Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstuck zum zweidimensionalen fur die Ebene definierten Winkel Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum der z B im Inneren eines gegebenen Kegel oder Pyramidenmantels liegt Raumwinkel W displaystyle W in einer Kugel mit Radius R Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Masseinheiten 3 Darstellung mit Kugelkoordinaten 4 Raumwinkel eines Kegels 5 Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide 6 Raumwinkel von Polyedern 6 1 Formeln fur Raumwinkel 6 1 1 Ebenen Formel 6 1 2 Kanten Formel 6 1 3 Richtungsvektoren Formel 6 2 Beispiele mit 3 Kanten an einer Ecke 6 2 1 Regulares Tetraeder 6 2 2 Gerades Prisma 6 2 3 Oktaederstumpf 6 3 Beispiele mit mehr Kanten in einer Ecke 6 3 1 Gerade quadratische Pyramide 6 3 2 Regulares Ikosaeder 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDer Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp ist definiert als der Flacheninhalt A displaystyle A nbsp einer messbaren Teilflache F displaystyle F nbsp einer Kugeloberflache dividiert durch das Quadrat des Radius r displaystyle r nbsp der Kugel W A r 2 displaystyle Omega frac A r 2 nbsp Bei Betrachtung der Einheitskugel r 1 displaystyle r 1 nbsp ist A displaystyle A nbsp also betragsgleich dem zugehorigen Raumwinkel So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberflache der Einheitskugel namlich 4 p displaystyle 4 pi nbsp Die Teilflache kann von beliebiger Umrissform sein Vektoriell geschrieben als Flachenintegral ist W F n d A r 2 displaystyle Omega iint F frac hat vec n cdot mathrm d vec A r 2 nbsp Dabei ist n displaystyle hat vec n nbsp der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung d A displaystyle mathrm d vec A nbsp das differentielle Flachenelement und r displaystyle r nbsp dessen Abstand vom Koordinatenursprung Existiert dieses Integral dann ist die Teilflache messbar und dies ist sowohl bei abgeschlossenen wie offenen Teilmengen der Kugeloberflache der Fall Anders als das Bild vielleicht vermuten lasst spielt die Umrissform des Flachenstucks keine Rolle Jede Umrissform auf der Kugeloberflache mit dem gleichen Flacheninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Grosse Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt dann erhalt man eine geometrische Figur die den Raumwinkel veranschaulicht Dies ist vergleichbar mit der Darstellung fur einen Winkel in der Ebene Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt Masseinheiten BearbeitenObwohl der Raumwinkel eine Grosse der Dimension Zahl ist wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant sr angegeben dies entspricht dem Bogenmass mit der Einheit Radiant rad beim ebenen Winkel Ein Raumwinkel von 1 sr umschliesst auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Flache von 1 m2 Da eine ganze Kugeloberflache den Flacheninhalt 4 p r 2 displaystyle 4 cdot pi cdot r 2 nbsp hat ist der zugehorige volle Raumwinkel W 4 p s r 12 566 37 s r displaystyle Omega 4 cdot pi mathrm sr approx 12 56637 mathrm sr nbsp Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad angegeben 1 ist gleich 2 p 360 2 0 000 30462 s r displaystyle left tfrac 2 pi 360 right 2 approx 0 00030462 mathrm sr nbsp Die Verwendung einer Hilfsmasseinheit fur eine Grosse der Dimension Zahl hat wie auf vielen Gebieten insbesondere auch beim Raumwinkel den Vorteil dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist welche physikalische Grosse gemeint ist Die Lichtstarke cd lm sr zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom lm ihre Abhangigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit Die Lichtstarke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhangigen Lichtstrom Darstellung mit Kugelkoordinaten Bearbeiten nbsp Ein Raumwinkel aus einem kartesischen PolarkoordinatenabschnittDer Raumwinkel eines Kugeldreiecks betragt in Abhangigkeit von seinen Innenwinkeln a b g p displaystyle alpha beta gamma pi nbsp Steradiant siehe Kugeldreieck Eigenschaften In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders ubersichtlich definiert werden da es keine radiale Variable gibt Zwei Meridianwinkel f 1 displaystyle varphi 1 nbsp f 2 displaystyle varphi 2 nbsp und zwei Breitenwinkel g 1 displaystyle gamma 1 nbsp g 2 displaystyle gamma 2 nbsp bestimmen ein Flachenelement auf einer Kugeloberflache Der zugehorige Raumwinkel betragt W f 1 f 2 g 1 g 2 sin g d g d f displaystyle Omega int limits varphi 1 varphi 2 int limits gamma 1 gamma 2 sin gamma mathrm d gamma mathrm d varphi nbsp Raumwinkel eines Kegels Bearbeiten nbsp Kanonischer RaumwinkelWahlt man als Umrissform auf der Kugeloberflache einen Kreis so erhalt man den kanonischen Raumwinkel Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt Ist 2 8 displaystyle 2 theta nbsp der Offnungswinkel in der Spitze des Kegels dann ergibt sich der Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp aus dem Doppelintegral 1 W 0 2 p 0 8 sin 8 d 8 d ϕ 0 2 p d ϕ 0 8 sin 8 d 8 2 p 1 cos 8 4 p sin 2 8 2 displaystyle begin aligned Omega amp int 0 2 pi int 0 theta sin theta mathrm d theta mathrm d phi int 0 2 pi mathrm d phi int 0 theta sin theta mathrm d theta amp 2 cdot pi cdot 1 cos theta amp 4 cdot pi cdot sin 2 left tfrac theta 2 right end aligned nbsp nbsp Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta nbsp in Grad 0 1 2 5 10 15 30 45 57 2958Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta nbsp in Radiant 0 0000 0 0175 0 0349 0 0873 0 1745 0 2618 0 5236 0 7854 1 0000Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp in Quadratgrad 0 00 0 79 3 14 19 63 78 49 176 46 702 83 1570 10 2525 04Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp in Steradiant 0 0000 0 0002 0 0010 0 0060 0 0239 0 0538 0 2141 0 4783 0 7692Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta nbsp in Grad 60 65 5411 75 90 120 150 180 270 360Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta nbsp in Radiant 1 0472 1 1439 1 3090 1 5708 2 0944 2 6180 3 1416 4 7124 6 2832Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp in Quadratgrad 2763 42 3282 81 4262 39 6041 36 10313 24 15287 95 20626 48 35211 60 41252 96Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp in Steradiant 0 8418 1 0000 1 2984 1 8403 3 1416 4 6570 6 2832 10 7261 12 5664Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide Bearbeiten nbsp Zum Raumwinkel einer PyramideDer Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide wobei der Ursprung genau senkrecht uber dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe siehe Abbildung Dieser Raumwinkel tritt z B bei der Berechnung der Etendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf Er lasst sich sehr leicht mit der Oosterom und Strackee Formel berechnen Mit den Pyramidengrundseiten w x displaystyle w x nbsp und w y displaystyle w y nbsp sowie der Hohe h ergibt sich W 4 arctan w x w y 2 h 4 h 2 w x 2 w y 2 displaystyle Omega 4 cdot arctan left frac w x cdot w y 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 w x 2 w y 2 right nbsp Verwendet man fur die Berechnung die beiden Offnungswinkel 2 f x displaystyle 2 cdot varphi x nbsp und 2 f y displaystyle 2 cdot varphi y nbsp wobei tan f x w x 2 h displaystyle tan varphi x frac w x 2 cdot h nbsp und tan f y w y 2 h displaystyle tan varphi y frac w y 2 cdot h nbsp ist so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen W 4 arcsin sin f x sin f y displaystyle Omega 4 cdot arcsin left sin varphi x cdot sin varphi y right nbsp Beispiele Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45 f x 22 5 displaystyle varphi x 22 5 circ nbsp und 20 f y 10 displaystyle varphi y 10 circ nbsp ein Der Raumwinkel betragt 0 27 sr Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20 gross dann umfasst der Raumwinkel 0 12 sr Der kanonische Raumwinkel einer 20 Kreisblende liegt bei 0 10 sr Raumwinkel von Polyedern BearbeitenFormeln fur Raumwinkel Bearbeiten Im Folgenden sind P 0 P 1 P 2 P 3 displaystyle P 0 P 1 P 2 P 3 nbsp vier Punkte so dass die Vektoren P 0 P 1 P 0 P 2 P 0 P 3 displaystyle overrightarrow P 0 P 1 overrightarrow P 0 P 2 overrightarrow P 0 P 3 nbsp nicht in einer Ebene liegen den Raum aufspannen k 0 displaystyle k 0 nbsp ist die Einheitskugel um P 0 displaystyle P 0 nbsp und S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp die Schnittpunkte der Geraden P 0 P 1 P 0 P 2 P 0 P 3 displaystyle overline P 0 P 1 overline P 0 P 2 overline P 0 P 3 nbsp mit der Einheitskugel k 0 displaystyle k 0 nbsp P 0 P 1 P 2 P 3 displaystyle P 0 P 1 P 2 P 3 nbsp bilden ein Tetraeder nbsp Wurfel mit Einheitskugel in einer EckeEbenen Formel Bearbeiten Die Winkel a 1 a 2 a 3 displaystyle alpha 1 alpha 2 alpha 3 nbsp des spharischen Dreiecks S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp sind die Winkel zwischen den drei Ebenen die durch die drei Punktetripel P 0 P 1 P 2 displaystyle P 0 P 1 P 2 nbsp P 0 P 2 P 3 displaystyle P 0 P 2 P 3 nbsp P 0 P 3 P 1 displaystyle P 0 P 3 P 1 nbsp aufgespannt werden Der Flacheninhalt des spharischen Dreiecks S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 nbsp ist der Raumwinkel in der Tetraederecke P 0 displaystyle P 0 nbsp siehe oben W a 1 a 2 a 3 p displaystyle Omega alpha 1 alpha 2 alpha 3 pi nbsp Beispiel Fur P 0 0 0 0 P 1 2 0 0 P 2 0 2 0 P 3 0 0 2 displaystyle P 0 0 0 0 P 1 2 0 0 P 2 0 2 0 P 3 0 0 2 nbsp sind die Winkel a 1 a 2 a 3 90 p 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 alpha 3 90 circ tfrac pi 2 nbsp und der Raumwinkel im Nullpunkt gleich W 3 p 2 p p 2 1 570 7 s r displaystyle Omega 3 cdot frac pi 2 pi frac pi 2 approx 1 5707 mathrm sr nbsp Kanten Formel Bearbeiten Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders mit drei zusammentreffenden Seitenflachen Polygonen kann mit dem Satz von L Huilier berechnet werden 2 Fur den Raumwinkel der in der Ecke mit den zusammentreffenden Innenwinkeln 8 1 8 2 8 3 displaystyle theta 1 theta 2 theta 3 nbsp der drei Seitenflachen liegt gilt W 4 arctan tan 8 1 8 2 8 3 4 tan 8 1 8 2 8 3 4 tan 8 1 8 2 8 3 4 tan 8 1 8 2 8 3 4 displaystyle Omega 4 cdot arctan left sqrt tan left tfrac theta 1 theta 2 theta 3 4 right cdot tan left tfrac theta 1 theta 2 theta 3 4 right cdot tan left tfrac theta 1 theta 2 theta 3 4 right cdot tan left tfrac theta 1 theta 2 theta 3 4 right right nbsp Beispiele Fur P 0 0 0 0 P 1 2 0 0 P 2 0 2 0 P 3 0 0 2 displaystyle P 0 0 0 0 P 1 2 0 0 P 2 0 2 0 P 3 0 0 2 nbsp sind die Winkel 8 1 8 2 8 3 90 displaystyle theta 1 theta 2 theta 3 90 circ nbsp und W 4 arctan tan 270 4 tan 90 4 tan 90 4 tan 90 4 displaystyle Omega 4 cdot arctan left sqrt tan left tfrac 270 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right right nbsp Der Raumwinkel im Punkt P 0 displaystyle P 0 nbsp ist wie schon berechnet gleich W p 2 1 570 7 s r displaystyle Omega frac pi 2 approx 1 5707 mathrm sr nbsp Fur eine quadratische Pyramide mit den Winkeln 8 1 90 8 2 75 8 3 75 displaystyle theta 1 90 circ theta 2 75 circ theta 3 75 circ nbsp in den Ecken der quadratischen Grundflache gilt W 4 arctan tan 240 4 tan 60 4 tan 90 4 tan 90 4 displaystyle Omega 4 cdot arctan left sqrt tan left tfrac 240 circ 4 right cdot tan left tfrac 60 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right right nbsp In diesem Fall betragt der Raumwinkel jeweils W 1 100 1 s r displaystyle Omega approx 1 1001 mathrm sr nbsp Richtungsvektoren Formel Bearbeiten Sind die Vektoren r 1 r 2 r 3 displaystyle vec r 1 vec r 2 vec r 3 nbsp Richtungsvektoren der Geraden P 0 P 1 P 0 P 2 P 0 P 3 displaystyle overline P 0 P 1 overline P 0 P 2 overline P 0 P 3 nbsp so gilt fur den Raumwinkel W 2 arctan r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 3 r 2 r 2 r 3 r 1 displaystyle Omega 2 cdot arctan left frac vec r 1 vec r 2 vec r 3 vec r 1 cdot vec r 2 cdot vec r 3 vec r 1 cdot vec r 2 cdot vec r 3 vec r 1 cdot vec r 3 cdot vec r 2 vec r 2 cdot vec r 3 cdot vec r 1 right nbsp Dabei ist r 1 r 2 r 3 displaystyle vec r 1 vec r 2 vec r 3 nbsp das Spatprodukt der Vektoren r 1 displaystyle vec r 1 nbsp r 2 displaystyle vec r 2 nbsp und r 3 displaystyle vec r 3 nbsp r 1 r 2 displaystyle vec r 1 cdot vec r 2 nbsp ist das Skalarprodukt und r 1 displaystyle vec r 1 nbsp ist die Lange des Vektors Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee 3 angegeben und bewiesen Beispiel Fur P 0 0 0 0 P 1 2 0 0 P 2 0 2 0 P 3 0 0 2 displaystyle P 0 0 0 0 P 1 2 0 0 P 2 0 2 0 P 3 0 0 2 nbsp sind r 1 P 0 P 1 r 2 P 0 P 2 r 3 P 0 P 3 displaystyle vec r 1 overrightarrow P 0 P 1 vec r 2 overrightarrow P 0 P 2 vec r 3 overrightarrow P 0 P 3 nbsp Richtungsvektoren Mit r 1 r 2 r 3 8 r i 2 r i r j 0 displaystyle vec r 1 vec r 2 vec r 3 8 vec r i 2 vec r i cdot vec r j 0 nbsp fur i j displaystyle i neq j nbsp ergibt sich wie schon berechnet W 2 arctan 1 p 2 displaystyle Omega 2 cdot arctan left 1 right frac pi 2 nbsp Beispiele mit 3 Kanten an einer Ecke Bearbeiten Die drei Formeln zur Bestimmung des Raumwinkels konnen auf alle Polyederecken mit drei Kanten Ebenen angewandt werden Regulares Tetraeder Bearbeiten nbsp Tetraeder RaumwinkelBei einem regularen Tetraeder sind die Winkel zwischen den Seitenflachen a 1 a 2 a 3 arctan 2 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 alpha 3 arctan left 2 cdot sqrt 2 right nbsp und nach der Ebenen Formel gilt W 3 arctan 2 2 p 0 551 3 s r displaystyle Omega 3 cdot arctan left 2 cdot sqrt 2 right pi approx 0 5513 mathrm sr nbsp Die Kantenwinkel sind 8 1 8 2 8 3 60 displaystyle theta 1 theta 2 theta 3 60 circ nbsp und damit gilt nach der Kanten Formel W 4 arctan tan 45 tan 15 3 4 arctan 26 15 3 2 arctan 2 5 arctan 10 2 23 arcsin 10 2 27 arccos 23 27 0 551 3 s r displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan 45 circ cdot tan 15 circ 3 right amp 4 cdot arctan left sqrt 26 15 cdot sqrt 3 right 2 cdot arctan left frac sqrt 2 5 right arctan left frac 10 cdot sqrt 2 23 right arcsin left frac 10 cdot sqrt 2 27 right arccos left frac 23 27 right amp approx 0 5513 mathrm sr end aligned nbsp Gerades Prisma Bearbeiten Ein gerades Prisma besitzt ein Polygon als Grundflache und zur Grundflache senkrechte weitere Kanten Ebenen Ist der Winkel in einem Punkt P displaystyle P nbsp des Grundflachenpolygons a displaystyle alpha nbsp so folgt aus der Ebenenformel wegen der Orthogonalitat der Seitenflachen fur den Raumwinkel in P displaystyle P nbsp W a p 2 p 2 p a displaystyle Omega alpha frac pi 2 frac pi 2 pi alpha nbsp nbsp gerades Prisma nbsp Oktaederstumpf Oktaederstumpf Bearbeiten nbsp Raumfullung mit kongruenten Oktaederstumpfen In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstumpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel Ein Oktaederstumpf entsteht durch Beschneidung eines regularen Oktaeders In einer Ecke P displaystyle P nbsp treffen sich 3 Kanten und drei Ebenen zwei regulare Sechsecke und ein Quadrat Es gibt also zwei Flachenwinkel a 1 displaystyle alpha 1 nbsp zwischen zwei Sechsecken und a 2 displaystyle alpha 2 nbsp zwischen einem Sechseck und einem Quadrat Es gilt siehe Oktaederstumpf a 1 2 arctan 2 a 2 p arctan 2 displaystyle alpha 1 2 cdot arctan left sqrt 2 right quad alpha 2 pi arctan left sqrt 2 right nbsp Damit ist nach der obigen Ebenenformel der Raumwinkel im Punkt P displaystyle P nbsp W a 1 2 a 2 p p displaystyle Omega alpha 1 2 cdot alpha 2 pi pi nbsp Die Innenwinkel die an einer Basisecke zusammentreffen sind 8 1 120 8 2 120 8 3 90 displaystyle theta 1 120 circ theta 2 120 circ theta 3 90 circ nbsp Aus der Kanten Formel folgt daraus W 4 arctan tan 330 4 tan 90 4 tan 90 4 tan 150 4 4 arctan 1 p displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan left tfrac 330 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right cdot tan left tfrac 150 circ 4 right right amp 4 cdot arctan left 1 right pi end aligned nbsp Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich 1 4 displaystyle tfrac 1 4 nbsp des vollen Raumwinkels Dieses Ergebnis wird dadurch bestatigt dass sich der dreidimensionale euklidische Raum luckenlos mit kongruenten Oktaederstumpfen ausfullen lasst wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstumpfe zusammentreffen siehe Raumfullung Beispiele mit mehr Kanten in einer Ecke Bearbeiten Gehen durch eine Polyederecke mehr als 3 Kanten hat man ein spharisches Polygon mit mehr als 3 Ecken In vielen Fallen lasst sich das spharische Polygon mit Hilfe eines inneren Hilfspunktes Z displaystyle Z nbsp in spharische Dreiecke zerlegen analog zur Triangulierung eines ebenen konvexen Polygons Gerade quadratische Pyramide Bearbeiten nbsp Gerade quadratische Pyramide Zur Raumwinkelberechnung an der Spitze zerlegtFur eine gerade quadratische Pyramide mit der Quadratseitenlange a displaystyle a nbsp und Hohe h displaystyle h nbsp ist der Winkel zwischen den Dreiecken b 1 2 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 2 displaystyle beta 1 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 2 cdot a 2 right nbsp Schneidet man aus der Pyramide wie aus einem Kuchen entlang der Pyramidenhohe und durch jeweils zwei benachbarte Basispunkte erhalt man eine Pyramide mit dreieckiger Grundflache und einer Pyramidenkante an der Basis Fur den Raumwinkel an der Spitze der dreieckigen Pyramide ergibt sich W 3 p 2 b 1 2 b 1 2 p b 1 p 2 displaystyle Omega 3 frac pi 2 frac beta 1 2 frac beta 1 2 pi beta 1 frac pi 2 nbsp 2 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 2 p 2 displaystyle quad 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 2 cdot a 2 right frac pi 2 nbsp und der Raumwinkel der Pyramide an der Spitze ist W S 4 W 3 8 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 2 2 p displaystyle Omega S 4 cdot Omega 3 8 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 2 cdot a 2 right 2 cdot pi nbsp Der Winkel zwischen einem Dreieck und dem Quadrat ist b 2 arctan 2 h a displaystyle beta 2 arctan left frac 2 cdot h a right nbsp Mit der Ebenen Formel ergibt sich fur den Raumwinkel an einer Basisecke W B b 1 b 2 b 2 p displaystyle Omega B beta 1 beta 2 beta 2 pi nbsp 2 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 2 2 arctan 2 h a p displaystyle 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 2 cdot a 2 right 2 cdot arctan left frac 2 cdot h a right pi nbsp Bemerkungen Fur h a 2 displaystyle h frac a sqrt 2 nbsp ist diese Pyramide sozusagen ein halbes Oktaeder In diesem Fall ist der Raumwinkel an der Spitze W O 8 arctan 2 2 p 1 359 3 s r displaystyle Omega O 8 cdot arctan left sqrt 2 right 2 cdot pi approx 1 3593 mathrm sr nbsp Der Raumwinkel an einer Basisecke wo das Quadrat und zwei gleichseitige Dreiecke zusammentreffen ist W B 4 arctan 2 p 0 679 7 s r displaystyle Omega B 4 cdot arctan left sqrt 2 right pi approx 0 6797 mathrm sr nbsp Dieser Winkel ist halb so gross wie der Raumwinkel an der Spitze also gilt W B W O 2 displaystyle Omega B frac Omega O 2 nbsp Dies wird offensichtlich wenn 2 dieser Pyramiden zu einem Oktaeder vervollstandigt werden Die Innenwinkel die an einer Basisecke zusammentreffen sind 8 1 90 8 2 60 8 3 60 displaystyle theta 1 90 circ theta 2 60 circ theta 3 60 circ nbsp Aus der Kanten Formel folgt daraus W B 4 arctan tan 210 4 tan 30 4 tan 30 4 tan 90 4 4 arctan 3 2 2 2 arctan 2 4 arctan 4 2 7 arcsin 4 2 9 arccos 7 9 displaystyle begin aligned Omega B amp 4 cdot arctan left sqrt tan left tfrac 210 circ 4 right cdot tan left tfrac 30 circ 4 right cdot tan left tfrac 30 circ 4 right cdot tan left tfrac 90 circ 4 right right amp 4 cdot arctan left 3 2 cdot sqrt 2 right 2 cdot arctan left frac sqrt 2 4 right arctan left frac 4 cdot sqrt 2 7 right arcsin left frac 4 cdot sqrt 2 9 right arccos left frac 7 9 right end aligned nbsp mit dem gleichen Ergebnis Die Umformungen ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln der Additionstheoreme fur den Tangens und der Gleichungen 2 arctan x arctan 2 x 1 x 2 displaystyle 2 cdot arctan x arctan left frac 2 cdot x 1 x 2 right nbsp arctan x arcsin x 1 x 2 displaystyle arctan x arcsin left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp und arctan x arccos 1 1 x 2 displaystyle arctan x arccos left frac 1 sqrt 1 x 2 right nbsp nbsp Quadratische Pyramide halbes Oktaeder nbsp Ikosaeder Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp Regulares Ikosaeder Bearbeiten Die hier geschilderte Methode wird auch bei der Bestimmung des Raumwinkels eines regularen Ikosaeders angewandt Bei einem Ikosaeder gehen durch jede Ecke 5 Kanten Es wird der Raumwinkel einer Pyramide mit einem regularen Funfeck als Basis bestimmt Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Solid angle Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Oleg Mazonka Solid Angle of Conical Surfaces Polyhedral Cones and Intersecting Spherical Caps Wolfram MathWorld Spherical Excess A Van Oosterom J Strackee The Solid Angle of a Plane Triangle In Biomedical Engineering IEEE Transactions on BME 30 Nr 2 1983 S 125 126 doi 10 1109 TBME 1983 325207 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Raumwinkel amp oldid 234956827
