Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkorpers der durch den Schnitt mit einer Ebene abgetrennt wird Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundflache eine Kreisscheibe Ein Kugelsegment ist ein Sonderfall einer Kugelschicht bei der die Hohe bis an die Kugeloberflache heranreicht Eine Halbkugel ist wiederum ein Sonderfall eines Kugelsegments bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthalt Der gekrummte Teil der Oberflache eines Kugelsegments wird Kugelkalotte auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt 1 Interaktives 3D Modell Nach Anklicken kann das Bild mit der Maus manipuliert werden Inhaltsverzeichnis 1 Formeln 1 1 Sonderfalle 1 2 Herleitung 2 Hoherdimensionale euklidische Raume 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 Einzelnachweise 6 LiteraturFormeln Bearbeiten nbsp Der blaue Korper ist ein Kugelsegment der rosa Restkorper ebenfalls Fur die Berechnung von Volumen Mantelflache und Oberflache eines Kugelsegments gelten die folgenden Formeln Dabei bezeichnet r displaystyle r nbsp den Radius der Kugel a displaystyle a nbsp den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und h displaystyle h nbsp die Hohe des Kugelsegments Diese drei Grossen sind nicht unabhangig voneinander Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Grossen bestimmt Aus zwei der drei Grossen lasst sich die dritte nach dem Satz des Pythagoras berechnen r h 2 a 2 r 2 displaystyle r h 2 a 2 r 2 nbsp bzw 2 r h a 2 h 2 displaystyle 2rh a 2 h 2 nbsp In den folgenden Formeln ist bei Minus zu nehmen wenn das Kugelsegment weniger als die halbe Kugel gross ist sonst Plus h r r 2 a 2 displaystyle h r pm sqrt r 2 a 2 nbsp h 2 2 r r r 2 a 2 a 2 displaystyle h 2 2r r pm sqrt r 2 a 2 a 2 nbsp Statt a displaystyle a nbsp und h displaystyle h nbsp reicht auch die Angabe des Winkels 8 0 displaystyle theta 0 nbsp des Basiskreises siehe Abbildung Es gilt a r sin 8 0 displaystyle a r sin theta 0 nbsp h r 1 cos 8 0 displaystyle h r 1 cos theta 0 nbsp Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln je nachdem welche der Grossen gegeben sind Grossen eines Kugelsegments mit dem Radius r der Kugel dem Radius a des Basiskreises und der Hohe h Volumen V r h p 3 h 2 3 r h displaystyle V r h frac pi 3 h 2 3r h nbsp V h a p 6 h 3 a 2 h 2 displaystyle V h a frac pi 6 h 3a 2 h 2 nbsp V r a p 3 r r 2 a 2 a 2 r r r 2 a 2 displaystyle V r a frac pi 3 r pm sqrt r 2 a 2 left a 2 r r pm sqrt r 2 a 2 right nbsp V r 8 0 p 3 r 3 2 cos 8 0 1 cos 8 0 2 displaystyle V r theta 0 frac pi 3 r 3 2 cos theta 0 1 cos theta 0 2 nbsp Flacheninhalt derOberflache O r h a p 2 r h a 2 displaystyle O r h a pi 2rh a 2 nbsp O r h p h 4 r h displaystyle O r h pi h 4r h nbsp O h a p 2 a 2 h 2 displaystyle O h a pi 2a 2 h 2 nbsp O r a p a 2 2 r r r 2 a 2 displaystyle O r a pi left a 2 2r r pm sqrt r 2 a 2 right nbsp O r 8 0 2 p r 2 1 cos 8 0 1 2 sin 2 8 0 displaystyle O r theta 0 2 pi r 2 1 cos theta 0 tfrac 1 2 sin 2 theta 0 nbsp Flacheninhalt derMantelflache M r h 2 p r h displaystyle M r h 2 pi rh nbsp M h a p a 2 h 2 displaystyle M h a pi a 2 h 2 nbsp M r a 2 p r r r 2 a 2 displaystyle M r a 2 pi r left r pm sqrt r 2 a 2 right nbsp M r 8 0 2 p r 2 1 cos 8 0 displaystyle M r theta 0 2 pi r 2 1 cos theta 0 nbsp Sonderfalle Bearbeiten Fur h r displaystyle h r nbsp ist a r displaystyle a r nbsp und das Kugelsegment eine Halbkugel V 2 p 3 r 3 M 2 p r 2 O 3 p r 2 displaystyle V tfrac 2 pi 3 r 3 M 2 pi r 2 O 3 pi r 2 nbsp Fur h 2 r displaystyle h 2r nbsp ist a 0 displaystyle a 0 nbsp und das Kugelsegment ist eine ganze Kugel V 4 p 3 r 3 M O 4 p r 2 displaystyle V tfrac 4 pi 3 r 3 M O 4 pi r 2 nbsp Herleitung Bearbeiten nbsp Kugelkappe Funktion fur das VolumenintegralNach dem Satz des Pythagoras gilt r h 2 a 2 r 2 displaystyle r h 2 a 2 r 2 nbsp Auflosen der Klammer liefert 2 r h a 2 h 2 displaystyle 2rh a 2 h 2 nbsp Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral fur Rotationskorper fur den Kreisbogen y f x r 2 x r 2 2 r x x 2 displaystyle y f x sqrt r 2 x r 2 sqrt 2rx x 2 nbsp V p 0 h f x 2 d x p 0 h 2 r x x 2 d x p h 2 3 3 r h displaystyle V pi int limits 0 h f x 2 dx pi int limits 0 h 2rx x 2 dx frac pi h 2 3 3r h nbsp Entsprechend ergibt sich die Mantelflache eines Kugelsegments ohne Basiskreis aus der Flachenformel fur Rotationsflachen M 2 p 0 h f x 1 f x 2 d x 2 p r 0 h d x 2 p r h displaystyle M 2 pi int limits 0 h f x sqrt 1 f x 2 dx 2 pi r int limits 0 h dx 2 pi rh nbsp Und mit Basiskreis O p 2 r h a 2 p 2 a 2 h 2 displaystyle O pi 2rh a 2 pi 2a 2 h 2 nbsp Hoherdimensionale euklidische Raume BearbeitenEine Kalotte im n dimensionalen Raum hat Volumen und Mantelflache 2 V c a p p n 1 2 r n G n 1 2 0 arccos r h r sin n 8 d 8 1 2 V n r n I 2 r h h 2 r 2 n 1 2 1 2 displaystyle V cap frac pi frac n 1 2 r n Gamma left frac n 1 2 right int limits 0 arccos left frac r h r right sin n theta mathrm d theta frac 1 2 V n r n I 2rh h 2 r 2 left frac n 1 2 frac 1 2 right nbsp M c a p 1 2 M n r n 1 I 2 r h h 2 r 2 n 1 2 1 2 displaystyle M cap frac 1 2 M n r n 1 I 2rh h 2 r 2 left frac n 1 2 frac 1 2 right nbsp mit der Gammafunktion G dem Vollvolumen V n displaystyle V n nbsp dem vollen Mantel M n displaystyle M n nbsp der regularisierten Betafunktion I s i n 2 8 0 n 2 1 2 B s i n 2 8 0 n 2 1 2 B n 2 1 2 displaystyle I sin 2 theta 0 n 2 1 2 tfrac B sin 2 theta 0 n 2 1 2 B n 2 1 2 nbsp Siehe auch BearbeitenKugelausschnitt Kugelschicht Kugelring Kugelkeil KreissegmentWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Spherical caps Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Spherical Cap In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Harald Scheid Wolfgang Schwarz Elemente der Geometrie 2009 S Li Consice Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap In Asian Journal of Mathematics and Statistics 2011 S 66 70 englisch docsdrive com PDF Literatur BearbeitenBronstein Semendjajew Taschenbuch der Mathematik Harri Deutsch Verlag 1983 ISBN 3 87144 492 8 S 252 Kleine Enzyklopadie Mathematik Harri Deutsch Verlag 1977 S 215 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelsegment amp oldid 237195757
