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Polygonalzahl Eine ist eine Zahl zu der es ein regelmäßiges Polygon Vieleck gibt das sich mit einer entsprechenden Zahl

Polygonalzahl

Eine Polygonalzahl ist eine Zahl, zu der es ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lässt. Zu den Polygonalzahlen zählen unter anderem die Dreiecks- und Quadratzahlen.

Die Polygonalzahlen zählen zu den figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen auf Polygone zurückzuführen, stellen die zentrierten Polygonalzahlen dar.

Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1, und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen, indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.

Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz (vgl. Differenzenfolge). Dieser Aufbau der Polygonalzahlen spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider:

Gelegentlich wird auch die als nullte Dreieckszahl, Quadratzahl usw. definiert. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise .

Berechnung Bearbeiten

Die jeweils -te -Eckszahl lässt sich mit der Formel

berechnen.

Liegt eine beliebige -Eckszahl vor, dann berechnet sich das zugehörige nach der Formel

Herleitung Bearbeiten

Sei die Anzahl der Seiten. Die -te -Eckzahl, mit , wird dadurch gebildet, dass Seiten um einen Punkt erweitert werden. Die erweiterten Seiten haben gemeinsame Punkte. Die -te -Eckzahl hat somit Punkte mehr als die -te -Eckszahl. Die -te -Eckszahl ist daher:

zu : Anwendung der Gaußschen Summenformel

Diese Formel behält auch für ein (ebenes, zu einem flächenleeren Doppelstrich entartetes) Zweieck mit seine Gültigkeit,

wobei die damit berechneten "Zweieckszahlen" gerade den natürlichen Zahlen entsprechen, also der Reihensumme von aneinandergereihten Rechensteinen.

Summe der Kehrwerte Bearbeiten

Die Summe der Kehrwerte jeweils aller -Eckszahlen, ist konvergent. Es gilt:

Anwendungen Bearbeiten

Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Zahl als Summe von höchstens -Eckszahlen darstellen.

Literatur Bearbeiten

  • James Mitchell (Hrsg.): A Dictionary of the Mathematical and Physical Sciences, according to the latest Improvements and Discoveries. G. & W. S. Whittaker, London 1823, archive.org.
  • Constance Reid: From Zero to Infinity. What Makes Numbers Interesting. 4th edition. Mathematical Association of America, Washington DC 1992, ISBN 0-88385-505-4, Kapitel 5, books.google.de
  • Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. math.psu.edu (PDF; 93 kB).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siehe Artikel von Downey, Ong, Sellers.
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Eine Polygonalzahl ist eine Zahl zu der es ein regelmassiges Polygon Vieleck gibt das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lasst Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lasst Zu den Polygonalzahlen zahlen unter anderem die Dreiecks und Quadratzahlen Die Polygonalzahlen zahlen zu den figurierten Zahlen Eine andere Art Zahlen auf Polygone zuruckzufuhren stellen die zentrierten Polygonalzahlen dar Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen Man wahlt dazu eine naturliche Zahl d displaystyle d als Differenz Die erste Zahl ist jeweils die 1 und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert Die folgenden Beispiele zeigen dies Dreieckszahlen Die Differenz 1 fuhrt zu den Summen 1 2 3 4 displaystyle 1 2 3 4 ldots aus denen man die Dreieckszahlen 1 3 6 10 displaystyle 1 3 6 10 ldots erhalt Quadratzahlen Die Differenz 2 fuhrt zu den Summen 1 3 5 7 displaystyle 1 3 5 7 ldots aus denen man die Quadratzahlen 1 4 9 16 displaystyle 1 4 9 16 ldots erhalt Funfeckszahlen Die Differenz 3 fuhrt zu den Summen 1 4 7 10 displaystyle 1 4 7 10 ldots aus denen man die Funfeckszahlen 1 5 12 22 displaystyle 1 5 12 22 ldots erhalt Sechseckszahlen Die Differenz 4 fuhrt zu den Summen 1 5 9 13 displaystyle 1 5 9 13 ldots aus denen man die Sechseckszahlen 1 6 15 28 displaystyle 1 6 15 28 ldots erhalt Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz vgl Differenzenfolge Dieser Aufbau der Polygonalzahlen spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider Die 10 ist die vierte Dreieckszahl Die 16 ist die vierte Quadratzahl Die 22 ist die vierte Funfeckszahl Die 28 ist die vierte Sechseckszahl Gelegentlich wird auch die 0 displaystyle 0 als nullte Dreieckszahl Quadratzahl usw definiert Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise 0 1 3 6 10 displaystyle 0 1 3 6 10 ldots Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Herleitung 3 Summe der Kehrwerte 4 Anwendungen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseBerechnung BearbeitenDie jeweils n displaystyle n nbsp te k displaystyle k nbsp Eckszahl lasst sich mit der Formel k 2 n 2 k 4 n 2 k 2 n 2 n displaystyle k 2 n 2 k 4 n over 2 k 2 binom n 2 n nbsp berechnen Liegt eine beliebige k displaystyle k nbsp Eckszahl x displaystyle x nbsp vor dann berechnet sich das zugehorige n displaystyle n nbsp nach der Formel n 8 k 2 x k 4 2 k 4 2 k 2 displaystyle n frac sqrt 8 k 2 x k 4 2 k 4 2 k 2 nbsp Herleitung BearbeitenSei k N displaystyle k in mathbb N nbsp die Anzahl der Seiten Die n displaystyle n nbsp te k displaystyle k nbsp Eckzahl mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp wird dadurch gebildet dass k 2 displaystyle k 2 nbsp Seiten um einen Punkt erweitert werden Die erweiterten Seiten haben k 2 1 displaystyle k 2 1 nbsp gemeinsame Punkte Die n 1 displaystyle n 1 nbsp te k displaystyle k nbsp Eckzahl hat somit n 1 k 2 k 3 displaystyle n 1 k 2 k 3 nbsp Punkte mehr als die n displaystyle n nbsp te k displaystyle k nbsp Eckszahl Die n displaystyle n nbsp te k displaystyle k nbsp Eckszahl ist daher 1 k 2 k 3 2 k 2 k 3 n k 2 k 3 displaystyle 1 cdot k 2 k 3 2 cdot k 2 k 3 ldots n cdot k 2 k 3 nbsp i 1 n k 2 i k 3 displaystyle sum limits i 1 n k 2 cdot i k 3 nbsp n k 3 i 1 n k 2 i displaystyle n cdot k 3 sum limits i 1 n k 2 cdot i nbsp n k 3 k 2 i 1 n i displaystyle n k 3 k 2 sum limits i 1 n i nbsp I n k 3 k 2 1 2 n n 1 displaystyle stackrel mathrm I n k 3 k 2 cdot tfrac 1 2 n n 1 nbsp 1 2 2 n k 6 n k n n 1 2 n n 1 displaystyle tfrac 1 2 2nk 6n k n n 1 2n n 1 nbsp 1 2 2 n k 6 n k n 2 n k 2 n 2 2 n displaystyle tfrac 1 2 left 2nk 6n kn 2 nk 2n 2 2n right nbsp 1 2 n k 4 n 2 n 2 k n 2 displaystyle tfrac 1 2 left nk 4n 2n 2 kn 2 right nbsp 1 2 k 2 n 2 k 4 n displaystyle tfrac 1 2 left k 2 n 2 k 4 n right nbsp k 2 n 2 k 4 n 2 displaystyle frac k 2 n 2 k 4 n 2 nbsp zu I displaystyle mathrm I nbsp Anwendung der Gaussschen SummenformelDiese Formel behalt auch fur ein ebenes zu einem flachenleeren Doppelstrich entartetes Zweieck mit k 2 displaystyle k 2 nbsp seine Gultigkeit 2 2 n 2 2 4 n 2 n displaystyle frac 2 2 n 2 2 4 n 2 n nbsp wobei die damit berechneten Zweieckszahlen 1 2 3 4 displaystyle 1 2 3 4 ldots nbsp gerade den naturlichen Zahlen n displaystyle n nbsp entsprechen also der Reihensumme von n displaystyle n nbsp aneinandergereihten Rechensteinen Summe der Kehrwerte BearbeitenDie Summe der Kehrwerte jeweils aller k displaystyle k nbsp Eckszahlen k gt 2 displaystyle k gt 2 nbsp ist konvergent 1 Es gilt n 1 2 k 2 n 2 k 4 n 2 ps 2 k 2 2 g k 4 displaystyle sum n 1 infty frac 2 k 2 n 2 k 4 n dfrac 2 psi frac 2 k 2 2 gamma k 4 nbsp mit g displaystyle gamma nbsp Euler Mascheroni Konstante und ps x displaystyle psi x nbsp Digamma Funktion Anwendungen BearbeitenNach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lasst sich jede Zahl als Summe von hochstens k displaystyle k nbsp k displaystyle k nbsp Eckszahlen darstellen Literatur BearbeitenJames Mitchell Hrsg A Dictionary of the Mathematical and Physical Sciences according to the latest Improvements and Discoveries G amp W S Whittaker London 1823 archive org Constance Reid From Zero to Infinity What Makes Numbers Interesting 4th edition Mathematical Association of America Washington DC 1992 ISBN 0 88385 505 4 Kapitel 5 books google de Lawrence Downey Boon W Ong James A Sellers Beyond the Basel Problem Sums of Reciprocals of Figurate Numbers math psu edu PDF 93 kB Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Polygonal Number In MathWorld englisch Polygonalzahl bei PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Siehe Artikel von Downey Ong Sellers Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polygonalzahl amp oldid 192306054