Der grosste Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion und das ist in diesem Fall die drei Wie man der Tabelle entnehmen kann ist die Folge der Dreieckszahlen 1 Differenzenfolge eine arithmetische Folge 2 Ordnung Quadratzahlen Bearbeiten Folge 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 16 displaystyle 16 nbsp 25 displaystyle 25 nbsp 36 displaystyle 36 nbsp 49 displaystyle 49 nbsp displaystyle nbsp 1 Differenzenfolge 1 displaystyle 1 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 11 displaystyle 11 nbsp 13 displaystyle 13 nbsp displaystyle nbsp 2 Differenzenfolge 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp displaystyle nbsp Auch bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich also um eine arithmetische Folge 2 Ordnung Mehrdimensionale arithmetische Folgen BearbeitenDie mehrdimensionale Verallgemeinerung besteht in Folgen der Form a m b n c displaystyle a mb nc nbsp mit m 1 2 k displaystyle m 1 2 cdots k nbsp n 1 2 l displaystyle n 1 2 cdots l nbsp und Konstanten a b c N displaystyle a b c in mathbb N nbsp und entsprechend in mehr als zwei Dimensionen Siehe auch BearbeitenGeometrische FolgeEinzelnachweise Bearbeiten Reinhold Pfeiffer Grundlagen der Finanzmathematik mit Potenzen Wurzeln Logarithmen arithmetischen und geometrischen Folgen Springer Verlag 2013 ISBN 978 3 322 87946 2 S 77 Stasys Jukna Crashkurs Mathematik fur Informatiker Springer Verlag 2008 ISBN 978 3 8351 0216 3 S 197 Eric W Weisstein Prime Arithmetic Progressionl In MathWorld englisch Ben Green Terence Tao The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions In Annals of Mathematics 167 2008 Nr 2 S 481 547 Vgl David Conlon Jacob Fox Yufei Zhao The Green Tao theorem An exposition In EMS Surveys in Mathematical Sciences 1 2014 Nr 2 S 249 282 Primes in Arithmetic Progression Records Jens Kruse Andersen abgerufen am 5 Januar 2021 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Arithmetische Folge amp oldid 233155965
