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Pyramide Geometrie In der Geometrie ist eine Pyramide ein geometrischer Körper genauer ein Polyeder dessen Kanten aus de

Pyramide (Geometrie)

In der Geometrie ist eine Pyramide ein geometrischer Körper (genauer ein Polyeder), dessen Kanten aus den Kanten eines ebenen Polygons (der Grundfläche) und den Verbindungsstrecken der Ecken des Polygons mit einem nicht in der Polygonebene gelegenen Punkt (der Spitze) bestehen. Im bekanntesten Fall ist das Polygon ein Quadrat und die Spitze ein Punkt senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrates. In diesem Fall entsteht eine gerade quadratische Pyramide. Liegt nicht über dem Mittelpunkt des Quadrats, liegt eine schiefe quadratische Pyramide vor.

Gerade quadratische Pyramide
Schiefe quadratische Pyramide
Unregelmäßige schiefe Pyramiden mit konvexem (links) bzw. konkavem Polygon

Bezeichnungen:
Die Gesamtheit der Seitenflächen einer Pyramide (= Oberfläche) besteht aus dem gegebenen Polygon, der Grundfläche, und aus Dreiecken mit dem gemeinsamen Punkt . Die Dreiecke bilden zusammen den Mantel der Pyramide. Die Kanten des Polygons heißen Grundkanten und die Kanten durch Seitenkanten.

Ist das Polygon regelmäßig, d. h., sind die Kanten gleich lang und liegen die Ecken auf einem Kreis mit Mittelpunkt , so heißt die Pyramide regelmäßig. Ist zusätzlich der Lotfußpunkt von auf die Kreisebene, so heißt die Pyramide gerade. Die Dreiecke sind dann alle kongruent und gleichschenklig. Alle anderen Pyramiden heißen schief.

Der Begriff gerade Pyramide wird nicht einheitlich verwendet. Die englische Wikipedia verlangt nur, dass der Lotfußpunkt der Spitze mit dem geometrischen Schwerpunkt zusammenfällt.

Verbindung zu einem Kegel: Ersetzt man das Polygon durch eine Kurve, z. B. einen Kreis, und verbindet jeden Punkt der Kurve mit der Spitze, erhält man einen Kegel.

Eigenschaften Bearbeiten

Allgemein Bearbeiten

Hat das Polygon Ecken, den Flächeninhalt und ist die Höhe der Pyramide , so gilt:

  1. Anzahl der Ecken:
  2. Anzahl der Flächen:
  3. Anzahl der Kanten:
  4. Volumen:
  5. Der Schwerpunkt der Pyramide teilt die Strecke zwischen dem Schwerpunkt des Polygons und der Spitze im Verhältnis .

Im Fall nennt man die Pyramide Tetraeder.

Gerade quadratische Pyramide Bearbeiten

Gerade quadratische Pyramide: Bezeichnungen

Es sei die Quadratlänge und die Höhe der Pyramide.

Geometrische Eigenschaften Bearbeiten

Weitere Eigenschaften enthält der Abschnitt Formeln für regelmäßige Pyramiden.

Johnson-Körper Bearbeiten

Links: Johnson-Körper
Rechts: Pyramide mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche

Eine quadratische Pyramide, deren vier dreieckige Seitenflächen gleichseitig sind, ist der einfachste Johnson-Körper, abgekürzt mit . In diesem Fall gilt und die Pyramide ist ein halbes reguläres Oktaeder. Verdoppelt man die Höhe, erhält man die Pyramide mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche.

Maximales Volumen Bearbeiten

Unter allen quadratischen Pyramiden mit vorgegebener Oberfläche hat diejenige das größte Volumen, für die

gilt. Ihr Volumen ist dann .

Zum Nachweis löse man nach auf, setze es in ein und bestimme das lokale Maximum von .

Formeln für regelmäßige Pyramiden Bearbeiten

Tabelle Bearbeiten

Die Tabelle enthält Formeln für geometrische Eigenschaften einer allgemeinen regelmäßigen gerade Pyramide (2. Spalte). In der 3. und 4. Spalte speziell für die Fälle und .

Regelmäßige gerade Pyramiden: Bezeichnungen für die Formeltabelle
Größen einer regelmäßigen Pyramide mit der Höhe h und einem regelmäßigen n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche
Allgemeiner Fall Quadratische Pyramide Regelmäßige Dreieckspyramide
Volumen
Oberfläche
Seitenkantenlänge
Umkugelradius
Inkugelradius
Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke
Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke
Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken
Winkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken
Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche
Raumwinkel an der Grundfläche
Raumwinkel in der Spitze

Spezialfälle Bearbeiten

Pyramide als Teil eines Ikosaeders

Für bestimmte Werte von und ergeben sich Zusammenhänge mit platonischen Körpern:

Maximales Volumen im Fall n Bearbeiten

Pyramiden mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche ,
rot: Kegel mit derselben Eigenschaft und derselben Oberfläche
:

Mit Überlegungen wie für eine gerade quadratische Pyramide (siehe oben) zeigt man:

Unter allen geraden regulären n-seitigen Pyramiden mit vorgegebener Oberfläche hat diejenige das größte Volumen, für die

und damit gilt.

Der Umkreisradius des Basispolygons ist

Das maximale Volumen ist .

Für gegen unendlich geht monoton fallend gegen und monoton steigend gegen . Letzteres ist die Höhe eines Kegels mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberfläche . (Bei der Grenzwertbildung wird verwendet.)
Der Radius des Basiskreises des optimalen Kegels ist ,
seine Höhe und
sein Volumen .

Für das Verhältnis der Volumina gilt:

das für gegen 1 strebt.

Zusammenhang mit dem Kreiskegel Bearbeiten

Pyramide zur Approximation eines Kegels

Regelmäßige Pyramiden, die ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche haben, können verwendet werden, um einen Kreiskegel zu approximieren, der nach Definition einen Kreis als Grundfläche hat.

Wenn das regelmäßige Vieleck Ecken hat, also ein -Eck ist, kann formal der Grenzwert für unendlich großes gebildet werden. Der Kreiskegel kann sozusagen als regelmäßige Pyramide aufgefasst werden, wobei die Grundfläche unendlich viele Ecken und die Seitenlänge des -Ecks den Grenzwert 0 hat.

Im Folgenden soll auf diese Weise das Volumen des Kreiskegels hergeleitet werden.

Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen -Ecks (siehe Regelmäßiges Polygon – Umfang und Flächeninhalt) ergibt sich für das Volumen der regelmäßigen Pyramide, wenn der Umkreisradius des -Ecks bekannt ist:

Um das Volumen des Kreiskegels zu bestimmen, kann der Grenzwert für gegen unendlich gebildet werden. Dieser Grenzwert ergibt sich mit Hilfe der Formel :

Herleitung der Volumenformel für die allgemeine Pyramide Bearbeiten

Für die Herleitung des Volumens einer allgemeinen Pyramide gibt es mehrere Wege:

Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts Bearbeiten

Eine von den Vektoren aufgespannte dreiseitige Pyramide hat das Volumen

Elementargeometrische Begründung Bearbeiten

Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in zwei Schritten begründen:

  1. Ein Würfel kann in drei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden, deren Spitzen in einer Ecke des Würfels zusammenfallen. Die drei Grundflächen sind die drei Seitenflächen des Würfels, die diese gemeinsame Spitze nicht enthalten.
  2. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.

Für Pyramiden gilt demzufolge die Volumenformel

Begründung mit Hilfe der Integralrechnung Bearbeiten

Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche und der Höhe kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der Dicke parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine -Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, sodass die Höhe mit der -Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand von der Spitze mit , so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel für herleiten:

Daraus ergibt sich das Volumen der Pyramide durch Integration von bis nach dem Prinzip von Cavalieri:

Vermessung eines Pyramidenbauwerks Bearbeiten

Betrachtung aus der Entfernung und Sehwinkelbestimmung in vereinfachter Form

Bei einer großen Pyramide lassen sich die Kantenlängen der Basis direkt gut vermessen, jedoch nicht die Höhe, die nicht direkt zugänglich ist. Im Folgenden sollen die grundsätzlichen Schwierigkeiten dargelegt werden, die nicht so sehr mit der Methodik des Messverfahrens selbst zusammenhängen. Ein einfaches geometrisches Verfahren zur Höhenbestimmung größerer Objekte ist die Betrachtung aus der Entfernung und die Bestimmung des Sehwinkels (in vereinfachter Form durch die nebenstehende Grafik aufgezeigt).

Im Abstand von der unteren Pyramidenkante wird die Spitze der Pyramide unter dem gemessenen Winkel angepeilt. Der Abstand des Beobachtungspunktes von der Pyramidenspitze in horizontaler Linie ist somit der um die halbe Grundseite vermehrte Abstand von der Pyramidenkante Die Höhe ergibt sich aus der Formel in der Grafik. Damit wäre die Bestimmung der Höhe kein großes Problem. Es gibt jedoch folgende Schwierigkeiten:

  • Die Spitze der Pyramide liegt nicht unbedingt exakt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
  • Die Länge der Basiskante der Pyramide ist nicht sauber bestimmbar (abgebrochene Steine, Erosion).
  • Die Spitze ist nicht mehr vorhanden (abgetragen).
  • Der Neigungswinkel der Pyramide ist schwer bestimmbar (Abtragung, Erosion).

Das entspricht bei den bekannten großen Pyramiden weitgehend der Realität. Es muss definiert werden, von welchem Bodenniveau aus die Höhe der Pyramide gelten soll, also wo ihre Basis angenommen wird; von dieser aus muss die Höhenabweichung des Beobachtungspunktes, an dem gemessen wird, genau berücksichtigt werden. Die Winkelmessung selbst kann in der Regel sehr präzise ausgeführt werden. Angenommen, die Basislänge der Pyramide ließe sich nicht genauer als auf 30 cm und damit die Entfernung zum Messpunkt nicht genauer als auf 15 cm bestimmen. Dadurch würde bei einem Sehwinkel von angenommenen 35° die Höhe um den Betrag von etwa 10 cm ungenau sein. Außerdem soll noch der Neigungswinkel der Seitenfläche bestimmt werden. Eine hypothetische große Pyramide der Basislänge von 200 m und einer Höhe von 140 m hätte bei einer Ungenauigkeit der Höhenangabe von 10 cm eine Ungenauigkeit der Neigungswinkelangabe von etwa einer Bogenminute (54°27′44″ bei gegenüber 54°26′34″ mit ). Das gilt nun für Pyramiden, deren Spitze noch vorhanden ist. Die Realität sieht aber anders aus. Die Höhenbestimmung gibt also nicht die ursprüngliche Höhe wieder, sondern die Höhe der abgetragenen Pyramide.

Problem bei Extrapolation

Die Spitze muss also extrapoliert werden. Das nebenstehende Bild zeigt schematisch das Problem. Sowohl die Seitenflächen als auch die Spitze sind durch Abriss und Verwitterung deutlich abgetragen:

Die Höhe wäre daher gemäß der Formel aus der direkten Bestimmung des Neigungswinkels zugänglich. Wie ersichtlich, ist die Bestimmung mit großen Fehlern behaftet. Eine Ausnahme bildet die Chephren-Pyramide, weil diese im oberen Teil noch die originalen Decksteine hat. Der Winkel ist dadurch genauer bestimmbar als bei den anderen Pyramiden. Das erklärt die gute Übereinstimmung verschiedener Autoren hinsichtlich des Neigungswinkels.

Damit wird klar, dass bei realen Pyramiden weder die Höhe auf den Zentimeter noch der Neigungswinkel auf die Bogensekunde exakt angegeben werden kann.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Verwandte Formen in der Geometrie sind der Pyramidenstumpf (eine parallel zur Grundfläche „abgeschnittene“ Pyramide) und die Doppelpyramide (ein Polyeder aus zwei spiegelsymmetrischen Pyramiden mit derselben Grundfläche).

Eine Hyperpyramide ist eine Verallgemeinerung auf Dimensionen. Die in diesem Artikel beschriebene Pyramide ist eine dreidimensionale Hyperpyramide. Eine zweidimensionale Hyperpyramide wäre ein Dreieck, eine vierdimensionale ein Pentachoron.

Mit der Pyramide in der Architektur befasst sich der Artikel Pyramide (Bauwerk).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Pyramids (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kleine Enzyklopädie Mathematik. 2. völlig überarbeitete Auflage, Harri Deutsch, Thun (CH)/ Frankfurt 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 208.
  2. Hans-Joachim Bartsch: Mathematische Formeln. 5., unveränderter Nachdruck der 11. Auflage, Buch- und Zeit-Verlagsgesellschaft, Köln 1977, S. 152.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie ist eine Pyramide ein geometrischer Korper genauer ein Polyeder dessen Kanten aus den Kanten eines ebenen Polygons der Grundflache und den Verbindungsstrecken der Ecken des Polygons mit einem nicht in der Polygonebene gelegenen Punkt S displaystyle S der Spitze bestehen Im bekanntesten Fall ist das Polygon ein Quadrat und die Spitze S displaystyle S ein Punkt senkrecht uber dem Mittelpunkt des Quadrates In diesem Fall entsteht eine gerade quadratische Pyramide Liegt S displaystyle S nicht uber dem Mittelpunkt des Quadrats liegt eine schiefe quadratische Pyramide vor Gerade quadratische PyramideSchiefe quadratische PyramideUnregelmassige schiefe Pyramiden mit konvexem links bzw konkavem PolygonBezeichnungen Die Gesamtheit der Seitenflachen einer Pyramide Oberflache besteht aus dem gegebenen Polygon der Grundflache und aus Dreiecken mit dem gemeinsamen Punkt S displaystyle S Die Dreiecke bilden zusammen den Mantel der Pyramide Die Kanten des Polygons heissen Grundkanten und die Kanten durch S displaystyle S Seitenkanten Ist das Polygon regelmassig d h sind die Kanten gleich lang und liegen die Ecken auf einem Kreis mit Mittelpunkt C displaystyle C so heisst die Pyramide regelmassig Ist zusatzlich C displaystyle C der Lotfusspunkt von S displaystyle S auf die Kreisebene so heisst die Pyramide gerade Die Dreiecke sind dann alle kongruent und gleichschenklig Alle anderen Pyramiden heissen schief 1 Der Begriff gerade Pyramide wird nicht einheitlich verwendet Die englische Wikipedia verlangt nur dass der Lotfusspunkt der Spitze mit dem geometrischen Schwerpunkt zusammenfallt Verbindung zu einem Kegel Ersetzt man das Polygon durch eine Kurve z B einen Kreis und verbindet jeden Punkt der Kurve mit der Spitze erhalt man einen Kegel Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Allgemein 1 2 Gerade quadratische Pyramide 1 2 1 Geometrische Eigenschaften 1 2 2 Johnson Korper 1 2 3 Maximales Volumen 2 Formeln fur regelmassige Pyramiden 2 1 Tabelle 2 2 Spezialfalle 2 3 Maximales Volumen im Fall n 2 4 Zusammenhang mit dem Kreiskegel 3 Herleitung der Volumenformel fur die allgemeine Pyramide 3 1 Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts 3 2 Elementargeometrische Begrundung 3 3 Begrundung mit Hilfe der Integralrechnung 4 Vermessung eines Pyramidenbauwerks 5 Verwandte Begriffe 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenAllgemein Bearbeiten Hat das Polygon n displaystyle n nbsp Ecken den Flacheninhalt G displaystyle G nbsp und ist die Hohe der Pyramide h displaystyle h nbsp so gilt 2 Anzahl der Ecken n 1 displaystyle n 1 nbsp Anzahl der Flachen n 1 displaystyle n 1 nbsp Anzahl der Kanten 2 n displaystyle 2n nbsp Volumen V 1 3 G h displaystyle V tfrac 1 3 Gh nbsp Der Schwerpunkt C displaystyle C nbsp der Pyramide teilt die Strecke zwischen dem Schwerpunkt C displaystyle C nbsp des Polygons und der Spitze S displaystyle S nbsp im Verhaltnis 1 3 displaystyle 1 3 nbsp Im Fall n 3 displaystyle n 3 nbsp nennt man die Pyramide Tetraeder Gerade quadratische Pyramide Bearbeiten nbsp Gerade quadratische Pyramide BezeichnungenEs sei a displaystyle a nbsp die Quadratlange und h displaystyle h nbsp die Hohe der Pyramide Geometrische Eigenschaften Bearbeiten n 4 G a 2 displaystyle n 4 G a 2 nbsp Hohe der Dreiecke h h 2 a 2 4 displaystyle h sqrt h 2 frac a 2 4 nbsp Dreiecksflache a 2 h 2 a 2 4 displaystyle frac a 2 sqrt h 2 frac a 2 4 nbsp Lange der Kanten durch die Spitze l h 2 a 2 2 displaystyle l sqrt h 2 frac a 2 2 nbsp Volumen V 1 3 a 2 h displaystyle V frac 1 3 a 2 h nbsp Oberflache O a 2 a 4 h 2 a 2 displaystyle O a 2 a cdot sqrt 4 cdot h 2 a 2 nbsp Hohe des Schwerpunkts C displaystyle C nbsp uber dem Mittelpunkt C displaystyle C nbsp s h 4 displaystyle s frac h 4 nbsp Weitere Eigenschaften enthalt der Abschnitt Formeln fur regelmassige Pyramiden Johnson Korper Bearbeiten nbsp Links Johnson Korper Rechts Pyramide mit maximalem Volumen bei vorgegebener OberflacheEine quadratische Pyramide deren vier dreieckige Seitenflachen gleichseitig sind ist der einfachste Johnson Korper abgekurzt mit J 1 displaystyle J 1 nbsp In diesem Fall gilt h a 2 2 displaystyle h frac a 2 cdot sqrt 2 nbsp und die Pyramide ist ein halbes regulares Oktaeder Verdoppelt man die Hohe erhalt man die Pyramide mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberflache Maximales Volumen Bearbeiten Unter allen quadratischen Pyramiden mit vorgegebener Oberflache O displaystyle O nbsp hat diejenige das grosste Volumen fur die a O 2 h O 2 displaystyle a frac sqrt O 2 quad h sqrt frac O 2 quad nbsp und damit h a 2 displaystyle quad h a cdot sqrt 2 nbsp gilt Ihr Volumen ist dann V 1 3 a 3 2 O O 12 2 displaystyle V frac 1 3 cdot a 3 cdot sqrt 2 frac O sqrt O 12 sqrt 2 nbsp Zum Nachweis lose man O a 2 a 4 h 2 a 2 displaystyle O a 2 a sqrt 4h 2 a 2 nbsp nach h 2 displaystyle h 2 nbsp auf setze es in U 9 V 2 a 4 h 2 displaystyle U 9V 2 a 4 h 2 nbsp ein und bestimme das lokale Maximum von U a displaystyle U a nbsp Formeln fur regelmassige Pyramiden BearbeitenTabelle Bearbeiten Die Tabelle enthalt Formeln fur geometrische Eigenschaften einer allgemeinen regelmassigen gerade Pyramide 2 Spalte In der 3 und 4 Spalte speziell fur die Falle n 4 displaystyle n 4 nbsp und n 3 displaystyle n 3 nbsp nbsp Regelmassige gerade Pyramiden Bezeichnungen fur die FormeltabelleGrossen einer regelmassigen Pyramide mit der Hohe h und einem regelmassigen n Eck mit Seitenlange a als GrundflacheAllgemeiner Fall Quadratische Pyramide Regelmassige DreieckspyramideVolumen V n a 2 h 12 cot p n displaystyle V frac na 2 h 12 cot left frac pi n right nbsp V a 2 h 3 displaystyle V frac a 2 h 3 nbsp V a 2 h 12 3 displaystyle V frac a 2 h 12 sqrt 3 nbsp Oberflache O n a 4 a cot p n 4 h 2 a 2 cot 2 p n displaystyle O frac na 4 left a cot left frac pi n right sqrt 4h 2 a 2 cot 2 left frac pi n right right nbsp O a 2 a 4 h 2 a 2 displaystyle O a 2 a sqrt 4h 2 a 2 nbsp O 3 a 4 a 3 3 4 h 2 a 2 3 displaystyle O frac 3a 4 left frac a 3 sqrt 3 sqrt 4h 2 frac a 2 3 right nbsp Seitenkantenlange l h 2 a 2 4 sin 2 p n 1 2 displaystyle l left h 2 frac a 2 4 sin 2 left frac pi n right right frac 1 2 nbsp l h 2 a 2 2 displaystyle l sqrt h 2 frac a 2 2 nbsp l h 2 a 2 3 displaystyle l sqrt h 2 frac a 2 3 nbsp Umkugelradius r u h 2 a 2 8 h sin 2 p n displaystyle r u frac h 2 frac a 2 8h sin 2 left frac pi n right nbsp r u h 2 a 2 4 h displaystyle r u frac h 2 frac a 2 4h nbsp r u h 2 a 2 6 h displaystyle r u frac h 2 frac a 2 6h nbsp Inkugelradius r i a h a 4 h 2 tan 2 p n a 2 displaystyle r i frac ah a sqrt 4h 2 tan 2 left frac pi n right a 2 nbsp r i a h a 4 h 2 a 2 displaystyle r i frac ah a sqrt 4h 2 a 2 nbsp r i a h a 12 h 2 a 2 displaystyle r i frac ah a sqrt 12h 2 a 2 nbsp Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke a 2 a 1 displaystyle alpha 2 alpha 1 nbsp a 1 arctan 1 a 4 h 2 a 2 cot 2 p n displaystyle alpha 1 arctan left frac 1 a sqrt 4h 2 a 2 cot 2 left frac pi n right right nbsp a 1 arctan 1 a 4 h 2 a 2 displaystyle alpha 1 arctan left frac 1 a sqrt 4h 2 a 2 right nbsp a 1 arctan 1 a 4 h 2 a 2 3 displaystyle alpha 1 arctan left frac 1 a sqrt 4h 2 frac a 2 3 right nbsp Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke a 3 2 arctan a 4 h 2 a 2 cot 2 p n displaystyle alpha 3 2 arctan left frac a sqrt 4h 2 a 2 cot 2 left frac pi n right right nbsp a 3 2 arctan a 4 h 2 a 2 displaystyle alpha 3 2 arctan left frac a sqrt 4h 2 a 2 right nbsp a 3 2 arctan a 4 h 2 a 2 3 displaystyle alpha 3 2 arctan left frac a sqrt 4h 2 frac a 2 3 right nbsp Winkel zwischen Grundflache und gleichschenkligen Dreiecken b 1 arctan 2 h tan p n a displaystyle beta 1 arctan left frac 2h tan left frac pi n right a right nbsp b 1 arctan 2 h a displaystyle beta 1 arctan left frac 2h a right nbsp b 1 arctan 2 3 h a displaystyle beta 1 arctan left frac 2 sqrt 3 h a right nbsp Winkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken b 2 2 arctan 1 2 h 4 h 2 sin 2 p n a 2 tan 2 p n sin 2 p n 1 2 displaystyle beta 2 2 arctan left frac 1 2h left frac 4h 2 sin 2 left frac pi n right a 2 tan 2 left frac pi n right sin 2 left frac pi n right right frac 1 2 right nbsp b 2 2 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 2 displaystyle beta 2 2 arctan left frac 1 2h sqrt 4h 2 2a 2 right nbsp b 2 2 arctan 1 3 h 3 h 2 a 2 displaystyle beta 2 2 arctan left frac 1 3h sqrt 3h 2 a 2 right nbsp Winkel zwischen Seitenkante und Grundflache g arctan 2 h sin p n a displaystyle gamma arctan left frac 2h sin left frac pi n right a right nbsp g arctan 2 h 2 a displaystyle gamma arctan left frac 2h sqrt 2 a right nbsp g arctan 3 h a displaystyle gamma arctan left frac sqrt 3 h a right nbsp Raumwinkel an der Grundflache W 1 4 arctan tan 2 b 1 b 2 4 tan 2 b 1 b 2 4 tan 2 b 2 4 displaystyle Omega 1 4 arctan left sqrt tan left frac 2 beta 1 beta 2 4 right tan left frac 2 beta 1 beta 2 4 right tan 2 left frac beta 2 4 right right nbsp Raumwinkel in der Spitze W 2 2 p 2 n arcsin cos p n tan 2 p n tan 2 a 3 2 displaystyle Omega 2 2 pi 2n arcsin left cos left frac pi n right sqrt tan 2 left frac pi n right tan 2 left frac alpha 3 2 right right nbsp Spezialfalle Bearbeiten nbsp Pyramide als Teil eines IkosaedersFur bestimmte Werte von n displaystyle n nbsp und h displaystyle h nbsp ergeben sich Zusammenhange mit platonischen Korpern Fur n 3 displaystyle n 3 nbsp und h a 3 6 displaystyle h frac a 3 sqrt 6 nbsp ergibt sich das regelmassige Tetraeder Fur n 4 displaystyle n 4 nbsp und h a 2 2 displaystyle h frac a 2 sqrt 2 nbsp ergibt sich eine quadratische Pyramide die ein halbes regulares Oktaeder ist Fur n 5 displaystyle n 5 nbsp und h a 10 50 10 5 displaystyle h frac a 10 sqrt 50 10 sqrt 5 nbsp ergibt sich eine regelmassige funfseitige Pyramide die ein Teil des Ikosaeders ist Maximales Volumen im Fall n Bearbeiten nbsp Pyramiden mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberflache O displaystyle O nbsp rot Kegel mit derselben Eigenschaft und derselben Oberflache V Pyram V Kegel displaystyle V text Pyram V text Kegel nbsp n 3 0 78 n 4 0 89 displaystyle n 3 0 78 quad n 4 0 89 nbsp n 6 0 95 n 10 0 98 displaystyle n 6 0 95 quad n 10 0 98 nbsp Mit Uberlegungen wie fur eine gerade quadratische Pyramide siehe oben zeigt man Unter allen geraden regularen n seitigen Pyramiden mit vorgegebener Oberflache O displaystyle O nbsp hat diejenige das grosste Volumen fur die a O n cot p n displaystyle a sqrt frac O n cot frac pi n nbsp h 2 O cot p n n 2 O p p n cot p n displaystyle h sqrt 2 O sqrt frac cot frac pi n n sqrt tfrac 2 O pi cdot sqrt tfrac pi n cot tfrac pi n nbsp und damit h a 2 cot p n displaystyle h a sqrt 2 cot tfrac pi n nbsp gilt Der Umkreisradius des Basispolygons ist r u a 2 sin p n O 4 p 2 p n sin 2 p n displaystyle r u frac a 2 sin tfrac pi n sqrt tfrac O 4 pi cdot sqrt frac tfrac 2 pi n sin frac 2 pi n nbsp Das maximale Volumen ist V O 12 2 O p p n cot p n displaystyle V tfrac O 12 sqrt tfrac 2 O pi cdot sqrt tfrac pi n cot tfrac pi n nbsp Fur n displaystyle n nbsp gegen unendlich geht a displaystyle a nbsp monoton fallend gegen 0 displaystyle 0 nbsp und h displaystyle h nbsp monoton steigend gegen h k 2 O p displaystyle h k sqrt tfrac 2 O pi nbsp Letzteres ist die Hohe eines Kegels mit maximalem Volumen bei vorgegebener Oberflache O displaystyle O nbsp Bei der Grenzwertbildung wird lim x 0 sin x x 1 displaystyle lim x to 0 tfrac sin x x 1 nbsp verwendet Der Radius des Basiskreises des optimalen Kegels ist r k O 4 p displaystyle r k sqrt tfrac O 4 pi nbsp seine Hohe h k 2 2 r k 2 O p displaystyle h k 2 sqrt 2 r k sqrt tfrac 2 O pi nbsp und sein Volumen V k O 12 2 O p displaystyle V k tfrac O 12 sqrt tfrac 2 O pi nbsp Fur das Verhaltnis der Volumina gilt V Pyram V Kegel p n cot p n displaystyle frac V text Pyram V text Kegel sqrt frac pi n cot frac pi n nbsp das fur n displaystyle n to infty nbsp gegen 1 strebt Zusammenhang mit dem Kreiskegel Bearbeiten nbsp Pyramide zur Approximation eines KegelsRegelmassige Pyramiden die ein regelmassiges Vieleck als Grundflache haben konnen verwendet werden um einen Kreiskegel zu approximieren der nach Definition einen Kreis als Grundflache hat Wenn das regelmassige Vieleck n displaystyle n nbsp Ecken hat also ein n displaystyle n nbsp Eck ist kann formal der Grenzwert fur unendlich grosses n displaystyle n nbsp gebildet werden Der Kreiskegel kann sozusagen als regelmassige Pyramide aufgefasst werden wobei die Grundflache unendlich viele Ecken und die Seitenlange des n displaystyle n nbsp Ecks den Grenzwert 0 hat Im Folgenden soll auf diese Weise das Volumen des Kreiskegels hergeleitet werden Mithilfe der Formel fur den Flacheninhalt eines regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks siehe Regelmassiges Polygon Umfang und Flacheninhalt ergibt sich fur das Volumen V displaystyle V nbsp der regelmassigen Pyramide wenn der Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp des n displaystyle n nbsp Ecks bekannt ist V G h 3 n r u 2 2 sin 2 p n h 3 n r u 2 h 6 sin 2 p n displaystyle V frac Gh 3 n frac r u 2 2 sin left frac 2 pi n right frac h 3 frac nr u 2 h 6 sin left frac 2 pi n right nbsp Um das Volumen des Kreiskegels zu bestimmen kann der Grenzwert fur n displaystyle n nbsp gegen unendlich gebildet werden Dieser Grenzwert ergibt sich mit Hilfe der Formel lim x 0 sin x x 1 displaystyle lim x to 0 tfrac sin x x 1 nbsp V Kreiskegel lim n G h 3 lim n n r u 2 h 6 sin 2 p n displaystyle V text Kreiskegel lim n to infty frac Gh 3 lim n to infty frac n r u 2 h 6 sin left frac 2 pi n right nbsp r u 2 h 6 2 p lim n sin 2 p n 2 p n r u 2 h 6 2 p 1 1 3 p r u 2 h displaystyle qquad qquad frac r u 2 h 6 2 pi cdot lim n to infty frac sin left frac 2 pi n right frac 2 pi n frac r u 2 h 6 2 pi cdot 1 frac 1 3 pi r u 2 cdot h nbsp Herleitung der Volumenformel fur die allgemeine Pyramide BearbeitenFur die Herleitung des Volumens einer allgemeinen Pyramide gibt es mehrere Wege Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts Bearbeiten Eine von den Vektoren a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp aufgespannte dreiseitige Pyramide hat das Volumen V 1 6 a b c displaystyle V frac 1 6 cdot left left vec a times vec b right cdot vec c right nbsp Elementargeometrische Begrundung Bearbeiten Die erwahnte Volumenformel lasst sich elementargeometrisch in zwei Schritten begrunden Ein Wurfel kann in drei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundflache zerlegt werden deren Spitzen in einer Ecke des Wurfels zusammenfallen Die drei Grundflachen sind die drei Seitenflachen des Wurfels die diese gemeinsame Spitze nicht enthalten Zwei Pyramiden mit gleicher Grundflache und gleicher Hohe stimmen im Volumen uberein Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen dd Fur Pyramiden gilt demzufolge die Volumenformel V 1 3 G h displaystyle V frac 1 3 cdot G cdot h nbsp Begrundung mit Hilfe der Integralrechnung Bearbeiten Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundflache G displaystyle G nbsp und der Hohe h displaystyle h nbsp kann berechnet werden wenn man sich die Pyramide aus dunnen infinitesimalen Schichten der Dicke d y displaystyle mathrm d y nbsp parallel zur Grundflache aufgebaut vorstellt Eine y displaystyle y nbsp Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide sodass die Hohe h displaystyle h nbsp mit der y displaystyle y nbsp Achse zusammenfallt Bezeichnet man die Flache der Schicht im Abstand y displaystyle y nbsp von der Spitze mit A y displaystyle A y nbsp so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel fur A y displaystyle A y nbsp herleiten A y G y 2 h 2 displaystyle A y G y 2 h 2 nbsp A y G h 2 y 2 displaystyle A y frac G h 2 y 2 nbsp Daraus ergibt sich das Volumen der Pyramide durch Integration von y 0 displaystyle y 0 nbsp bis y h displaystyle y h nbsp nach dem Prinzip von Cavalieri V 0 h A y d y 0 h G h 2 y 2 d y G h 2 0 h y 2 d y G h 2 1 3 y 3 0 h G h 2 1 3 h 3 0 1 3 G h displaystyle V int 0 h A y mathrm d y int 0 h frac G h 2 y 2 mathrm d y frac G h 2 int 0 h y 2 mathrm d y frac G h 2 cdot frac 1 3 left y 3 right 0 h frac G h 2 cdot frac 1 3 left h 3 0 right frac 1 3 G cdot h nbsp Vermessung eines Pyramidenbauwerks Bearbeiten nbsp Betrachtung aus der Entfernung und Sehwinkelbestimmung in vereinfachter FormBei einer grossen Pyramide lassen sich die Kantenlangen der Basis direkt gut vermessen jedoch nicht die Hohe die nicht direkt zuganglich ist Im Folgenden sollen die grundsatzlichen Schwierigkeiten dargelegt werden die nicht so sehr mit der Methodik des Messverfahrens selbst zusammenhangen Ein einfaches geometrisches Verfahren zur Hohenbestimmung grosserer Objekte ist die Betrachtung aus der Entfernung und die Bestimmung des Sehwinkels in vereinfachter Form durch die nebenstehende Grafik aufgezeigt Im Abstand s displaystyle s nbsp von der unteren Pyramidenkante wird die Spitze der Pyramide unter dem gemessenen Winkel a displaystyle alpha nbsp angepeilt Der Abstand des Beobachtungspunktes von der Pyramidenspitze in horizontaler Linie ist somit der um die halbe Grundseite vermehrte Abstand von der Pyramidenkante a 2 s displaystyle a 2 s nbsp Die Hohe h displaystyle h nbsp ergibt sich aus der Formel in der Grafik Damit ware die Bestimmung der Hohe kein grosses Problem Es gibt jedoch folgende Schwierigkeiten Die Spitze der Pyramide liegt nicht unbedingt exakt uber dem Mittelpunkt der Grundflache Die Lange der Basiskante der Pyramide ist nicht sauber bestimmbar abgebrochene Steine Erosion Die Spitze ist nicht mehr vorhanden abgetragen Der Neigungswinkel der Pyramide ist schwer bestimmbar Abtragung Erosion Das entspricht bei den bekannten grossen Pyramiden weitgehend der Realitat Es muss definiert werden von welchem Bodenniveau aus die Hohe der Pyramide gelten soll also wo ihre Basis angenommen wird von dieser aus muss die Hohenabweichung des Beobachtungspunktes an dem a displaystyle alpha nbsp gemessen wird genau berucksichtigt werden Die Winkelmessung selbst kann in der Regel sehr prazise ausgefuhrt werden Angenommen die Basislange a displaystyle a nbsp der Pyramide liesse sich nicht genauer als auf 30 cm und damit die Entfernung a 2 s displaystyle a 2 s nbsp zum Messpunkt nicht genauer als auf 15 cm bestimmen Dadurch wurde bei einem Sehwinkel a displaystyle alpha nbsp von angenommenen 35 die Hohe um den Betrag von etwa 10 cm ungenau sein Ausserdem soll noch der Neigungswinkel b displaystyle beta nbsp der Seitenflache bestimmt werden Eine hypothetische grosse Pyramide der Basislange von 200 m und einer Hohe von 140 m hatte bei einer Ungenauigkeit der Hohenangabe von 10 cm eine Ungenauigkeit der Neigungswinkelangabe von etwa einer Bogenminute 54 27 44 bei h 140 0 m displaystyle h 140 0 mathrm m nbsp gegenuber 54 26 34 mit h 139 9 m displaystyle h 139 9 mathrm m nbsp Das gilt nun fur Pyramiden deren Spitze noch vorhanden ist Die Realitat sieht aber anders aus Die Hohenbestimmung gibt also nicht die ursprungliche Hohe wieder sondern die Hohe der abgetragenen Pyramide nbsp Problem bei ExtrapolationDie Spitze muss also extrapoliert werden Das nebenstehende Bild zeigt schematisch das Problem Sowohl die Seitenflachen als auch die Spitze sind durch Abriss und Verwitterung deutlich abgetragen Die Hohe h displaystyle h nbsp ware daher gemass der Formel aus der direkten Bestimmung des Neigungswinkels b displaystyle beta nbsp zuganglich Wie ersichtlich ist die Bestimmung mit grossen Fehlern behaftet Eine Ausnahme bildet die Chephren Pyramide weil diese im oberen Teil noch die originalen Decksteine hat Der Winkel b displaystyle beta nbsp ist dadurch genauer bestimmbar als bei den anderen Pyramiden Das erklart die gute Ubereinstimmung verschiedener Autoren hinsichtlich des Neigungswinkels Damit wird klar dass bei realen Pyramiden weder die Hohe auf den Zentimeter noch der Neigungswinkel auf die Bogensekunde exakt angegeben werden kann Verwandte Begriffe BearbeitenVerwandte Formen in der Geometrie sind der Pyramidenstumpf eine parallel zur Grundflache abgeschnittene Pyramide und die Doppelpyramide ein Polyeder aus zwei spiegelsymmetrischen Pyramiden mit derselben Grundflache Eine Hyperpyramide ist eine Verallgemeinerung auf n displaystyle n nbsp Dimensionen Die in diesem Artikel beschriebene Pyramide ist eine dreidimensionale Hyperpyramide Eine zweidimensionale Hyperpyramide ware ein Dreieck eine vierdimensionale ein Pentachoron Mit der Pyramide in der Architektur befasst sich der Artikel Pyramide Bauwerk Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Pyramids geometry Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Pyramid In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Kleine Enzyklopadie Mathematik 2 vollig uberarbeitete Auflage Harri Deutsch Thun CH Frankfurt 1977 ISBN 3 87144 323 9 S 208 Hans Joachim Bartsch Mathematische Formeln 5 unveranderter Nachdruck der 11 Auflage Buch und Zeit Verlagsgesellschaft Koln 1977 S 152 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pyramide Geometrie amp oldid 225967762