Eine Kugelschicht auch Kugelscheibe genannt ist ein Teil einer Kugel der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird Der gekrummte Flachenteil wird Kugelzone genannt Inhaltsverzeichnis 1 Formeln 1 1 Herleitung 1 2 Beziehung der Parameter 2 Siehe auch 3 Literatur 4 WeblinksFormeln BearbeitenFur die Berechnung von Volumen Mantelflache und Oberflache einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln Dabei bezeichnet r displaystyle r nbsp den Radius der Kugel a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 nbsp die Radien der Begrenzungskreise und h displaystyle h nbsp die Hohe der Kugelschicht Diese vier Grossen sind nicht unabhangig voneinander Die Hohe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden h r 2 a 2 2 r 2 a 1 2 displaystyle h sqrt r 2 a 2 2 pm sqrt r 2 a 1 2 nbsp Hierbei gilt das Minuszeichen fur eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen fur eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt Auf den Radius zuruckzuschliessen ist schwieriger aber auch moglich r 1 2 h a 1 2 a 2 2 h 2 2 4 a 1 2 a 2 2 1 2 h a 1 4 a 2 4 h 4 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 2 h 2 2 a 2 2 h 2 displaystyle r frac 1 2h sqrt a 1 2 a 2 2 h 2 2 4a 1 2 a 2 2 frac 1 2h sqrt a 1 4 a 2 4 h 4 2a 1 2 a 2 2 2a 1 2 h 2 2a 2 2 h 2 nbsp nbsp Volumen V p 6 h 3 a 1 2 3 a 2 2 h 2 displaystyle V frac pi 6 cdot h cdot 3 cdot a 1 2 3 cdot a 2 2 h 2 nbsp Inhalt der Mantelflache M 2 p r h 2 p h a 1 2 a 1 2 a 2 2 h 2 2 h 2 displaystyle M 2 cdot pi cdot r cdot h 2 cdot pi cdot h cdot sqrt a 1 2 left frac a 1 2 a 2 2 h 2 2 cdot h right 2 nbsp Oberflache O M A Kreis 1 A Kreis 2 p 2 r h a 1 2 a 2 2 2 p h a 1 2 a 1 2 a 2 2 h 2 2 h 2 p a 1 2 a 2 2 displaystyle begin aligned O amp M A text Kreis 1 A text Kreis 2 amp pi cdot 2 cdot r cdot h a 1 2 a 2 2 amp 2 pi cdot h cdot sqrt a 1 2 left frac a 1 2 a 2 2 h 2 2 cdot h right 2 pi a 1 2 a 2 2 end aligned nbsp Herleitung Bearbeiten Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment S 1 displaystyle S 1 nbsp mit dem unteren Kreis als Basiskreis dem das Kugelsegment S 2 displaystyle S 2 nbsp mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird Es sei h 1 displaystyle h 1 nbsp die Hohe von S 1 displaystyle S 1 nbsp und h 2 displaystyle h 2 nbsp die Hohe von S 2 displaystyle S 2 nbsp Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind V 1 p 3 h 1 2 3 r h 1 displaystyle V 1 frac pi 3 cdot h 1 2 cdot 3 cdot r h 1 nbsp V 2 p 3 h 2 2 3 r h 2 displaystyle V 2 frac pi 3 cdot h 2 2 cdot 3 cdot r h 2 nbsp Siehe dazu auch Kugelsegment Also ist V V 1 V 2 p 3 3 h 1 2 h 2 2 r h 1 3 h 2 3 p 3 h 1 h 2 3 h 1 h 2 r h 1 2 h 1 h 2 h 2 2 displaystyle begin aligned V amp V 1 V 2 frac pi 3 cdot 3 cdot h 1 2 h 2 2 cdot r h 1 3 h 2 3 amp frac pi 3 cdot h 1 h 2 cdot 3 cdot h 1 h 2 cdot r h 1 2 h 1 cdot h 2 h 2 2 end aligned nbsp Mit den Beziehungen 2 r h 1 a 1 2 h 1 2 2 r h 2 a 2 2 h 2 2 displaystyle 2 cdot r cdot h 1 a 1 2 h 1 2 2 cdot r cdot h 2 a 2 2 h 2 2 nbsp siehe Kugelsegment ergibt sich V p 3 h 1 h 2 3 2 a 1 2 h 1 2 a 2 2 h 2 2 h 1 2 h 1 h 2 h 2 2 p 6 h 1 h 2 3 a 1 2 a 2 2 h 1 h 2 2 displaystyle begin aligned V amp frac pi 3 cdot h 1 h 2 cdot left frac 3 2 cdot a 1 2 h 1 2 a 2 2 h 2 2 h 1 2 h 1 cdot h 2 h 2 2 right amp frac pi 6 cdot h 1 h 2 cdot 3 cdot a 1 2 a 2 2 h 1 h 2 2 end aligned nbsp Da h h 1 h 2 displaystyle h h 1 h 2 nbsp ist folgt die obige Formel V p 6 h 3 a 1 2 3 a 2 2 h 2 displaystyle V frac pi 6 cdot h cdot 3 cdot a 1 2 3 cdot a 2 2 h 2 nbsp Fur die Mantelflache ergibt sich analog M M 1 M 2 2 p r h 1 2 p r h 2 2 p r h 1 h 2 2 p r h displaystyle M M 1 M 2 2 cdot pi cdot r cdot h 1 2 cdot pi cdot r cdot h 2 2 cdot pi cdot r cdot h 1 h 2 2 cdot pi cdot r cdot h nbsp Beziehung der Parameter Bearbeiten Fur den Beweis der Beziehung zwischen r a 1 a 2 h displaystyle r a 1 a 2 h nbsp sei d displaystyle d nbsp der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt M displaystyle M nbsp Dann gilt r 2 d 2 a 1 2 r 2 d h 2 a 2 2 displaystyle r 2 d 2 a 1 2 r 2 d h 2 a 2 2 nbsp Setzt man die beiden Gleichungen gleich und lost nach d displaystyle d nbsp auf so erhalt man d a 1 2 a 2 2 h 2 2 h displaystyle d frac a 1 2 a 2 2 h 2 2 cdot h nbsp und mit der ersten Gleichung folgt r 2 a 1 2 a 1 2 a 2 2 h 2 2 h 2 displaystyle r 2 a 1 2 left frac a 1 2 a 2 2 h 2 2 cdot h right 2 nbsp Siehe auch BearbeitenKugelsegment Kugelausschnitt Kugelring KugelkeilLiteratur BearbeitenI Bronstein u a Taschenbuch der Mathematik Harri Deutsch Frankfurt 2001 ISBN 3 8171 2005 2 Kleine Enzyklopadie Mathematik Harri Deutsch Verlag 1977 S 215 L Kusch u a Mathematik Teil 4 Integralrechnung Cornelsen Berlin 2000 ISBN 3 464 41304 7 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Spherical Segment In MathWorld englisch Eric W Weisstein Spherical zone In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelschicht amp oldid 228159959
