www.wikidata.de-de.nina.az

Archimedischer Körper Dieser Artikel behandelt geometrische Objekte Für die archimedisch angeordneten Körper der Algebra

Archimedischer Körper

Die archimedischen Körper sind eine Klasse von regelmäßigen geometrischen Körpern. Sie sind konvexe Polyeder (Vielflächner) mit folgenden Eigenschaften:

  1. ihre Seitenflächen sind regelmäßige Polygone (Vielecke),
  2. alle Ecken des Körpers verhalten sich zueinander völlig gleich (Uniformität der Ecken), und
  3. sie sind weder platonische Körper noch Prismen oder Antiprismen.
Beispiel eines archimedischen Körpers: der Hexaederstumpf

Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 solcher Körper. Sie sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der sie alle vermutlich bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckte. Die Schrift des Archimedes ist nicht erhalten, es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos (4. Jahrhundert nach Christus) überliefert.

Definition Bearbeiten

Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und ist nicht immer einheitlich.

Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen:

Das bedeutet anschaulich:

Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen:

  • Die fünf platonischen Körper.
  • Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-Ecken und n Quadraten bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und zwei Quadrate zusammen. Im Fall ergibt sich ein Würfel, also ein platonischer Körper.
  • Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-Ecken und 2n gleichseitigen Dreiecken bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und drei Dreiecke zusammen. Im Fall ergibt sich ein Oktaeder, also ein platonischer Körper.

Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Unterscheidet man nicht zwischen ähnlichen Körpern, so existieren genau 13 archimedische Körper. Von zweien dieser Körper – dem Abgeschrägten Hexaeder und dem Abgeschrägten Dodekaeder – existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten, welche nicht durch Drehung ineinander übergeführt werden können. Diese werden gelegentlich doppelt gezählt, so dass sich nach dieser Zählweise dann insgesamt 15 archimedische Körper ergeben.
  • Weil die Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, gilt: Alle Kanten eines archimedischen Körpers haben die gleiche Länge.
  • Aus der globalen Uniformität der Ecken folgt die lokale Uniformität der Ecken:
  • Aus der lokalen Uniformität der Ecken folgt jedoch im Allgemeinen nicht die globale Uniformität. Ein Gegenbeispiel liefert das Pseudo-Rhombenkuboktaeder.
  • Die Flächenfolge an einer Ecke charakterisiert jeden archimedischen (sowie auch platonischen) Körper eindeutig.
  • Die zu den archimedischen Körpern dualen Polyeder sind die catalanischen Körper. Die charakteristische Eigenschaft dieser Körper ist die Uniformität der Flächen, welche sich aus der Uniformität der Ecken der archimedischen Körper ergibt.
  • Jeder archimedische Körper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden. Bei vielen archimedischen Körpern deutet auch der Name darauf hin. Mit Abstumpfen eines Körpers ist hier gemeint, dass dem Körper beliebige Stücke weggeschnitten werden, dabei aber die Flächen des Körpers – in aller Regel verkleinert – als Flächen des abgestumpften Körpers erhalten bleiben.
  • Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einem platonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfen erzeugt werden.

Ableitungen aus den platonischen Körpern Bearbeiten

Die meisten archimedischen Körper lassen sich auf anschauliche Weise aus den platonischen Körpern ableiten (siehe die ausführlichere Beschreibung unter Archimedean solid – Construction of Archimedean solids). Die einfachste Operation ist das Abstumpfen, die Rektifikation, das Doppelabstumpfen und die Doppelrektifikation. Dabei handelt es sich um verschieden starke Varianten des Abstumpfens. Die Abstumpfungsebenen (Schnittebenen) werden dabei konzentrisch so weit in Richtung Mittelpunkt des vorliegenden platonischen Körpers geschoben, bis sich Seitenflächen des platonischen Körpers oder diese Schnittebenen in einem Punkt treffen oder Schnittkanten dieser Seitenflächen oder Schnittebenen dieselbe Länge haben wie die verbleibenden Restkanten des ursprünglichen platonischen Körpers. Etwas anspruchsvoller sind die Kantellation, das Abschrägen und die Kantitrunkation. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die entstehenden Körper:

Im Fall des Tetraeders sind nicht alle entstehenden Polyeder archimedische Körper. Durch Doppelabstumpfen entsteht das Oktaeder und durch Abschrägen entsteht das Ikosaeder.

Die einzelnen archimedischen Körper Bearbeiten

Name Bilder Flächen Kanten Ecken Flächenfolge
an den Ecken		 Symmetrie-
gruppe 		Dualer Körper
Tetraederstumpf 8 4 Dreiecke
4 Sechsecke 		18 12 3, 6, 6
 Td Triakistetraeder
Kuboktaeder 14 8 Dreiecke
6 Quadrate 		24 12 3, 4, 3, 4
 Oh Rhombendodekaeder
Hexaederstumpf 14 8 Dreiecke
6 Achtecke 		36 24 3, 8, 8
 Oh Triakisoktaeder
Oktaederstumpf 14 6 Quadrate
8 Sechsecke 		36 24 4, 6, 6
 Oh Tetrakishexaeder
Rhombenkuboktaeder 26 8 Dreiecke
18 Quadrate 		48 24 3, 4, 4, 4
 Oh Deltoidalikositetraeder
Großes Rhombenkuboktaeder
oder Kuboktaederstumpf 		26 12 Quadrate
8 Sechsecke
6 Achtecke 		72 48 4, 6, 8
 Oh Hexakisoktaeder
Abgeschrägtes Hexaeder
oder Cubus simus 		38 32 Dreiecke
6 Quadrate 		60 24 3, 3, 3, 3, 4
 O Pentagonikositetraeder
Ikosidodekaeder 32 20 Dreiecke
12 Fünfecke 		60 30 3, 5, 3, 5
 Ih Rhombentriakontaeder
Dodekaederstumpf 32 20 Dreiecke
12 Zehnecke 		90 60 3, 10, 10
 Ih Triakisikosaeder
Ikosaederstumpf
oder Fußballkörper 		32 12 Fünfecke
20 Sechsecke 		90 60 5, 6, 6
 Ih Pentakisdodekaeder
Rhombenikosidodekaeder 62 20 Dreiecke
30 Quadrate
12 Fünfecke 		120 60 3, 4, 5, 4
 Ih Deltoidalhexakontaeder
Großes Rhombenikosidodekaeder
oder Ikosidodekaederstumpf 		62 30 Quadrate
20 Sechsecke
12 Zehnecke 		180 120 4, 6, 10
 Ih Hexakisikosaeder
Abgeschrägtes Dodekaeder
oder Dodecaedron simum 		92 80 Dreiecke
12 Fünfecke 		150 60 3, 3, 3, 3, 5
 I Pentagonhexakontaeder

Raumfüllungen mit archimedischen Körpern Bearbeiten

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten archimedischen Körper:

Der dreidimensionale euklidische Raum kann mit Oktaederstümpfen lückenlos parkettiert werden kann. Das ist der einzige archimedischen Körper, mit dem das möglich ist.

Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder Bearbeiten

Pseudo-Rhombenkuboktaeder

Lange Zeit benutzte man für die Definition der archimedischen Körper nicht die globale, sondern die anschaulichere lokale Uniformität der Ecken. Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J. C. P. Miller fest, dass ein konvexes Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen existiert, welches die lokale Uniformität der Ecken erfüllt, aber bisher nicht als archimedischer Körper erkannt worden war. Dieses Polyeder entsteht, wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht. Es wird als Pseudo-Rhombenkuboktaeder, als Miller’s solid oder als Johnson-Körper bezeichnet.

In jeder Ecke dieses Körpers stoßen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen, die lokale Uniformität der Ecken ist also gegeben. Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Körpern können trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden. Dazu ist es aber notwendig, nicht nur die direkten Nachbarflächen der Ecke zu betrachten, sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflächen der Ecke mit einzubeziehen.

Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo-Rhombenkuboktaeder als 14. archimedischen Körper. In der Regel herrscht aber die Meinung vor, dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Körper angesehen werden sollte. Die Forderung der starken Uniformität der Ecken sorgt dann dafür, dass das Pseudo-Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird.

Man kann spekulieren, dass möglicherweise bereits Kepler das Pseudo-Rhombenkuboktaeder kannte, denn einmal spricht er von vierzehn archimedischen Körpern.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Paul Adam, Arnold Wyss: Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. Verlag Freies Geistesleben u. a., Stuttgart 1984, ISBN 3-7725-0965-7 (2. Auflage. Haupt u. a., Bern 1994).
  • Peter Cromwell: Polyhedra. Cambridge UP 1997
  • H. S. M. Coxeter: Regular Polytopes, London 1948, 2. Auflage 1963, 3. Auflage Dover 1983
  • László Fejes Tóth: Reguläre Figuren. Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften, Budapest 1965 (Englisch: Regular Figures, Springer 1964)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Pappus von Alexandria: Mathematicae collectiones. Band V, Nr. 19.
  2. Branko Grünbaum: An enduring error. In: Elemente der Mathematik. Band 64, Nr. 3, 2009, S. 89–101, doi:10.4171/EM/120 (washington.edu [PDF])., Nachgedruckt in Mircea Pitici (Hrsg.): The Best Writing on Mathematics 2010. Princeton University Press, 2011, ISBN 978-0-691-14841-0, S. 18–31.
  3. Peter R. Cromwell: Polyhedra. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2, S. 156 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 28. Dezember 2016]).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Archimedische Körper – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: archimedischer Körper – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt geometrische Objekte Fur die archimedisch angeordneten Korper der Algebra siehe Archimedisches Axiom Die archimedischen Korper sind eine Klasse von regelmassigen geometrischen Korpern Sie sind konvexe Polyeder Vielflachner mit folgenden Eigenschaften ihre Seitenflachen sind regelmassige Polygone Vielecke alle Ecken des Korpers verhalten sich zueinander vollig gleich Uniformitat der Ecken und sie sind weder platonische Korper noch Prismen oder Antiprismen Beispiel eines archimedischen Korpers der Hexaederstumpf Je nach Zahlweise gibt es 13 oder 15 solcher Korper Sie sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt der sie alle vermutlich bereits im dritten Jahrhundert vor Christus entdeckte Die Schrift des Archimedes ist nicht erhalten es ist nur eine Zusammenfassung des alexandrinischen Mathematikers Pappos 4 Jahrhundert nach Christus uberliefert 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Ableitungen aus den platonischen Korpern 4 Die einzelnen archimedischen Korper 5 Raumfullungen mit archimedischen Korpern 6 Das Pseudo Rhombenkuboktaeder 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Einzelnachweise 10 WeblinksDefinition BearbeitenDie exakte Definition der Uniformitat der Ecken bereitet einige Muhe und ist nicht immer einheitlich 2 Zunachst betrachtet man alle konvexen Polyeder deren Seitenflachen regelmassige Polygone sind und die die globale Uniformitat der Ecken erfullen Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken Das bedeutet anschaulich Zu jedem Paar a b displaystyle a b nbsp von Ecken des Polyeders ist es moglich das Polyeder so zu drehen und zu spiegeln dass die Ecke a displaystyle a nbsp dort zu liegen kommt wo zuvor die Ecke b displaystyle b nbsp war und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern die alle diese Eigenschaften erfullen Die funf platonischen Korper Alle Prismen die aus genau zwei kongruenten regelmassigen n Ecken und n Quadraten bestehen Zu jeder naturlichen Zahl n 3 displaystyle n geq 3 nbsp existiert ein solches Prisma An einer Ecke treffen stets ein n Eck und zwei Quadrate zusammen Im Fall n 4 displaystyle n 4 nbsp ergibt sich ein Wurfel also ein platonischer Korper Alle Antiprismen die aus genau zwei kongruenten n Ecken und 2n gleichseitigen Dreiecken bestehen Zu jeder naturlichen Zahl n 3 displaystyle n geq 3 nbsp existiert ein solches Antiprisma An einer Ecke treffen stets ein n Eck und drei Dreiecke zusammen Im Fall n 3 displaystyle n 3 nbsp ergibt sich ein Oktaeder also ein platonischer Korper Die archimedischen Korper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmassigen Seitenflachen die die globale Uniformitat der Ecken erfullen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen Eigenschaften BearbeitenUnterscheidet man nicht zwischen ahnlichen Korpern so existieren genau 13 archimedische Korper Von zweien dieser Korper dem Abgeschragten Hexaeder und dem Abgeschragten Dodekaeder existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten welche nicht durch Drehung ineinander ubergefuhrt werden konnen Diese werden gelegentlich doppelt gezahlt so dass sich nach dieser Zahlweise dann insgesamt 15 archimedische Korper ergeben Weil die Seitenflachen regelmassige Polygone sind gilt Alle Kanten eines archimedischen Korpers haben die gleiche Lange Aus der globalen Uniformitat der Ecken folgt die lokale Uniformitat der Ecken An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn abgelesen dieselben Typen von Polygonen zusammen dd Aus der lokalen Uniformitat der Ecken folgt jedoch im Allgemeinen nicht die globale Uniformitat Ein Gegenbeispiel liefert das Pseudo Rhombenkuboktaeder Die Flachenfolge an einer Ecke charakterisiert jeden archimedischen sowie auch platonischen Korper eindeutig Die zu den archimedischen Korpern dualen Polyeder sind die catalanischen Korper Die charakteristische Eigenschaft dieser Korper ist die Uniformitat der Flachen welche sich aus der Uniformitat der Ecken der archimedischen Korper ergibt Jeder archimedische Korper kann durch Abstumpfen aus einem platonischen Korper erzeugt werden Bei vielen archimedischen Korpern deutet auch der Name darauf hin Mit Abstumpfen eines Korpers ist hier gemeint dass dem Korper beliebige Stucke weggeschnitten werden dabei aber die Flachen des Korpers in aller Regel verkleinert als Flachen des abgestumpften Korpers erhalten bleiben Wenn ein archimedischer Korper durch Abstumpfen aus einem platonischen Korper erzeugt werden kann dann kann er auch aus dem dazu dualen platonischen Korper durch Abstumpfen erzeugt werden Ableitungen aus den platonischen Korpern BearbeitenDie meisten archimedischen Korper lassen sich auf anschauliche Weise aus den platonischen Korpern ableiten siehe die ausfuhrlichere Beschreibung unter Archimedean solid Construction of Archimedean solids Die einfachste Operation ist das Abstumpfen die Rektifikation das Doppelabstumpfen und die Doppelrektifikation Dabei handelt es sich um verschieden starke Varianten des Abstumpfens Die Abstumpfungsebenen Schnittebenen werden dabei konzentrisch so weit in Richtung Mittelpunkt des vorliegenden platonischen Korpers geschoben bis sich Seitenflachen des platonischen Korpers oder diese Schnittebenen in einem Punkt treffen oder Schnittkanten dieser Seitenflachen oder Schnittebenen dieselbe Lange haben wie die verbleibenden Restkanten des ursprunglichen platonischen Korpers Etwas anspruchsvoller sind die Kantellation das Abschragen und die Kantitrunkation Die folgende Tabelle gibt eine Ubersicht uber die entstehenden Korper Symmetriegruppe Tetraedergruppe nbsp Oktaedergruppe nbsp Ikosaedergruppe nbsp Operation Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder IkosaederAbstumpfen Tetraederstumpf Hexaederstumpf Oktaederstumpf Dodekaederstumpf IkosaederstumpfRektifikation Oktaeder Kuboktaeder IkosidodekaederDoppelabstumpfen Tetraederstumpf Oktaederstumpf Hexaederstumpf Ikosaederstumpf DodekaederstumpfDoppelrektifikation Tetraeder Oktaeder Hexaeder Ikosaeder DodekaederKantellation nbsp Kuboktaeder nbsp Rhombenkuboktaeder nbsp RhombenikosidodekaederAbschragen nbsp Ikosaeder nbsp Abgeschragtes Hexaeder nbsp Abgeschragtes DodekaederKantitrunkation Oktaederstumpf Grosses Rhombenkuboktaeder Grosses RhombenikosidodekaederIm Fall des Tetraeders sind nicht alle entstehenden Polyeder archimedische Korper Durch Doppelabstumpfen entsteht das Oktaeder und durch Abschragen entsteht das Ikosaeder Die einzelnen archimedischen Korper BearbeitenName Bilder Flachen Kanten Ecken Flachenfolgean den Ecken Symmetrie gruppe Dualer KorperTetraederstumpf nbsp nbsp 8 4 Dreiecke4 Sechsecke 18 12 3 6 6 nbsp Td TriakistetraederKuboktaeder nbsp nbsp 14 8 Dreiecke6 Quadrate 24 12 3 4 3 4 nbsp Oh RhombendodekaederHexaederstumpf nbsp nbsp 14 8 Dreiecke6 Achtecke 36 24 3 8 8 nbsp Oh TriakisoktaederOktaederstumpf nbsp nbsp 14 6 Quadrate8 Sechsecke 36 24 4 6 6 nbsp Oh TetrakishexaederRhombenkuboktaeder nbsp nbsp 26 8 Dreiecke18 Quadrate 48 24 3 4 4 4 nbsp Oh DeltoidalikositetraederGrosses Rhombenkuboktaeder oder Kuboktaederstumpf nbsp nbsp 26 12 Quadrate8 Sechsecke6 Achtecke 72 48 4 6 8 nbsp Oh HexakisoktaederAbgeschragtes Hexaederoder Cubus simus nbsp nbsp 38 32 Dreiecke6 Quadrate 60 24 3 3 3 3 4 nbsp O PentagonikositetraederIkosidodekaeder nbsp nbsp 32 20 Dreiecke12 Funfecke 60 30 3 5 3 5 nbsp Ih RhombentriakontaederDodekaederstumpf nbsp nbsp 32 20 Dreiecke12 Zehnecke 90 60 3 10 10 nbsp Ih TriakisikosaederIkosaederstumpf oder Fussballkorper nbsp nbsp 32 12 Funfecke20 Sechsecke 90 60 5 6 6 nbsp Ih PentakisdodekaederRhombenikosidodekaeder nbsp nbsp 62 20 Dreiecke30 Quadrate12 Funfecke 120 60 3 4 5 4 nbsp Ih DeltoidalhexakontaederGrosses Rhombenikosidodekaederoder Ikosidodekaederstumpf nbsp nbsp 62 30 Quadrate20 Sechsecke12 Zehnecke 180 120 4 6 10 nbsp Ih HexakisikosaederAbgeschragtes Dodekaederoder Dodecaedron simum nbsp nbsp 92 80 Dreiecke12 Funfecke 150 60 3 3 3 3 5 nbsp I PentagonhexakontaederRaumfullungen mit archimedischen Korpern BearbeitenDer dreidimensionale euklidische Raum kann luckenlos mit platonischen Korpern oder archimedischen Korpern gleicher Kantenlange ausgefullt werden Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfullung genannt Die folgenden Raumfullungen enthalten archimedischen Korper nbsp Raumfullung die nur aus Oktaeder stumpfen besteht nbsp Raumfullung mit Tetraederstumpf und Tetraeder nbsp Raumfullung mit Kuboktaeder und Oktaeder nbsp Raumfullung mit Hexaederstumpf und Oktaeder nbsp Raumfullung mit Rhombenkubokta eder Wurfel und Tetraeder nbsp Raumfullung mit Rhombenkubokta eder Kub oktaeder und Wurfel nbsp Raumfullung mit Hexaederstumpf Rhombenkubokta eder Achteckprisma und Wurfel nbsp Raumfullung mit Oktaederstumpf Tetraederstumpf und Kuboktaeder nbsp Raumfullung mit Grossem Rhomben kuboktaeder und Achteckprisma nbsp Raumfullung mit Grossem Rhomben kubokta eder Okta ederstumpf und Wurfel nbsp Raumfullung mit Grossem Rhomben kuboktaeder Hexa ederstumpf und TetraederstumpfDer dreidimensionale euklidische Raum kann mit Oktaederstumpfen luckenlos parkettiert werden kann Das ist der einzige archimedischen Korper mit dem das moglich ist Das Pseudo Rhombenkuboktaeder Bearbeiten nbsp Pseudo RhombenkuboktaederLange Zeit benutzte man fur die Definition der archimedischen Korper nicht die globale sondern die anschaulichere lokale Uniformitat der Ecken Erst im Jahr 1930 stellte der britische Mathematiker J C P Miller fest dass ein konvexes Polyeder mit regelmassigen Seitenflachen existiert welches die lokale Uniformitat der Ecken erfullt aber bisher nicht als archimedischer Korper erkannt worden war Dieses Polyeder entsteht wenn man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe um 45 Grad verdreht Es wird als Pseudo Rhombenkuboktaeder als Miller s solid oder als Johnson Korper J 37 displaystyle J 37 nbsp bezeichnet In jeder Ecke dieses Korpers stossen wie beim Rhombenkuboktaeder drei Quadrate und ein Dreieck zusammen die lokale Uniformitat der Ecken ist also gegeben Im Gegensatz zu den klassischen archimedischen Korpern konnen trotzdem zwei verschiedene Typen von Ecken unterschieden werden Dazu ist es aber notwendig nicht nur die direkten Nachbarflachen der Ecke zu betrachten sondern zur Unterscheidung auch die weiter entfernten Nachbarflachen der Ecke mit einzubeziehen Gelegentlich klassifiziert man das Pseudo Rhombenkuboktaeder als 14 archimedischen Korper In der Regel herrscht aber die Meinung vor dass es aufgrund der unterschiedlichen Typen von Ecken nicht als archimedischer Korper angesehen werden sollte Die Forderung der starken Uniformitat der Ecken sorgt dann dafur dass das Pseudo Rhombenkuboktaeder aus der Definition ausgeschlossen wird Man kann spekulieren dass moglicherweise bereits Kepler das Pseudo Rhombenkuboktaeder kannte denn einmal spricht er von vierzehn archimedischen Korpern 3 Siehe auch BearbeitenPlatonischer Korper Catalanischer Korper Johnson KorperLiteratur BearbeitenPaul Adam Arnold Wyss Platonische und Archimedische Korper ihre Sternformen und polaren Gebilde Verlag Freies Geistesleben u a Stuttgart 1984 ISBN 3 7725 0965 7 2 Auflage Haupt u a Bern 1994 Peter Cromwell Polyhedra Cambridge UP 1997 H S M Coxeter Regular Polytopes London 1948 2 Auflage 1963 3 Auflage Dover 1983 Laszlo Fejes Toth Regulare Figuren Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften Budapest 1965 Englisch Regular Figures Springer 1964 Einzelnachweise Bearbeiten Pappus von Alexandria Mathematicae collectiones Band V Nr 19 Branko Grunbaum An enduring error In Elemente der Mathematik Band 64 Nr 3 2009 S 89 101 doi 10 4171 EM 120 washington edu PDF Nachgedruckt in Mircea Pitici Hrsg The Best Writing on Mathematics 2010 Princeton University Press 2011 ISBN 978 0 691 14841 0 S 18 31 Peter R Cromwell Polyhedra Cambridge University Press 1997 ISBN 0 521 55432 2 S 156 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 28 Dezember 2016 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Archimedische Korper Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary archimedischer Korper Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Literatur zum Thema Archimedischer Korper im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek Mathematische Basteleien Bastelbogen zu allen Archimedischen Korpern Animationsfilm zu den Archimedischen KorpernArchimedische Korper Tetraederstumpf Kuboktaeder Hexaederstumpf Oktaederstumpf Rhombenkuboktaeder Kuboktaederstumpf Ikosidodekaeder Dodekaederstumpf Ikosaederstumpf Abgeschragtes Hexaeder Rhombenikosidodekaeder Ikosidodekaederstumpf Abgeschragtes Dodekaeder Normdaten Sachbegriff GND 4122830 3 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Archimedischer Korper amp oldid 233866051