Ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor bezeichnet in der Mathematik einen kegelartigen Ausschnitt vom Mittelpunkt einer Kugel bis zu ihrer Oberflache Ein Sonderfall ist die Halbkugel Kugelsektor blau Inhaltsverzeichnis 1 Formeln 1 1 Sonderfalle 1 2 Herleitung 2 Siehe auch 3 Weblinks 4 LiteraturFormeln BearbeitenFur die Berechnung von Volumen Mantelflache und Oberflache eines Kugelausschnitts gelten die folgenden Formeln Dabei bezeichnet r displaystyle r nbsp den Radius der Kugel a displaystyle a nbsp den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und h displaystyle h nbsp die Hohe des Kugelsegments Diese drei Grossen sind nicht unabhangig voneinander Der Kugelausschnitt ist durch zwei beliebige dieser drei Grossen bestimmt Aus zwei der drei Grossen lasst sich die dritte berechnen In allen Formeln ist bei zu nehmen wenn der Kugelausschnitt weniger als die halbe Kugel gross ist sonst bei r h 2 a 2 r 2 displaystyle r h 2 a 2 r 2 nbsp 2 r h a 2 h 2 displaystyle 2 cdot r cdot h a 2 h 2 nbsp h r r 2 a 2 displaystyle h r pm sqrt r 2 a 2 nbsp h 2 2 r r r 2 a 2 a 2 displaystyle h 2 2 cdot r cdot r pm sqrt r 2 a 2 a 2 nbsp Statt a displaystyle a nbsp und h displaystyle h nbsp reicht auch die Angabe des Winkels 8 0 displaystyle theta 0 nbsp des Basiskreises siehe Abbildung Es gilt a r sin 8 0 displaystyle a r cdot sin theta 0 nbsp h r 1 cos 8 0 displaystyle h r cdot 1 cos theta 0 nbsp Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln je nachdem welche der Grossen gegeben sind Grossen eines Kugelausschnitts mit dem Radius r der Kugel dem Radius a des Basiskreises und der Hohe hVolumen V 2 p 3 r 2 h displaystyle V frac 2 cdot pi 3 cdot r 2 cdot h nbsp V p 6 h 3 a 2 h 2 displaystyle V frac pi 6 cdot h cdot 3 cdot a 2 h 2 nbsp V 2 p 3 r 2 r r 2 a 2 displaystyle V frac 2 cdot pi 3 cdot r 2 cdot r pm sqrt r 2 a 2 nbsp V 2 p 3 r 3 1 cos 8 0 displaystyle V frac 2 cdot pi 3 cdot r 3 cdot 1 cos theta 0 nbsp Flacheninhalt der Mantelflache des Kegels M K p r 2 r h h displaystyle M K pi cdot r cdot sqrt 2 cdot r h cdot h nbsp M K p a a 2 h 2 2 h displaystyle M K pi cdot frac a cdot a 2 h 2 2 cdot h nbsp M K p a r displaystyle M K pi cdot a cdot r nbsp M K p r 2 sin 8 0 displaystyle M K pi cdot r 2 cdot sin theta 0 nbsp Flacheninhalt der Mantelflache des Kugelsegments M S 2 p r h displaystyle M S 2 cdot pi cdot r cdot h nbsp M S p a 2 h 2 displaystyle M S pi cdot a 2 h 2 nbsp M S 2 p r r r 2 a 2 displaystyle M S 2 cdot pi cdot r cdot r pm sqrt r 2 a 2 nbsp M S 2 p r 2 1 cos 8 0 displaystyle M S 2 cdot pi cdot r 2 cdot 1 cos theta 0 nbsp Oberflacheninhalt O p r a 2 h displaystyle O pi cdot r cdot a 2 cdot h nbsp O p a 2 h a 2 h 2 2 h displaystyle O pi cdot frac a 2 cdot h cdot a 2 h 2 2 cdot h nbsp O p r a 2 r r 2 a 2 displaystyle O pi cdot r cdot a 2 cdot r pm sqrt r 2 a 2 nbsp O p r 2 2 2 cos 8 0 sin 8 0 displaystyle O pi cdot r 2 cdot 2 2 cdot cos theta 0 sin theta 0 nbsp Sonderfalle Bearbeiten Fur h r displaystyle h r nbsp ist a r displaystyle a r nbsp und der Kugelausschnitt eine Halbkugel V 2 p 3 r 3 M 2 p r 2 O 3 p r 2 displaystyle V tfrac 2 cdot pi 3 cdot r 3 M 2 cdot pi cdot r 2 O 3 cdot pi cdot r 2 nbsp Fur h 2 r displaystyle h 2 cdot r nbsp ist a 0 displaystyle a 0 nbsp und der Kugelausschnitt ist eine ganze Kugel V 4 p 3 r 3 M O 4 p r 2 displaystyle V tfrac 4 cdot pi 3 cdot r 3 M O 4 cdot pi cdot r 2 nbsp Herleitung Bearbeiten Zur Herleitung dieser Formeln nimmt man eine Unterteilung in zwei Korper vor Kegel und Kugelsegment Der Kegel hat den Grundkreisradius a displaystyle a nbsp und die Hohe r h displaystyle r h nbsp Das Volumen des Kegels ist V K p 3 a 2 r h displaystyle V K frac pi 3 cdot a 2 cdot r h nbsp Das Kugelsegment hat das Volumen V S p 3 h 2 3 r h displaystyle V S frac pi 3 cdot h 2 cdot 3 cdot r h nbsp Also ist das Volumen des Kugelsektors V V K V S p 3 a 2 r h p 3 h 2 3 r h displaystyle V V K V S frac pi 3 cdot a 2 cdot r h frac pi 3 cdot h 2 cdot 3 cdot r h nbsp Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich a 2 2 h r h 2 displaystyle a 2 2 cdot h cdot r h 2 nbsp Einsetzen und Auflosen der Klammern liefert schliesslich V 2 p 3 r 2 h displaystyle V frac 2 cdot pi 3 cdot r 2 cdot h nbsp Eine weitere Moglichkeit das Volumen zu berechnen bieten Kugelkoordinaten V 0 8 0 0 2 p 0 r r 2 sin 8 d r d ϕ d 8 2 p 3 r 3 0 8 0 sin 8 d 8 2 p 3 r 3 1 cos 8 0 displaystyle V int 0 theta 0 int 0 2 cdot pi int 0 r rho 2 cdot sin theta mathrm d rho mathrm d phi mathrm d theta frac 2 cdot pi 3 cdot r 3 cdot int 0 theta 0 sin theta mathrm d theta frac 2 cdot pi 3 cdot r 3 cdot 1 cos theta 0 nbsp wobei 8 0 displaystyle theta 0 nbsp der halbe Offnungswinkel des Kegelteiles ist Mit h r 1 cos 8 0 displaystyle h r 1 cos theta 0 nbsp folgt die obige Formel fur das Volumen Die Mantelflache des Kegels ist M K p a r displaystyle M K pi cdot a cdot r nbsp und die Oberflache des Kugelsegments ohne Basiskreis ist M S 2 p r h displaystyle M S 2 cdot pi cdot r cdot h nbsp Damit ist die Oberflache O M K M S p r a 2 h displaystyle O M K M S pi cdot r cdot a 2 cdot h nbsp Siehe auch BearbeitenKugelsegment Kugelschicht Kugelring Kugelkeil KreissektorWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Spherical sector In MathWorld englisch Eric W Weisstein Spherical cone In MathWorld englisch Literatur BearbeitenBronstein Semendjajew Taschenbuch der Mathematik Harri Deutsch Verlag 1983 ISBN 3 87144 492 8 S 252 Kleine Enzyklopadie Mathematik Harri Deutsch Verlag 1977 S 215 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelausschnitt amp oldid 235443445
