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Figurierte Zahl en sind Klassen von Zahlen die sich auf geometrische Figuren beziehen Legt man regelmäßige Figuren aus S

Figurierte Zahl

Figurierte Zahlen sind Klassen von Zahlen, die sich auf geometrische Figuren beziehen. Legt man regelmäßige Figuren aus Spielsteinen und zählt die Steine, erhält man figurierte Zahlen. Beispiele für figurierte Zahlen sind die Quadratzahlen, Kubikzahlen und Pyramidenzahlen.

Die Folgen von figurierten Zahlen bilden so genannte arithmetische Folgen. Zur Bestimmung der expliziten Formel untersucht man die Differenzen zwischen benachbarten Folgegliedern, die selber wiederum eine Folge, die Differenzenfolge, bilden. Ist keine andere Möglichkeit ersichtlich, so lässt sich die explizite Gesetzmäßigkeit jeder arithmetischen Folge mit dem sogenannten Polynomansatz algebraisch bestimmen.

Schon die griechischen Mathematiker beschäftigten sich mit figurierten Zahlen.

Polygonalzahlen Bearbeiten

Je nach Aufbau unterscheidet man dezentrale und zentrierte Polygonalzahlen, wobei erstere meist nur Polygonalzahlen genannt werden. Der Begriff Polygonalzahl wird auch als Überbegriff für dezentrale und zentrierte Polygonalzahlen verwendet.

(Dezentrale) Polygonalzahlen Bearbeiten

Siehe Hauptartikel: Polygonalzahl

Eine Polygonalzahl ist eine Zahl, zu der es ein Polygon (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lässt.

Es gibt für alle Primzahlen p>5 eine n-te k-Polygonalzahl mit , aber keine sowie zumindest ein mit der Dreieckszahl . Für den größeren Primzahlzwilling p'>5 gilt sogar ausschließlich .

Zentrierte Polygonalzahlen Bearbeiten

Siehe Hauptartikel: Zentrierte Polygonalzahl

Ein weiteres Legemuster für regelmäßige Polygone beginnt mit einem Stein in der Mitte. Um diesen herum werden mehrere Polygone gelegt, wobei sich deren Seitenlängen von innen nach außen jeweils um eins erhöhen. Die dazu notwendige Anzahl an Steinen entspricht einer zentrierten Polygonalzahl. Die folgenden Bilder zeigen einige Beispiele:

Rechteckzahlen oder pronische Zahlen Bearbeiten

Zwölf Kugeln bilden ein Rechteck.

Siehe Hauptartikel: Rechteckzahl

Eine Rechteckzahl oder pronische Zahl ist das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen. Beispielsweise ist eine Rechteckzahl. Legt man Steine zu einem Rechteck, dessen eine Seite um 1 länger ist als die zweite, so entspricht die Anzahl der Steine einer Rechteckszahl.

Dreidimensionale Körper Bearbeiten

Die geometrischen Konstruktionen zu den Polygonalzahlen lassen sich von ebenen Figuren auf dreidimensionale Körper ausweiten. So entstehen Pyramidalzahlen und weitere Arten von figurierten Zahlen. Da es sich bei den Figuren um Polyeder handelt, verwenden manche Autoren hierfür den Begriff Polyederzahl.

Pyramidalzahlen oder Pyramidenzahlen Bearbeiten

Siehe Hauptartikel: Pyramidenzahl

Addiert man die ersten Quadratzahlen erhält man die -te quadratische Pyramidalzahl . Geometrisch bedeutet das, mehrere Quadrate zu einer Pyramide zu stapeln. Das folgende Bild zeigt dies für die vierte quadratische Pyramidalzahl.

Dieses Konstruktionsprinzip lässt sich von Quadratzahlen auf beliebige Polygonalzahlen übertragen. Dadurch entstehen die unterschiedlichen Klassen der Pyramidalzahlen.

Summen zentrierter Polygonalzahlen Bearbeiten

Oktaederzahlen Bearbeiten

Die Oktaederzahlen können als Summe der ersten zentrierten Quadratzahlen interpretiert werden:

Die ersten Oktaederzahlen sind

Kubikzahlen Bearbeiten

Die (dezentralen) Kubikzahlen sind die Summe der ersten zentrierten Sechseckszahlen. Die direkte Berechnungsformel lautet:

Zentrierte Kubikzahlen Bearbeiten

Zentrierte Kubikzahlen lassen sich analog definieren als

Rhombische Dodekaederzahlen Bearbeiten

Die rhombischen Dodekaederzahlen lassen sich zu einem Rhombendodekaeder zusammenbauen. Sie haben die Form

Die ersten Zahlen dieser Form sind

Reguläre figurierte Zahlen Bearbeiten

Figurierte Zahlen lassen sich für beliebige Dimensionen definieren. Allgemein ist die -te figurierte Zahl der Ordnung mit dem Binomialkoeffizienten

identisch.

Mit steigender Ordnung entstehenden so aus den Dreieckszahlen

die Tetraederzahlen

und Pentatopzahlen

Diese Folge lässt sich in beliebige Dimensionen rekursiv fortsetzen:

Figurenzahlen, errichtet über den Seiten des pythagoräischen k-Dreiecks Bearbeiten

Verallgemeinert errichtet der Satz des Pythagoras mit jeweils Quadrate mit der Fläche (ganzzahlig die Quadratzahlen n²) über den Seiten eines pythagoräischen k-Dreiecks (zum Begriff siehe Folge A198453 in OEIS). Für bestimmte ganzzahlige pythagoräische k-Tripel (a,b,c) mit ist das Dreieck ABC nach dem Cosinussatz rechtwinklig und der Differenzwinkel zum rechten Winkel über der längsten Seite somit Null, wodurch den Grenzwert der natürlichen Zahlen annimmt (Unendlichkeitsaxiom).

Rechteckssatz (6,3,7)
Dreieckssatz (2,2,3)

Im Fall werden rechtwinklige Dreiecke der Fläche (ganzzahlig die Dreieckzahlen Δn) je mit der kleinen bzw. großen Kathete über den Seiten des Dreiecks ABC errichtet. Für bestimmte ganzzahlige pythagoräische -Tripel (a,b,c) mit ist das Dreieck ABC zwar stumpf-/spitzwinklig, aber der des Differenzwinkels zum rechten Winkel über der längsten Seite ist ganzzahlig (Folge A012132 in OEIS).

Im Fall werden spezielle 2-Rechtecke der Fläche (ganzzahlig die 2-Rechteckszahlen Rn) je mit der kleinen bzw. großen Rechteckseite über den Seiten des Dreiecks ABC errichtet. Für bestimmte ganzzahlige pythagoräische -Tripel (a,b,c) mit ist das Dreieck ABC mit geradzahligem Umfang zwar stumpf-/spitzwinklig, aber der des Differenzwinkels zum rechten Winkel über der längsten Seite ist ganzzahlig (Folge A198457 in OEIS).

In den Fällen oder liefert der Cosinussatz deshalb spezielle Aussagen zur Teilbarkeit. Allgemein konvergiert im Grenzübergang des Dreiecksumfangs gegen Unendlich der Differenzwinkel gegen Null und somit die Form des pythagoräischen k-Dreiecks ABC zu einem (0-)pythagoräischen Dreieck ABC (Folge A103606 in OEIS).

Literatur Bearbeiten

  • John H. Conway, Richard K. Guy: Zahlenzauber. Von natürlichen und imaginären und anderen Zahlen. Birkhäuser, Basel u. a. 1997, ISBN 3-7643-5244-2.
  • Lancelot Hogben: Mathematik für alle. Eine Einführung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren. Neu überarbeitete Ausgabe. Pawlak, Herrsching 1985, ISBN 3-88199-208-1, S. 151.
  • Elena Deza, Michel Marie Deza: Figurate Numbers. World Scientific. Singapur 2012, ISBN 978-981-4355-48-3.
  • John H. Conway, Richard Guy: The Book of Numbers. Springer, 1996, ISBN 978-0-387-97993-9
  • Jochen Ziegenbalg: Figurierte Zahlen. Springer, 2018, ISBN 978-3-658-20934-6

Weblinks Bearbeiten

Commons: Figurierte Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Rhombic Dodecahedral Number. In: MathWorld (englisch).
  2. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 7
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Figurierte Zahlen sind Klassen von Zahlen die sich auf geometrische Figuren beziehen Legt man regelmassige Figuren aus Spielsteinen und zahlt die Steine erhalt man figurierte Zahlen Beispiele fur figurierte Zahlen sind die Quadratzahlen Kubikzahlen und Pyramidenzahlen Die Folgen von figurierten Zahlen bilden so genannte arithmetische Folgen Zur Bestimmung der expliziten Formel untersucht man die Differenzen zwischen benachbarten Folgegliedern die selber wiederum eine Folge die Differenzenfolge bilden Ist keine andere Moglichkeit ersichtlich so lasst sich die explizite Gesetzmassigkeit jeder arithmetischen Folge mit dem sogenannten Polynomansatz algebraisch bestimmen Schon die griechischen Mathematiker beschaftigten sich mit figurierten Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Polygonalzahlen 1 1 Dezentrale Polygonalzahlen 1 2 Zentrierte Polygonalzahlen 2 Rechteckzahlen oder pronische Zahlen 3 Dreidimensionale Korper 3 1 Pyramidalzahlen oder Pyramidenzahlen 3 2 Summen zentrierter Polygonalzahlen 3 2 1 Oktaederzahlen 3 2 2 Kubikzahlen 3 2 3 Zentrierte Kubikzahlen 3 3 Rhombische Dodekaederzahlen 4 Regulare figurierte Zahlen 5 Figurenzahlen errichtet uber den Seiten des pythagoraischen k Dreiecks 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweisePolygonalzahlen BearbeitenJe nach Aufbau unterscheidet man dezentrale und zentrierte Polygonalzahlen wobei erstere meist nur Polygonalzahlen genannt werden Der Begriff Polygonalzahl wird auch als Uberbegriff fur dezentrale und zentrierte Polygonalzahlen verwendet Dezentrale Polygonalzahlen Bearbeiten Siehe Hauptartikel PolygonalzahlEine Polygonalzahl ist eine Zahl zu der es ein Polygon Vieleck gibt das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lasst Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lasst nbsp Die 10 ist die vierte Dreieckszahl nbsp Die 16 ist die vierte Quadratzahl nbsp Die 22 ist die vierte Funfeckszahl nbsp Die 28 ist die vierte Sechseckszahl Es gibt fur alle Primzahlen p gt 5 eine n te k Polygonalzahl P k 2 n n 3 k 3 displaystyle P k 2 n n geq 3 k geq 3 nbsp mit p 1 P k 2 n displaystyle p 1 P k 2 n nbsp aber keine p 1 P k 2 n n 4 k 3 displaystyle p 1 P k 2 n n geq 4 k geq 3 nbsp sowie zumindest ein 2 r lt p 2 p 2 r mod P 3 2 r displaystyle 2 leq r lt p 2 p 2 r pmod P 3 2 r nbsp mit der Dreieckszahl P 3 2 r displaystyle P 3 2 r nbsp Fur den grosseren Primzahlzwilling p gt 5 gilt sogar ausschliesslich p 2 2 mod P 3 2 2 displaystyle p 2 2 pmod P 3 2 2 nbsp Zentrierte Polygonalzahlen Bearbeiten Siehe Hauptartikel Zentrierte PolygonalzahlEin weiteres Legemuster fur regelmassige Polygone beginnt mit einem Stein in der Mitte Um diesen herum werden mehrere Polygone gelegt wobei sich deren Seitenlangen von innen nach aussen jeweils um eins erhohen Die dazu notwendige Anzahl an Steinen entspricht einer zentrierten Polygonalzahl Die folgenden Bilder zeigen einige Beispiele nbsp Die 19 ist die vierte zentrierte Dreieckszahl nbsp Die 25 ist die vierte zentrierte Quadratzahl nbsp Die 31 ist die vierte zentrierte Funfeckszahl nbsp Die 37 ist die vierte zentrierte Sechseckszahl Rechteckzahlen oder pronische Zahlen Bearbeiten nbsp Zwolf Kugeln bilden ein Rechteck Siehe Hauptartikel RechteckzahlEine Rechteckzahl oder pronische Zahl ist das Produkt zweier aufeinanderfolgender naturlicher Zahlen Beispielsweise ist 12 3 4 displaystyle 12 3 cdot 4 nbsp eine Rechteckzahl Legt man Steine zu einem Rechteck dessen eine Seite um 1 langer ist als die zweite so entspricht die Anzahl der Steine einer Rechteckszahl Dreidimensionale Korper BearbeitenDie geometrischen Konstruktionen zu den Polygonalzahlen lassen sich von ebenen Figuren auf dreidimensionale Korper ausweiten So entstehen Pyramidalzahlen und weitere Arten von figurierten Zahlen Da es sich bei den Figuren um Polyeder handelt verwenden manche Autoren hierfur den Begriff Polyederzahl Pyramidalzahlen oder Pyramidenzahlen Bearbeiten Siehe Hauptartikel PyramidenzahlAddiert man die ersten n displaystyle n nbsp Quadratzahlen erhalt man die n displaystyle n nbsp te quadratische Pyramidalzahl P y r 4 n displaystyle Pyr 4 n nbsp Geometrisch bedeutet das mehrere Quadrate zu einer Pyramide zu stapeln Das folgende Bild zeigt dies fur die vierte quadratische Pyramidalzahl nbsp Dieses Konstruktionsprinzip lasst sich von Quadratzahlen auf beliebige Polygonalzahlen ubertragen Dadurch entstehen die unterschiedlichen Klassen der Pyramidalzahlen Summen zentrierter Polygonalzahlen Bearbeiten Oktaederzahlen Bearbeiten Die Oktaederzahlen konnen als Summe der ersten zentrierten Quadratzahlen interpretiert werden O k t n i 1 n Z Q i Z Q 1 Z Q 2 Z Q n P y r 4 n P y r 4 n 1 n 4 T n 1 displaystyle Okt n sum i 1 n ZQ i ZQ 1 ZQ 2 ldots ZQ n Pyr 4 n Pyr 4 n 1 n 4T n 1 nbsp Die ersten Oktaederzahlen sind 0 1 6 19 44 85 146 231 344 489 670 891 1156 Folge A005900 in OEIS Kubikzahlen Bearbeiten Die dezentralen Kubikzahlen sind die Summe der ersten zentrierten Sechseckszahlen Die direkte Berechnungsformel lautet K u b n n 3 displaystyle Kub n n 3 nbsp Zentrierte Kubikzahlen Bearbeiten Zentrierte Kubikzahlen lassen sich analog definieren als Z K n K u b n K u b n 1 n 3 n 1 3 2 n 3 3 n 2 3 n 1 displaystyle ZK n Kub n Kub n 1 n 3 n 1 3 2n 3 3n 2 3n 1 nbsp Rhombische Dodekaederzahlen Bearbeiten Die rhombischen Dodekaederzahlen lassen sich zu einem Rhombendodekaeder zusammenbauen Sie haben die Form Z K n 6 P y r 4 n 2 n 1 2 n 2 2 n 1 displaystyle ZK n 6 cdot Pyr 4 n 2n 1 2n 2 2n 1 nbsp 1 Die ersten Zahlen dieser Form sind 0 1 15 65 175 369 671 Folge A005917 in OEIS Regulare figurierte Zahlen BearbeitenFigurierte Zahlen lassen sich fur beliebige Dimensionen definieren Allgemein ist die n displaystyle n nbsp te figurierte Zahl der Ordnung r displaystyle r nbsp mit dem Binomialkoeffizienten f r n n r 1 r n r 1 n r 2 n 1 2 r displaystyle f r n n r 1 choose r frac n r 1 n r 2 ldots n 1 cdot 2 cdot ldots cdot r nbsp identisch 2 Mit steigender Ordnung entstehenden so aus den Dreieckszahlen f 2 n D n 1 2 n displaystyle f 2 n Delta n 1 2 ldots n nbsp die Tetraederzahlen f 3 n T n D 1 D 2 D n displaystyle f 3 n T n Delta 1 Delta 2 ldots Delta n nbsp und Pentatopzahlen f 4 n P n T 1 T 2 T n displaystyle f 4 n P n T 1 T 2 ldots T n nbsp Diese Folge lasst sich in beliebige Dimensionen rekursiv fortsetzen f r 1 n i 1 n f r i f r 1 f r 2 f r n displaystyle f r 1 n sum i 1 n f r i f r 1 f r 2 ldots f r n nbsp Figurenzahlen errichtet uber den Seiten des pythagoraischen k Dreiecks BearbeitenVerallgemeinert errichtet der Satz des Pythagoras mit k 0 displaystyle k 0 nbsp jeweils Quadrate mit der Flache n n 0 n 2 displaystyle n cdot n 0 n 2 nbsp ganzzahlig die Quadratzahlen n uber den Seiten eines pythagoraischen k Dreiecks zum Begriff siehe Folge A198453 in OEIS Fur bestimmte ganzzahlige pythagoraische k Tripel a b c mit a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp ist das Dreieck ABC nach dem Cosinussatz rechtwinklig und der Differenzwinkel ϕ displaystyle phi nbsp zum rechten Winkel uber der langsten Seite somit Null wodurch csc ϕ a b c 0 0 displaystyle csc phi a b c 0 0 infty nbsp den Grenzwert der naturlichen Zahlen annimmt Unendlichkeitsaxiom nbsp Rechteckssatz 6 3 7 nbsp Dreieckssatz 2 2 3 Im Fall k 1 displaystyle k pm 1 nbsp werden rechtwinklige Dreiecke der Flache 1 2 n n 1 T n displaystyle 1 2 cdot n cdot n 1 T n nbsp ganzzahlig die Dreieckzahlen Dn je mit der kleinen bzw grossen Kathete uber den Seiten des Dreiecks ABC errichtet Fur bestimmte ganzzahlige pythagoraische 1 displaystyle pm 1 nbsp Tripel a b c mit T a T b T c displaystyle T a T b T c nbsp ist das Dreieck ABC zwar stumpf spitzwinklig aber der csc ϕ a b c 1 1 displaystyle csc phi a b c 1 1 nbsp des Differenzwinkels zum rechten Winkel uber der langsten Seite ist ganzzahlig Folge A012132 in OEIS Im Fall k 2 displaystyle k pm 2 nbsp werden spezielle 2 Rechtecke der Flache n n 2 R n displaystyle n cdot n 2 R n nbsp ganzzahlig die 2 Rechteckszahlen Rn je mit der kleinen bzw grossen Rechteckseite uber den Seiten des Dreiecks ABC errichtet Fur bestimmte ganzzahlige pythagoraische 2 displaystyle pm 2 nbsp Tripel a b c mit R a R b R c displaystyle R a R b R c nbsp ist das Dreieck ABC mit geradzahligem Umfang zwar stumpf spitzwinklig aber der csc ϕ a b c 2 2 displaystyle csc phi a b c 2 2 nbsp des Differenzwinkels zum rechten Winkel uber der langsten Seite ist ganzzahlig Folge A198457 in OEIS In den Fallen k 1 displaystyle k pm 1 nbsp oder k 2 displaystyle k pm 2 nbsp liefert der Cosinussatz deshalb spezielle Aussagen zur Teilbarkeit Allgemein konvergiert im Grenzubergang des Dreiecksumfangs a b c displaystyle a b c nbsp gegen Unendlich der Differenzwinkel ϕ displaystyle phi nbsp gegen Null und somit die Form des pythagoraischen k Dreiecks ABC zu einem 0 pythagoraischen Dreieck ABC Folge A103606 in OEIS Literatur BearbeitenJohn H Conway Richard K Guy Zahlenzauber Von naturlichen und imaginaren und anderen Zahlen Birkhauser Basel u a 1997 ISBN 3 7643 5244 2 Lancelot Hogben Mathematik fur alle Eine Einfuhrung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren Neu uberarbeitete Ausgabe Pawlak Herrsching 1985 ISBN 3 88199 208 1 S 151 Elena Deza Michel Marie Deza Figurate Numbers World Scientific Singapur 2012 ISBN 978 981 4355 48 3 John H Conway Richard Guy The Book of Numbers Springer 1996 ISBN 978 0 387 97993 9 Jochen Ziegenbalg Figurierte Zahlen Springer 2018 ISBN 978 3 658 20934 6Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Figurierte Zahlen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Figurate Number In MathWorld englisch Jutta Gut Seite uber figurierte ZahlenEinzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Rhombic Dodecahedral Number In MathWorld englisch Leonard Eugene Dickson History of the Theory of Numbers Volume 2 Diophantine Analysis Dover Publications Mineola NY 2005 ISBN 0 486 44233 0 S 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Figurierte Zahl amp oldid 224013495