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Oktaederstumpf Der ist ein Polyeder Vielflächner das zu den archimedischen Körpern zählt und durch Abstumpfung der sechs

Oktaederstumpf

Der Oktaederstumpf ist ein Polyeder (Vielflächner), das zu den archimedischen Körpern zählt und durch Abstumpfung der sechs Ecken eines Oktaeders entsteht. Anstelle der Ecken befinden sich nun dort sechs Quadrate; aus den acht regelmäßigen Dreiecken werden regelmäßige Sechsecke (Hexagon). Der Oktaederstumpf tritt gegenüber verwandten Polyedern dadurch hervor, dass er lückenlos den Raum füllt und eine sehr geringe Oberfläche pro Volumen besitzt.

3D-Ansicht eines abgestumpften Oktaeders (Animation)
Entstehung des Oktaederstumpfs aus einem Oktaeder
Körpernetz eines Oktaederstumpfs

Eigenschaften Bearbeiten

Der Oktaederstumpf weist mehrere Symmetrien auf. Seine 24 Ecken sind alle gleichwertig: An jeder Ecke treffen sich ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke, und durch Drehung des Körpers kann jede Ecke auf eine beliebige andere Ecke abgebildet werden. Im kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse lässt sich der Oktoederstumpf so am Koordinatenursprung zentrieren, dass die Koordinaten seiner Ecken Permutationen von (0, ±1, ±2) sind. Die Kantenlänge ist dann .

Fügt man bei der Abstumpfung eines Oktaeders zum Oktaederstumpf die sechs abgeschnittenen Pyramiden derart paarweise zusammen, dass ihre quadratischen Grundflächen aufeinandertreffen, so entstehen drei vollwertige Oktaeder.

Der zum Oktaederstumpf duale Körper ist das Tetrakishexaeder.

Raumfüllung Bearbeiten

Oktaederstümpfe füllen den Raum lückenlos aus, wenn sie – wie in den folgenden Grafiken gezeigt – zu einer Parkettierung des Raums aneinandergefügt werden. Aus diesem Grund wurde seine Form unter anderem als Grundbaustein für Schaum, Werkstoffe und für modulare Raumschiffe oder Raumstationen vorgeschlagen.

Zusätzlich gibt es mehrere Raumfüllungen mit Lücken, die auf Oktaederstümpfen aufbauen. Diese entsprechen der Kristallstruktur von Zeolith A, Zeolith X, Zeolith Y, Sodalith und Faujasit.

Formeln Bearbeiten

Größen eines Oktaederstumpfs mit Kantenlänge a
Volumen
 ≈ 11,31 a3
Oberflächeninhalt
 ≈ 26,78 a2
Umkugelradius
 ≈ 1,58 a
Kantenkugelradius
 = 1,5 a
1. Flächenwinkel
 (Hexagon–Hexagon)
 ≈ 109° 28′ 16″
2. Flächenwinkel
 (Hexagon–Quadrat)
 ≈ 125° 15′ 52″
Eckenraumwinkel
 = π
Sphärizität
 ≈ 0,90992

Herleitung der Formeln Bearbeiten

Oktaederstumpf
Oktaederstumpf: Grundriss und Aufriss, das Oktaeder ist grün

Der Oktaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Spitzen eines regulären Oktaeders so, dass die Kanten des Oktaeders auf 1/3 gekürzt werden. Bezeichnet die Länge der Kante des Oktaeders, die Höhe des Oktaeders und die Kantenlänge des Oktaederstumpfes, so gilt

Aus dem zweiten Bild erkennt man:

Der Kantenkugelradius ist

Der Umkugelradius ist

Die größte Kugel, die in einen Oktaederstumpf passt, berührt nur die Sechsecke und hat den Radius

Die Kugel, die die Quadrate von innen berührt, hat den Radius .

Ein Sechseck hat denselben Neigungswinkel wie die Seitenflächen des Oktaeders. Es gilt:

Hieraus ergibt sich der Winkel zwischen zwei Sechsecken. Er ist (wie beim Oktaeder zwischen den Dreiecken):

Der Winkel zwischen einem Sechseck und einem Quadrat ist (siehe Bild)

Da in einer Ecke zwei Sechsecke mit dem Winkel und ein Quadrat mit den beiden Sechsecken mit dem Winkel zusammentreffen, ergibt sich aus der Ebenenformel für die Berechnung eines Raumwinkels:

Dem Oktaeder werden 6 halbe reguläre Oktaeder der Kantenlänge abgeschnitten. Das Volumen des großen Oktaeders nimmt also um 3 mal das Volumen des kleinen Oktaeders ab:

Das Volumen des Oktaederstumpfes ist

Die Oberfläche des großen Oktaeders nimmt um die Oberfläche von 3 kleinen Oktaedern ab und nimmt um die Fläche von 6 Schnittquadraten zu:

Die Oberfläche ist

Koordinaten:
Für die obigen Bilder wurden die 24 Punkte des Oktaederstumpfes wie folgt koordinatisiert:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Oktaederstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Oktaederstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Patent DE102006050393: Lastaufnehmende Raumgitterstruktur, Leichtbauelement und Verfahren zu dessen Herstellung. Veröffentlicht am 30. April 2008.‌ sowie die darauf aufbauende Firma http://www.octamold.com/
  2. Patent DE4431290: Kernreaktor mit im Reaktorcore befindlicher loser Schüttung. Veröffentlicht am 4. Juni 1996, Anmelder: Forschungszentrum Jülich.‌
  3. O. L. de Weck, W. D. Nadir, J. G. Wong, G. Bounova und T. M. Coffee: Modular Structures for Manned Space Exploration: The Truncated Octahedron as a Building Block. In: 1st Space Exploration Conference: Continuing the Voyage of Discovery. Orlando, Florida 2005 (Online [PDF; 2,4 MB; abgerufen am 1. September 2021]).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Oktaederstumpf ist ein Polyeder Vielflachner das zu den archimedischen Korpern zahlt und durch Abstumpfung der sechs Ecken eines Oktaeders entsteht Anstelle der Ecken befinden sich nun dort sechs Quadrate aus den acht regelmassigen Dreiecken werden regelmassige Sechsecke Hexagon Der Oktaederstumpf tritt gegenuber verwandten Polyedern dadurch hervor dass er luckenlos den Raum fullt und eine sehr geringe Oberflache pro Volumen besitzt 3D Ansicht eines abgestumpften Oktaeders Animation Entstehung des Oktaederstumpfs aus einem OktaederKorpernetz eines Oktaederstumpfs Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Raumfullung 2 Formeln 3 Herleitung der Formeln 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenDer Oktaederstumpf weist mehrere Symmetrien auf Seine 24 Ecken sind alle gleichwertig An jeder Ecke treffen sich ein Quadrat und zwei regelmassige Sechsecke und durch Drehung des Korpers kann jede Ecke auf eine beliebige andere Ecke abgebildet werden Im kartesischen Koordinatensystem mit x y und z Achse lasst sich der Oktoederstumpf so am Koordinatenursprung zentrieren dass die Koordinaten seiner Ecken Permutationen von 0 1 2 sind Die Kantenlange ist dann a 2 displaystyle a sqrt 2 nbsp Fugt man bei der Abstumpfung eines Oktaeders zum Oktaederstumpf die sechs abgeschnittenen Pyramiden derart paarweise zusammen dass ihre quadratischen Grundflachen aufeinandertreffen so entstehen drei vollwertige Oktaeder Der zum Oktaederstumpf duale Korper ist das Tetrakishexaeder Raumfullung Bearbeiten Oktaederstumpfe fullen den Raum luckenlos aus wenn sie wie in den folgenden Grafiken gezeigt zu einer Parkettierung des Raums aneinandergefugt werden Aus diesem Grund wurde seine Form unter anderem als Grundbaustein fur Schaum Werkstoffe 1 2 und fur modulare Raumschiffe oder Raumstationen 3 vorgeschlagen Zusatzlich gibt es mehrere Raumfullungen mit Lucken die auf Oktaederstumpfen aufbauen Diese entsprechen der Kristallstruktur von Zeolith A Zeolith X Zeolith Y Sodalith und Faujasit nbsp nbsp nbsp Formeln BearbeitenGrossen eines Oktaederstumpfs mit Kantenlange aVolumen 11 31 a3 V 8 2 a 3 displaystyle V 8 sqrt 2 cdot a 3 nbsp Oberflacheninhalt 26 78 a2 A O 6 1 2 3 a 2 displaystyle A O 6 left 1 2 sqrt 3 right cdot a 2 nbsp Umkugelradius 1 58 a r u a 2 10 displaystyle r u frac a 2 sqrt 10 nbsp Kantenkugelradius 1 5 a r k 3 2 a displaystyle r k frac 3 2 a nbsp 1 Flachenwinkel Hexagon Hexagon 109 28 16 b 1 2 arctan 2 109 47 displaystyle beta 1 2 arctan sqrt 2 approx 109 47 circ nbsp 2 Flachenwinkel Hexagon Quadrat 125 15 52 b 2 180 arctan 2 125 26 displaystyle beta 2 180 circ arctan sqrt 2 approx 125 26 circ nbsp Eckenraumwinkel p W b 1 2 b 2 p p displaystyle Omega beta 1 2 beta 2 pi pi nbsp Spharizitat 0 90992 PS 4 9 p 3 3 6 3 displaystyle Psi frac 4 sqrt 3 9 pi 3 6 sqrt 3 nbsp Herleitung der Formeln Bearbeiten nbsp Oktaederstumpf nbsp Oktaederstumpf Grundriss und Aufriss das Oktaeder ist grunDer Oktaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Spitzen eines regularen Oktaeders so dass die Kanten des Oktaeders auf 1 3 gekurzt werden Bezeichnet a 0 displaystyle a 0 nbsp die Lange der Kante des Oktaeders h 0 displaystyle h 0 nbsp die Hohe des Oktaeders und a displaystyle a nbsp die Kantenlange des Oktaederstumpfes so gilt a 0 3 a h 0 a 0 2 3 a 2 displaystyle a 0 3a quad h 0 frac a 0 sqrt 2 frac 3a sqrt 2 nbsp Aus dem zweiten Bild erkennt man Der Kantenkugelradius ist r k a 0 2 3 a 2 displaystyle r k frac a 0 2 frac 3a 2 nbsp Der Umkugelradius ist r u r k 2 a 2 2 a 2 10 displaystyle r u sqrt r k 2 left frac a 2 right 2 frac a 2 sqrt 10 nbsp Die grosste Kugel die in einen Oktaederstumpf passt beruhrt nur die Sechsecke und hat den Radius r i a 2 6 1 225 a displaystyle r i frac a 2 sqrt 6 approx 1 225 a nbsp Die Kugel die die Quadrate von innen beruhrt hat den Radius a 2 1 414 a displaystyle a sqrt 2 approx 1 414 a nbsp Ein Sechseck hat denselben Neigungswinkel g displaystyle gamma nbsp wie die Seitenflachen des Oktaeders Es gilt tan g h 0 a 0 2 2 displaystyle tan gamma frac h 0 a 0 2 sqrt 2 nbsp Hieraus ergibt sich der Winkel b 1 displaystyle beta 1 nbsp zwischen zwei Sechsecken Er ist wie beim Oktaeder zwischen den Dreiecken b 1 2 g 2 arctan 2 109 47 displaystyle beta 1 2 gamma 2 arctan sqrt 2 approx 109 47 circ nbsp Der Winkel b 2 displaystyle beta 2 nbsp zwischen einem Sechseck und einem Quadrat ist siehe Bild b 2 180 g 180 arctan 2 125 26 displaystyle beta 2 180 circ gamma 180 circ arctan sqrt 2 approx 125 26 circ nbsp Da in einer Ecke zwei Sechsecke mit dem Winkel b 1 displaystyle beta 1 nbsp und ein Quadrat mit den beiden Sechsecken mit dem Winkel b 2 displaystyle beta 2 nbsp zusammentreffen ergibt sich aus der Ebenenformel fur die Berechnung eines Raumwinkels W b 1 b 2 b 2 p 2 arctan 2 2 p arctan 2 p displaystyle Omega beta 1 beta 2 beta 2 pi 2 arctan sqrt 2 2 left pi arctan sqrt 2 right pi nbsp p displaystyle quad pi nbsp Dem Oktaeder werden 6 halbe regulare Oktaeder der Kantenlange a displaystyle a nbsp abgeschnitten Das Volumen des grossen Oktaeders nimmt also um 3 mal das Volumen des kleinen Oktaeders ab Das Volumen des Oktaederstumpfes ist V 2 3 a 0 3 3 2 3 a 3 8 2 a 3 displaystyle V frac sqrt 2 3 a 0 3 3 frac sqrt 2 3 a 3 8 sqrt 2 cdot a 3 nbsp Die Oberflache des grossen Oktaeders nimmt um die Oberflache von 3 kleinen Oktaedern ab und nimmt um die Flache von 6 Schnittquadraten zu Die Oberflache ist A O 2 3 a 0 2 3 2 3 a 2 6 a 2 18 3 a 2 6 3 a 2 6 a 2 displaystyle A O 2 sqrt 3 a 0 2 3 cdot 2 sqrt 3 a 2 6a 2 18 sqrt 3 a 2 6 sqrt 3 a 2 6a 2 nbsp 6 2 3 1 a 2 displaystyle quad 6 left 2 sqrt 3 1 right cdot a 2 nbsp Koordinaten Fur die obigen Bilder wurden die 24 Punkte des Oktaederstumpfes wie folgt koordinatisiert a 2 a 2 2 a a a a 2 displaystyle left pm frac a 2 pm frac a 2 pm sqrt 2 a right quad left pm a pm a pm frac a sqrt 2 right nbsp 2 a a 2 0 a 2 2 a 0 displaystyle left pm sqrt 2 a pm frac a 2 0 right quad left pm frac a 2 pm sqrt 2 a 0 right nbsp Siehe auch BearbeitenRhombendodekaederLiteratur BearbeitenNorbert Treitz Kelvins Vermutung wissenschaft online de Robert A Freitas Jr Uniform space filling using only truncated octahedra Figure 5 5 of Nanomedicine Volume I Basic Capabilities Landes Bioscience Georgetown TX 1999 abgerufen am 31 Juli 2011 Vorlage Cite web temporar George W Hart VRML model of truncated octahedron Virtual Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra abgerufen am 31 Juli 2011 Vorlage Cite web temporarWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Oktaederstumpf Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Oktaederstumpf Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Oktaederstumpf In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Patent DE102006050393 Lastaufnehmende Raumgitterstruktur Leichtbauelement und Verfahren zu dessen Herstellung Veroffentlicht am 30 April 2008 sowie die darauf aufbauende Firma http www octamold com Patent DE4431290 Kernreaktor mit im Reaktorcore befindlicher loser Schuttung Veroffentlicht am 4 Juni 1996 Anmelder Forschungszentrum Julich O L de Weck W D Nadir J G Wong G Bounova und T M Coffee Modular Structures for Manned Space Exploration The Truncated Octahedron as a Building Block In 1st Space Exploration Conference Continuing the Voyage of Discovery Orlando Florida 2005 Online PDF 2 4 MB abgerufen am 1 September 2021 Archimedische Korper Tetraederstumpf Kuboktaeder Hexaederstumpf Oktaederstumpf Rhombenkuboktaeder Kuboktaederstumpf Ikosidodekaeder Dodekaederstumpf Ikosaederstumpf Abgeschragtes Hexaeder Rhombenikosidodekaeder Ikosidodekaederstumpf Abgeschragtes Dodekaeder Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Oktaederstumpf amp oldid 231299750