Dreieckszahl Eine ist eine Zahl die der Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze n displaystyle n en
Dreieckszahl
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die der Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze entspricht. Beispielsweise ist die 10 eine Dreieckszahl, da ist. Die ersten Dreieckszahlen sind:
Ein Dreieck aus zehn Steinen
Bei einigen Autoren ist die Null keine Dreieckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.
Die Bezeichnung Dreieckszahl leitet sich von der geometrischen Figur des Dreiecks her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines gleichseitigen Dreiecks benötigt, entspricht immer einer Dreieckszahl. Aus zehn Steinen lässt sich beispielsweise ein Dreieck legen, bei dem jede Seite von vier Steinen gebildet wird.
Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Dreieckszahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Kubikzahlen gehören. Schon Pythagoras hat sich mit Dreieckszahlen beschäftigt.
BerechnungBearbeiten
Eine Möglichkeit, die (rot geschriebenen) Dreieckszahlen zu bestimmen
Die -te Dreieckszahl ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis .
Anstatt die einzelnen Zahlen zu addieren, können Dreieckszahlen auch durch die gaußsche Summenformel berechnet werden:
Diese Formel lässt sich durch Auslegen der Dreieckszahl veranschaulichen. Die Dreieckszahl lässt sich als Dreieck oder Treppe auslegen. Das Doppelte einer Dreieckszahl entspricht zwei gleichen Treppen, die sich zu einem Rechteck zusammenfügen lassen.
Dieses Rechteck ist Kugeln hoch und Kugeln breit und enthält somit Kugeln. Eine Dreieckszahl entspricht der Hälfte der Kugeln, woraus sich die oben genannte Formel für Dreieckszahlen ergibt.
Die Summe der ersten nKubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl [Bsp.: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102]
Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Kubikzahl. Dies lässt sich aus der darüber stehenden Eigenschaft ableiten. Da das Quadrat der n-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird und das Quadrat der (n+1)-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muss als Differenz die (n+1)-te Kubikzahl herauskommen.
Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl: Nach Leonhard Euler lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel darstellen, wobei eine Primzahl (Mersenne-Primzahl) sein muss. Wenn man die Formel mit 2 erweitert und durch substituiert, kommt man auf die Formel, die eine Dreieckszahl darstellt:
Die Summe zweier Dreieckszahlen ist nicht kongruent 5 (mod 9).
, wenn .
Es gilt:
Das Achtfache einer Dreieckszahl plus 1 ergibt eine ungerade Quadratzahl:
n=3 (7 Reihen)
n=4 (9 Reihen)
Auch die nachfolgenden Beziehungen zwischen Dreieckszahlen lassen sich für n = 5 grafisch veranschaulichen.
Die n-te Dreieckszahl ist gleich der Differenz der n-ten zentrierten Neuneckszahl und der n-ten zentrierten Achteckszahl:
Diese Identität (mit der jeweils n-ten) ist die Minimallösung von jeweils abzählbar unendlich vielen Lösungen (siehe hier).
Addiert man zu den Dreieckszahlen jeweils Eins, so erhält man die Folge der zentralpolygonalen Zahlen (auch Zahlenfolge des faulen Kellners) genannt:
Summe dreier DreieckszahlenBearbeiten
Pierre de Fermat stellte die Vermutung auf, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellen lässt. Diese Vermutung wurde von Carl Friedrich Gauß bewiesen, der am 10. Juli 1796 in sein Tagebuch schrieb:
Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Dreieckszahlen und zur Quadratzahl 25 addieren.
Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.
Für eine andere Erklärung dieses Phänomens zerlegt man die Dreieckszahl in die Summe von und der vorhergehenden Dreieckszahl : . Dementsprechend gilt
Dass sich zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu einer Quadratzahl addieren, wurde schon im 2. Jahrhundert vom griechischen Mathematiker Theon von Smyrna in seinem Werk „Das an mathematischem Wissen für die Lektüre Platons Nützliche“ niedergeschrieben.
Alternierende Summe von QuadratzahlenBearbeiten
Nimmt man die Quadratzahl und subtrahiert und addiert abwechselnd die kleineren Quadratzahlen, dann erhält man als Ergebnis die -te Dreieckszahl. Beispielsweise berechnen sich die vierte und fünfte Dreieckszahl wie folgt:
Indem man sich zunutze macht, dass jede Quadratzahl die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist, kann man diesen Zusammenhang anhand seiner geometrischen Veranschaulichung erklären.
Man sieht, dass (mit Ausnahme des größten) jedes Dreieck in der Summe genau zweimal vorkommt: je einmal mit Plus und mit Minus. Dadurch heben sich die kleinen Dreiecke in der Summe gegenseitig auf, und übrig bleibt allein das große Dreieck.
Mit Hilfe des mathematischen Wortschatzes lässt sich obiger Sachverhalt sehr kurz wiedergeben: Die -te Dreieckszahl ist die alternierende Summe der Quadratzahlen von bis 1. Die entsprechende mathematische Formel ist
Quadrat-DreieckszahlenBearbeiten
Quadrat-Dreieckszahlen sind Dreieckszahlen, die gleichzeitig Quadratzahlen sind. Die ersten Quadrat-Dreieckszahlen sind
Dies sind die Dreieckszahlen mit den Indizes
Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muss für diese Zahl
Folgendes gelten: Von den beiden Zahlen und muss eine der beiden eine ungerade Quadratzahl sein, während die andere das Doppelte einer Quadratzahl sein muss. Denn die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind immer teilerfremd; insbesondere ist immer eine der beiden ungerade, und die andere ist gerade. Die gerade Zahl ist deshalb das Doppelte einer Quadratzahl, und die ungerade Zahl ist selbst eine (ungerade) Quadratzahl.
Die Quadrat-Dreieckszahlen lassen sich wie folgt errechnen:
Hierbei ist die erste Basis jeder Zeile die Summe der beiden Basen der vorausgehenden Zeile, und die zweite Zahl ist um die erste Zahl der Vorzeile höher:
Da sich der Quotient asymptotisch der nähert, nähert sich asymptotisch dem Wert . Daraus folgt, dass der Faktor, um von einer Quadrat-Dreieckszahl zur nächsten zu gelangen, asymptotisch den Wert anstrebt.
Die Quadrat-Dreieckszahlen sind immer abwechselnd gerade und ungerade, mit 36er-Rest im Wechsel 0 und 1. Die geraden lassen sich aus einer kleineren Quadrat-Dreieckszahl nach der Formel berechnen.
Dreieckszahlen und zentrierte PolygonalzahlenBearbeiten
Zentrierte Polygonalzahlen stehen im Zusammenhang mit regelmäßigen Polygonen, die nach folgendem Muster gelegt werden: Ein einzelner Stein liegt im Mittelpunkt des Polygons. Um diesen Stein werden weitere Polygone gelegt, wobei sich deren Seitenlängen von innen nach außen jeweils um eins erhöhen.
Diese Muster können auch nach einer anderen Regel gelegt werden. Wieder wird mit dem einzelnen Stein in der Mitte begonnen. Doch im zweiten Schritt werden für die -te zentrierte -Eckszahl Dreiecke nach dem Muster der -ten Dreieckszahl um das Zentrum herumgelegt. Das folgende Bild zeigt dies für die erste bis vierte zentrierte Quadratzahl.
Daraus folgt für die -te zentrierte -Eckszahl folgende Formel:
Die Summe dreier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine zentrierte Dreieckszahl. Da bei Dreieckszahlen der Modul 3 den Zyklus (1,0,0) aufweist, ist jede zentrierte Dreieckszahl äquivalent 1 (mod 3).
Zahlenpalindrome unter den DreieckszahlenBearbeiten
Unter den Dreieckszahlen gibt es mehrere Zahlenpalindrome. Beispiele sind
Unter diesen sind die 11te, die 1.111te, die 111.111te und die 11.111.111te Dreieckszahl. Für die 1.111te und die 111.111te Dreieckszahl hat dies Charles Trigg herausgefunden.
Irene Schramm-Biermann. Serie Sichtbare Mathematik. Visualisierung von Dreieckszahlen und deren Berechnung mit Hilfe der Gaußschen Summenformel
Die zehnte, hundertste, tausendste, zehntausendste usw. Dreieckszahl ist 55, 5.050, 500.500, 50.005.000 usw. (OEIS, A037156).
Die Dreiecksfolgen zerfallen in zwei Teilfolgen. Die Glieder der Folge 3, 10, 21, 36, 55, 78, … (OEIS, A014105) lassen sich über die Formel bilden (siehe auch Sophie-Germain-Primzahl). Für die andere Hälfte, die Sechseckszahlen 1, 6, 15, 28, 45, 66, … (OEIS, A000384), gilt die Bildungsregel .
Der puerto-ricanische Mathematiker Pedro Antonio Pizá fand 1950 die Beziehung
Die Anzahl der Diagonalen im konvexen-Eck beträgt .
Die Folge der zentralpolygonalen Zahlen (auch als Zahlenfolge des faulen Kellners bezeichnet) erhält man, indem man zu den Dreieckszahlen jeweils die Zahl 1 addiert.
Für die Abrundungsfunktion gilt: .
Der Modulrest ist alternierend in n: wenn n {ungerade,gerade} ist und r ungerade, aber wenn r gerade ist.
Visualisierung für Tripel(2,2,3)Für alle , aber nur für bestimmte Tripel mit gilt (OEIS, A012132); für stumpfwinkelige Dreiecke (a,b,c) gilt: ; für spitzwinkelige Dreiecke (a+1,b+1,c+1) gilt: . Dies gilt auch mit reellen Strecken, , bspw. ganzzahlig: (-1, -1, -1), (-2, -1, 1), (-1, 1, 1), (2, 2, 3), da diese Strecken die Elemente eines Hilbert-Raums sind.
Es gibt im Wesentlichen zwei Verallgemeinerungen der Dreieckszahlen. Bleibt man in der Ebene, dann kann man das Konstruktionsprinzip der Dreieckszahlen auf Polygone mit mehr Ecken anwenden. Dadurch entstehen die Polygonalzahlen, zu denen beispielsweise die Quadratzahlen und die Fünfeckszahlen zählen.
Die zweite Verallgemeinerung besteht darin, die Ebene zu verlassen und zu höheren Dimensionen überzugehen. Im Dreidimensionalen betrachtet man dann einen Tetraeder, das ist eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten. Im Vierdimensionalen gelangt man zum Pentatop, dessen Seiten Tetraeder sind. Dies lässt sich beliebig fortsetzen. Die zugehörigen figurierten Zahlen heißen Tetraederzahlen, Pentatopzahlen und im allgemeinen Fall reguläre figurierte Zahlen. Im Eindimensionalen sind noch die natürlichen Zahlen zu erwähnen.
Für Dreieckszahlen gilt die Bildungsvorschrift genau einer von drei disjunkten Zahlenklassen (Folge A111774 in OEIS)
Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 1.
Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag BerlinHeidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 116
Hubert Mania: Gauß. Eine Biographie. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2008, ISBN 978-3-498-04506-7, S. 108.
Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 2
Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag BerlinHeidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 191
Pedro Antonio Pizá: Sums of Powers of triangular numbers. In: Scripta Mathematica 16 (1950), S. 127.
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl die der Summe aller naturlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze n displaystyle n entspricht Beispielsweise ist die 10 eine Dreieckszahl da 1 2 3 4 10 displaystyle 1 2 3 4 10 ist Die ersten Dreieckszahlen sind Ein Dreieck aus zehn Steinen 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 Folge A000217 in OEIS Bei einigen Autoren ist die Null keine Dreieckszahl sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt Die Bezeichnung Dreieckszahl leitet sich von der geometrischen Figur des Dreiecks her Die Anzahl der Steine die man zum Legen eines gleichseitigen Dreiecks benotigt entspricht immer einer Dreieckszahl Aus zehn Steinen lasst sich beispielsweise ein Dreieck legen bei dem jede Seite von vier Steinen gebildet wird Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zahlen die Dreieckszahlen zu den figurierten Zahlen zu denen auch die Quadratzahlen und Kubikzahlen gehoren Schon Pythagoras hat sich mit Dreieckszahlen beschaftigt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Eigenschaften 3 Summe dreier Dreieckszahlen 4 Beziehungen zu Quadratzahlen 4 1 Nachfolger der Summe zweier vierfacher Dreieckszahlen 4 2 Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen 4 3 Alternierende Summe von Quadratzahlen 4 4 Quadrat Dreieckszahlen 5 Dreieckszahlen und zentrierte Polygonalzahlen 6 Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen 7 Reihe der Kehrwerte 8 Dreieckswurzel 9 Diverses 10 Verallgemeinerungen 11 Siehe auch 12 Literatur 13 Weblinks 14 EinzelnachweiseBerechnung Bearbeiten nbsp Eine Moglichkeit die rot geschriebenen Dreieckszahlen zu bestimmenDie n displaystyle n nbsp te Dreieckszahl ist die Summe der naturlichen Zahlen von 1 bis n displaystyle n nbsp D 1 1 1 D 2 1 2 3 D 3 1 2 3 6 D 4 1 2 3 4 10 displaystyle begin aligned Delta 1 amp 1 amp amp 1 Delta 2 amp 1 2 amp amp 3 Delta 3 amp 1 2 3 amp amp 6 Delta 4 amp 1 2 3 4 amp amp 10 amp qquad vdots amp end aligned nbsp Anstatt die einzelnen Zahlen zu addieren konnen Dreieckszahlen auch durch die gausssche Summenformel berechnet werden D n n n 1 2 displaystyle Delta n frac n cdot n 1 2 nbsp Die rechte Seite ist identisch mit dem Binomialkoeffizienten n 1 displaystyle n 1 nbsp uber 2 D n n 1 2 displaystyle Delta n n 1 choose 2 nbsp Diese Formel lasst sich durch Auslegen der Dreieckszahl veranschaulichen Die Dreieckszahl lasst sich als Dreieck oder Treppe auslegen Das Doppelte einer Dreieckszahl entspricht zwei gleichen Treppen die sich zu einem Rechteck zusammenfugen lassen nbsp Dieses Rechteck ist n displaystyle n nbsp Kugeln hoch und n 1 displaystyle n 1 nbsp Kugeln breit und enthalt somit n n 1 displaystyle n cdot n 1 nbsp Kugeln Eine Dreieckszahl entspricht der Halfte der Kugeln woraus sich die oben genannte Formel fur Dreieckszahlen ergibt Eigenschaften BearbeitenBei allen Dreieckszahlen gt 3 handelt es sich um zusammengesetzte Zahlen Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n ten Dreieckszahl Bsp 1 8 27 64 100 102 Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Kubikzahl Dies lasst sich aus der daruber stehenden Eigenschaft ableiten Da das Quadrat der n ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird und das Quadrat der n 1 ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n 1 Kubikzahlen gebildet wird muss als Differenz die n 1 te Kubikzahl herauskommen Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl Nach Leonhard Euler lasst sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel 2 n 1 2 n 1 displaystyle 2 n 1 cdot 2 n 1 nbsp darstellen wobei 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp eine Primzahl Mersenne Primzahl sein muss Wenn man die Formel 2 n 1 2 n 1 displaystyle 2 n 1 cdot 2 n 1 nbsp mit 2 erweitert und 2 n displaystyle 2 n nbsp durch m displaystyle m nbsp substituiert kommt man auf die Formel die eine Dreieckszahl darstellt 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 n 1 2 n 2 m 1 m 2 displaystyle 2 n 1 cdot 2 n 1 frac 2 n 1 cdot 2 n 1 cdot 2 2 frac 2 n 1 cdot 2 n 2 frac m 1 cdot m 2 nbsp dd Die Summe zweier 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Identitat mit der jeweils n ten ist die Minimallosung von jeweils abzahlbar unendlich vielen Losungen siehe hier Addiert man zu den Dreieckszahlen jeweils Eins so erhalt man die Folge der zentralpolygonalen Zahlen auch Zahlenfolge des faulen Kellners genannt 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56 67 79 92 106 121 137 154 172 191 211 Folge A000124 in OEIS dd Summe dreier Dreieckszahlen BearbeitenPierre de Fermat stellte die Vermutung auf dass sich jede naturliche Zahl als Summe von hochstens drei Dreieckszahlen darstellen lasst Diese Vermutung wurde von Carl Friedrich Gauss bewiesen der am 10 Juli 1796 in sein Tagebuch schrieb 3 EYPHKA num D D D Die allgemeinere Aussage ist als fermatscher Polygonalzahlensatz bekannt Beziehungen zu Quadratzahlen BearbeitenNachfolger der Summe zweier vierfacher Dreieckszahlen Bearbeiten 4 D i 4 D j 1 i j 2 1 i j 2 displaystyle begin aligned 4 cdot Delta i 4 cdot Delta j 1 amp i j 2 1 i j 2 end aligned nbsp Der Nachfolger der Summe zweier vierfacher Dreieckszahlen ist die Summe zweier Quadratzahlen verschiedener Paritat Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen Bearbeiten nbsp 10 15 25Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft wie sich die Dreieckszahlen D 4 10 displaystyle Delta 4 10 nbsp und D 5 15 displaystyle Delta 5 15 nbsp zur Quadratzahl 25 addieren Dieses Phanomen lasst sich auch durch eine Formel beschreiben D n 1 D n n n 1 2 n 1 n 2 n 2 displaystyle begin aligned Delta n 1 Delta n amp frac n n 1 2 frac n 1 n 2 amp n 2 end aligned nbsp Fur eine andere Erklarung dieses Phanomens zerlegt man die Dreieckszahl n n 1 2 displaystyle frac n cdot n 1 2 nbsp in die Summe von n displaystyle n nbsp und der vorhergehenden Dreieckszahl n 1 n 2 displaystyle frac n 1 cdot n 2 nbsp nbsp Dementsprechend gilt 2 n 1 n 2 n n 1 n n n 2 n n n 2 displaystyle 2 cdot frac n 1 cdot n 2 n n 1 cdot n n n 2 n n n 2 nbsp nbsp Dass sich zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu einer Quadratzahl addieren wurde schon im 2 Jahrhundert vom griechischen Mathematiker Theon von Smyrna in seinem Werk Das an mathematischem Wissen fur die Lekture Platons Nutzliche niedergeschrieben 4 Alternierende Summe von Quadratzahlen Bearbeiten Nimmt man die Quadratzahl n 2 displaystyle n 2 nbsp und subtrahiert und addiert abwechselnd die kleineren Quadratzahlen dann erhalt man als Ergebnis die n displaystyle n nbsp te Dreieckszahl Beispielsweise berechnen sich die vierte und funfte Dreieckszahl wie folgt 16 9 4 1 10 D 4 displaystyle 16 9 4 1 10 Delta 4 nbsp 25 16 9 4 1 15 D 5 displaystyle 25 16 9 4 1 15 Delta 5 nbsp Indem man sich zunutze macht dass jede Quadratzahl die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist kann man diesen Zusammenhang anhand seiner geometrischen Veranschaulichung erklaren nbsp Man sieht dass mit Ausnahme des grossten jedes Dreieck in der Summe genau zweimal vorkommt je einmal mit Plus und mit Minus Dadurch heben sich die kleinen Dreiecke in der Summe gegenseitig auf und ubrig bleibt allein das grosse Dreieck Mit Hilfe des mathematischen Wortschatzes lasst sich obiger Sachverhalt sehr kurz wiedergeben Die n displaystyle n nbsp te Dreieckszahl ist die alternierende Summe der Quadratzahlen von n 2 displaystyle n 2 nbsp bis 1 Die entsprechende mathematische Formel ist D n i 1 n 1 n i i 2 displaystyle Delta n sum i 1 n 1 n i cdot i 2 nbsp Quadrat Dreieckszahlen Bearbeiten Quadrat Dreieckszahlen sind Dreieckszahlen die gleichzeitig Quadratzahlen sind Die ersten Quadrat Dreieckszahlen sind 0 1 36 1225 41616 1413721 48024900 1631432881 Folge A001110 in OEISDies sind die Dreieckszahlen mit den Indizes 0 1 8 49 288 1681 9800 57121 Folge A001108 in OEISDamit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann muss fur diese Zahl n n 1 2 displaystyle frac n cdot n 1 2 nbsp Folgendes gelten Von den beiden Zahlen n 1 displaystyle n 1 nbsp und n displaystyle n nbsp muss eine der beiden eine ungerade Quadratzahl sein wahrend die andere das Doppelte einer Quadratzahl sein muss Denn die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind immer teilerfremd insbesondere ist immer eine der beiden ungerade und die andere ist gerade Die gerade Zahl ist deshalb das Doppelte einer Quadratzahl und die ungerade Zahl ist selbst eine ungerade Quadratzahl Die Quadrat Dreieckszahlen lassen sich wie folgt errechnen 1 2 1 2 displaystyle 1 2 cdot 1 2 nbsp 2 2 3 2 displaystyle 2 2 cdot 3 2 nbsp 5 2 7 2 displaystyle 5 2 cdot 7 2 nbsp 12 2 17 2 displaystyle 12 2 cdot 17 2 nbsp 29 2 41 2 displaystyle 29 2 cdot 41 2 nbsp 70 2 99 2 displaystyle 70 2 cdot 99 2 nbsp 169 2 239 2 displaystyle 169 2 cdot 239 2 nbsp Hierbei ist die erste Basis jeder Zeile die Summe der beiden Basen der vorausgehenden Zeile und die zweite Zahl ist um die erste Zahl der Vorzeile hoher m 2 n 2 displaystyle m 2 cdot n 2 nbsp m n 2 2 m n 2 displaystyle m n 2 cdot 2m n 2 nbsp Da sich der Quotient n 2 m 2 displaystyle frac n 2 m 2 nbsp asymptotisch der 2 displaystyle 2 nbsp nahert nahert sich n m displaystyle frac n m nbsp asymptotisch dem Wert 2 displaystyle sqrt 2 nbsp Daraus folgt dass der Faktor um von einer Quadrat Dreieckszahl zur nachsten zu gelangen asymptotisch den Wert 1 2 4 17 12 2 displaystyle 1 sqrt 2 4 17 12 cdot sqrt 2 nbsp anstrebt Die Quadrat Dreieckszahlen sind immer abwechselnd gerade und ungerade mit 36er Rest im Wechsel 0 und 1 Die geraden lassen sich aus einer kleineren Quadrat Dreieckszahl n displaystyle n nbsp nach der Formel 4 n 8 n 1 displaystyle 4 cdot n cdot 8 cdot n 1 nbsp berechnen Dreieckszahlen und zentrierte Polygonalzahlen BearbeitenZentrierte Polygonalzahlen stehen im Zusammenhang mit regelmassigen Polygonen die nach folgendem Muster gelegt werden Ein einzelner Stein liegt im Mittelpunkt des Polygons Um diesen Stein werden weitere Polygone gelegt wobei sich deren Seitenlangen von innen nach aussen jeweils um eins erhohen Diese Muster konnen auch nach einer anderen Regel gelegt werden Wieder wird mit dem einzelnen Stein in der Mitte begonnen Doch im zweiten Schritt werden fur die n displaystyle n nbsp te zentrierte k displaystyle k nbsp Eckszahl k displaystyle k nbsp Dreiecke nach dem Muster der n 1 displaystyle n 1 nbsp ten Dreieckszahl um das Zentrum herumgelegt Das folgende Bild zeigt dies fur die erste bis vierte zentrierte Quadratzahl nbsp Daraus folgt fur die n displaystyle n nbsp te zentrierte k displaystyle k nbsp Eckszahl folgende Formel 1 k D n 1 1 k n n 1 2 displaystyle 1 k cdot Delta n 1 1 frac kn n 1 2 nbsp Die Summe dreier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine zentrierte Dreieckszahl Da bei Dreieckszahlen der Modul 3 den Zyklus 1 0 0 aufweist ist jede zentrierte Dreieckszahl aquivalent 1 mod 3 Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen BearbeitenUnter den Dreieckszahlen gibt es mehrere Zahlenpalindrome Beispiele sind 1 3 6 55 66 171 595 666 3003 5995 8778 Folge A003098 in OEIS Unter diesen sind die 11te die 1 111te die 111 111te und die 11 111 111te Dreieckszahl Fur die 1 111te und die 111 111te Dreieckszahl hat dies Charles Trigg herausgefunden Reihe der Kehrwerte Bearbeiten nbsp Geometrische Interpretation der Kehrwertreihe 5 Die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen ist n 1 1 D n 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 Delta n frac 2 1 cdot 2 frac 2 2 cdot 3 frac 2 3 cdot 4 dots 2 nbsp Losung nach Gottfried Wilhelm Leibniz mit 1 D n 2 n n 1 2 n 1 2 n n n 1 2 n 2 n 1 displaystyle frac 1 Delta n frac 2 n n 1 frac 2 n 1 2n n n 1 frac 2 n frac 2 n 1 nbsp 1 D 1 1 1 2 1 2 2 1 D 2 1 3 2 2 2 3 1 D 3 1 6 2 3 2 4 1 D 4 1 10 2 4 2 5 1 D 5 1 15 2 5 2 6 1 D 6 1 21 2 6 2 7 displaystyle begin aligned 1 Delta 1 amp tfrac 1 1 amp tfrac 2 1 color Red tfrac 2 2 1 Delta 2 amp tfrac 1 3 amp color Red tfrac 2 2 tfrac 2 3 1 Delta 3 amp tfrac 1 6 amp color Red tfrac 2 3 color Red tfrac 2 4 1 Delta 4 amp tfrac 1 10 amp color Red tfrac 2 4 color Red tfrac 2 5 1 Delta 5 amp tfrac 1 15 amp color Red tfrac 2 5 color Red tfrac 2 6 1 Delta 6 amp tfrac 1 21 amp color Red tfrac 2 6 color Red tfrac 2 7 amp qquad vdots amp qquad vdots end aligned nbsp i 1 n 1 D i 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 2 1 0 0 0 2 n 1 2 2 n 1 2 n n 1 displaystyle sum i 1 n frac 1 Delta i left frac 2 1 frac 2 2 right left frac 2 2 frac 2 3 right left frac 2 3 frac 2 4 right dots left frac 2 n 1 frac 2 n right left frac 2 n frac 2 n 1 right frac 2 1 0 0 dots 0 frac 2 n 1 2 frac 2 n 1 frac 2n n 1 nbsp n 1 1 D n 1 1 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 Delta n frac 1 1 frac 1 3 frac 1 6 frac 1 10 frac 1 15 frac 1 21 dots 2 nbsp Dreieckswurzel BearbeitenAnalog zur Quadratwurzel bei der Quadratzahl lasst sich auch mit der Dreieckswurzel n die Seitenlange einer Dreieckszahl D displaystyle Delta nbsp bestimmen n 8 D 1 1 2 displaystyle n frac sqrt 8 Delta 1 1 2 nbsp So wird z B die Dreieckszahl D 4 10 displaystyle Delta 4 10 nbsp aus n 4 displaystyle n 4 nbsp Reihen gebildet Mit Hilfe der Dreieckswurzel lasst sich die Cantorsche Paarungsfunktion umkehren Diverses Bearbeiten nbsp Irene Schramm Biermann Serie Sichtbare Mathematik Visualisierung von Dreieckszahlen und deren Berechnung mit Hilfe der Gaussschen SummenformelDie zehnte hundertste tausendste zehntausendste usw Dreieckszahl ist 55 5 050 500 500 50 005 000 usw OEIS A037156 Allgemein gilt D 10 n 10 2 n 10 n 2 5 10 2 n 1 10 n 1 displaystyle Delta 10 n frac 10 2n 10 n 2 5 cdot 10 2n 1 10 n 1 nbsp Die Dreiecksfolgen zerfallen in zwei Teilfolgen Die Glieder der Folge 3 10 21 36 55 78 OEIS A014105 lassen sich uber die Formel n 2 n 1 displaystyle n cdot 2n 1 nbsp bilden siehe auch Sophie Germain Primzahl Fur die andere Halfte die Sechseckszahlen 1 6 15 28 45 66 OEIS A000384 gilt die Bildungsregel n 2 n 1 displaystyle n cdot 2n 1 nbsp Der puerto ricanische Mathematiker Pedro Antonio Piza fand 1950 die Beziehung3 k 1 n D k 3 k 1 n D k 3 2 k 1 n D k 4 1 72 n 3 n 1 3 n 2 3 displaystyle 3 cdot left sum k 1 n Delta k right 3 sum k 1 n Delta k 3 2 cdot sum k 1 n Delta k 4 frac 1 72 n 3 n 1 3 n 2 3 nbsp zwischen Summen und Potenzen von Dreieckszahlen 6 Die Anzahl der Diagonalen im konvexen n displaystyle n nbsp Eck betragt D n 2 1 n n 3 2 displaystyle Delta n 2 1 frac n n 3 2 nbsp Die Folge der zentralpolygonalen Zahlen auch als Zahlenfolge des faulen Kellners bezeichnet erhalt man indem man zu den Dreieckszahlen jeweils die Zahl 1 addiert Fur die Abrundungsfunktion gilt 2 D n n 1 2 2 displaystyle lfloor 2 sqrt Delta n rfloor lfloor n frac 1 2 sqrt 2 rfloor nbsp Der Modulrest ist alternierend in n T n r 1 2 r 2 2 T r 1 mod n r 0 r 1 2 1 n displaystyle T n equiv r 1 2 lfloor r 2 2 rfloor T r 1 mod n r 0 leq r 1 2 1 leq n nbsp wenn n ungerade gerade ist und r ungerade aber T n T r 1 r 2 r 2 2 mod n r 0 r 1 2 1 n displaystyle T n equiv T r 1 r 2 lfloor r 2 2 rfloor mod n r 0 leq r 1 2 1 leq n nbsp wenn r gerade ist nbsp Visualisierung fur Tripel 2 2 3 Fur alle a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp aber nur fur bestimmte Tripel a b c displaystyle a b c nbsp mit 1 lt a b lt c displaystyle 1 lt a leq b lt c nbsp gilt D a D b D c displaystyle Delta a Delta b Delta c nbsp OEIS A012132 fur stumpfwinkelige Dreiecke a b c gilt csc ϕ 1 a b c 2 a b a 2 b 2 c 2 displaystyle csc phi 1 a b c frac 2ab a 2 b 2 c 2 nbsp fur spitzwinkelige Dreiecke a 1 b 1 c 1 gilt csc ϕ 1 a 1 b 1 c 1 2 a 1 b 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 displaystyle csc phi 1 a 1 b 1 c 1 frac 2 a 1 b 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 nbsp Dies gilt auch mit reellen Strecken a a 1 b b 1 c c 1 a b c 0 displaystyle a a 1 b b 1 c c 1 a b c neq 0 nbsp bspw ganzzahlig 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 da diese Strecken die Elemente eines Hilbert Raums sind Verallgemeinerungen Bearbeitensiehe Hauptartikel Polygonalzahl regulare figurierte ZahlEs gibt im Wesentlichen zwei Verallgemeinerungen der Dreieckszahlen Bleibt man in der Ebene dann kann man das Konstruktionsprinzip der Dreieckszahlen auf Polygone mit mehr Ecken anwenden Dadurch entstehen die Polygonalzahlen zu denen beispielsweise die Quadratzahlen und die Funfeckszahlen zahlen Die zweite Verallgemeinerung besteht darin die Ebene zu verlassen und zu hoheren Dimensionen uberzugehen Im Dreidimensionalen betrachtet man dann einen Tetraeder das ist eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten Im Vierdimensionalen gelangt man zum Pentatop dessen Seiten Tetraeder sind Dies lasst sich beliebig fortsetzen Die zugehorigen figurierten Zahlen heissen Tetraederzahlen Pentatopzahlen und im allgemeinen Fall regulare figurierte Zahlen Im Eindimensionalen sind noch die naturlichen Zahlen zu erwahnen Fur Dreieckszahlen D n 6 displaystyle Delta n geq 6 nbsp gilt die Bildungsvorschrift genau einer von drei disjunkten Zahlenklassen Folge A111774 in OEIS D n n n 2 k 1 2 k 1 n 3 displaystyle Delta n frac n cdot n 2k 1 2 k geq 1 n geq 3 nbsp fur den Sonderfall k 1 displaystyle k 1 nbsp Siehe auch BearbeitenPascalsches Dreieck Zentrierte Dreieckszahl Metcalfe sches GesetzLiteratur BearbeitenJohn H Conway Richard K Guy The Book of Numbers Copernicus New York NY 1996 ISBN 0 387 97993 X Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Dreieckszahlen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Dreieckszahl Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Leonard Eugene Dickson History of the Theory of Numbers Volume 2 Diophantine Analysis Dover Publications Mineola NY 2005 ISBN 0 486 44233 0 S 1 Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 116 Hubert Mania Gauss Eine Biographie Rowohlt Reinbek bei Hamburg 2008 ISBN 978 3 498 04506 7 S 108 Leonard Eugene Dickson History of the Theory of Numbers Volume 2 Diophantine Analysis Dover Publications Mineola NY 2005 ISBN 0 486 44233 0 S 2 Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 191 Pedro Antonio Piza Sums of Powers of triangular numbers In Scripta Mathematica 16 1950 S 127 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreieckszahl amp oldid 231694439
