Das Triakisikosaeder ist ein konvexes Polyeder das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Korpern zahlt Es ist dual zum Dodekaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten 3D Ansicht eines Triakisikosaeders Animation Inhaltsverzeichnis 1 Entstehung 2 Formeln 2 1 Allgemein 2 2 Speziell 3 Anmerkungen 4 WeblinksEntstehung BearbeitenWerden auf die 20 Begrenzungsflachen eines Ikosaeders Kantenlange a displaystyle a nbsp Pyramiden mit der Flankenlange b displaystyle b nbsp aufgesetzt entsteht ein Triakisikosaeder sofern folgende Bedingung erfullt ist a 3 3 lt b lt a 4 10 2 5 displaystyle frac a 3 sqrt 3 lt b lt frac a 4 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp Fur den zuvor genannten minimalen Wert von b displaystyle b nbsp haben die aufgesetzten Pyramiden die Hohe 0 sodass lediglich das Ikosaeder mit der Kantenlange a displaystyle a nbsp ubrig bleibt Das spezielle Triakisikosaeder mit gleichen Flachenwinkeln entsteht wenn b a 22 15 5 displaystyle b frac a 22 15 sqrt 5 nbsp ist Nimmt b displaystyle b nbsp den o g maximalen Wert an entartet das Triakisikosaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlange b displaystyle b nbsp Uberschreitet b displaystyle b nbsp den maximalen Wert so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schliesslich fur b a 2 1 5 displaystyle b frac a 2 left 1 sqrt 5 right nbsp zum Ikosaederstern Formeln BearbeitenAllgemein Bearbeiten nbsp Spezielles TriakisikosaederGrossen eines Triakisikosaeders mit Kantenlangen a bVolumen V 5 12 a 2 a 3 5 4 3 b 2 a 2 displaystyle V frac 5 12 a 2 left a 3 sqrt 5 4 sqrt 3b 2 a 2 right nbsp Oberflacheninhalt A O 15 a 4 b 2 a 2 displaystyle A O 15a sqrt 4b 2 a 2 nbsp Pyramidenhohe k 1 3 9 b 2 3 a 2 displaystyle k frac 1 3 sqrt 9b 2 3a 2 nbsp Inkugelradius r a 4 10 a 4 b a 2 b 2 5 displaystyle rho frac a 4 sqrt frac 10a 4b a 2b 2 sqrt 5 nbsp Flachenwinkel uber Kante a cos a 1 12 b 2 5 a 2 5 8 a 3 b 2 a 2 9 4 b 2 a 2 displaystyle cos alpha 1 frac 12b 2 5a 2 sqrt 5 8a sqrt 3b 2 a 2 9 4b 2 a 2 nbsp Flachenwinkel uber Kante b cos a 2 2 b 2 a 2 4 b 2 a 2 displaystyle cos alpha 2 frac 2b 2 a 2 4b 2 a 2 nbsp 1 Speziell Bearbeiten nbsp Kantenkugel im speziellen Triakisikosaeder Deutlich treten die Kugelkappen auf den einzelnen Dreiecksflachen hervor Die Inkreise sind zugleich Schnittflachen der Dreiecke mit der Kantenkugel Grossen eines Triakisikosaeders mit Kantenlange aVolumen V 5 44 a 3 5 7 5 displaystyle V frac 5 44 a 3 5 7 sqrt 5 nbsp Oberflacheninhalt A O 15 11 a 2 109 30 5 displaystyle A O frac 15 11 a 2 sqrt 109 30 sqrt 5 nbsp 2 Seitenlange 0 5802 a b a 22 15 5 displaystyle b frac a 22 15 sqrt 5 nbsp Pyramidenhohe k a 66 5 5 9 3 displaystyle k frac a 66 5 sqrt 5 9 sqrt 3 nbsp Inkugelradius r a 4 10 33 13 5 61 displaystyle rho frac a 4 sqrt frac 10 33 13 sqrt 5 61 nbsp Kantenkugelradius r a 4 1 5 displaystyle r frac a 4 left 1 sqrt 5 right nbsp Flachenwinkel 160 36 45 cos a 1 61 24 15 5 displaystyle cos alpha frac 1 61 24 15 sqrt 5 nbsp Spharizitat 0 96734 PS 396 p 27 7 5 3 6 109 30 5 displaystyle Psi frac sqrt 3 396 pi left 27 7 sqrt 5 right 6 sqrt 109 30 sqrt 5 nbsp 2 Anmerkungen Bearbeiten a 3 3 lt b lt a 4 10 2 5 displaystyle frac a 3 sqrt 3 lt b lt frac a 4 sqrt 10 2 sqrt 5 nbsp b a 22 15 5 displaystyle b frac a 22 15 sqrt 5 nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Triakisikosaeder Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Triakisikosaeder In MathWorld englisch Catalanische Korper Triakistetraeder Rhombendodekaeder Tetrakishexaeder Triakisoktaeder Deltoidalikositetraeder Pentagonikositetraeder Rhombentriakontaeder Hexakisoktaeder Pentakisdodekaeder Triakisikosaeder Deltoidalhexakontaeder Pentagonhexakontaeder Hexakisikosaeder Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Triakisikosaeder amp oldid 222379214
