www.wikidata.de-de.nina.az

Höhe Geometrie Unter einer Höhe h displaystyle h versteht man in der Geometrie ein besonderes Lot Senkrechte auf eine St

Höhe (Geometrie)

Unter einer Höhe versteht man in der Geometrie ein besonderes Lot (Senkrechte) auf eine Strecke oder eine Fläche sowie dessen Länge. Höhen spielen bei der Berechnung von Flächen- und Rauminhalten (Volumina) eine wichtige Rolle. Sie können auch außerhalb von Figuren und Körpern liegen, z. B. bei stumpfwinkligen Dreiecken.

Höhen in einem Dreieck ABC:
Die Höhen und verlaufen außerhalb des Dreiecks, da sich bei B ein stumpfer Winkel befindet. Verlängert man diese Höhen jeweils über die zugehörigen Lotfußpunkte La und Lc sowie die Höhe über den Eckpunkt B hinaus, so schneiden sich alle drei Geraden im Höhenschnittpunkt H.

Höhen bei Dreiecken Bearbeiten

Fällt man das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Dreiecksseite, so schneidet es diese Seite im Lotfußpunkt. Die Strecke zwischen Ecke und Lotfußpunkt nennt man Höhe und das von den drei Lotfußpunkten gebildete Dreieck wird auch als Höhenfußpunktdreieck bezeichnet. Jedes Dreieck besitzt genau drei Höhen. Diese schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Er liegt für spitzwinklige Dreiecke innerhalb und für stumpfwinklige Dreiecke außerhalb des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck fällt er mit der rechtwinkligen Ecke zusammen. Die Höhen eines Dreieck sind zudem die Winkelhalbierenden seines Höhenfußpunktdreiecks. Für die Höhen , und in einem Dreieck mit Seiten , und bezeichnen im Folgenden die Radien des In- und Umkreises und die Innenwinkel in den Eckpunkten . Zwischen den Seiten und Höhen des Dreieck besteht die folgende Beziehung:

Über diese Verhältnisgleichung hinaus gilt genauer:

Hieraus erhält man die folgende Darstellung des Produktes der drei Höhen:

Zum Radius des Inkreis besteht die Beziehung:

Bei rechtwinkligen Dreiecken spielt der Höhensatz des Euklid eine große Rolle.

Den Abstand zwischen den beiden Parallelen bezeichnet man als Höhe im Trapez
Höhen im Parallelogramm

Höhe von Trapez und Parallelogramm Bearbeiten

  • Ein Trapez besitzt zwei gegenüberliegende Seiten, die parallel zueinander sind. Den Abstand dieser beiden Parallelen nennt man Höhe des Trapezes.
  • Die Höhe eines Parallelogramms ist der senkrechte Abstand der jeweils gegenüberliegenden Seiten.

Höhen weiterer geometrischer Objekte Bearbeiten

  • Bei Prismen und Zylindern ist die Höhe der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche.
  • Bei Pyramiden und Kegeln ist die Höhe der lotrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche.
  • Auch in höherdimensionalen geometrischen Objekten, wie zum Beispiel der Hyperpyramide, bezeichnet man den (senkrechten) Abstand eines Eckpunktes im n-dimensionalen Raum von einer in einer Hyperebene liegenden Hyperfläche als Höhe.

Literatur Bearbeiten

  • Schülerduden: Mathematik I, Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 192–193

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Höhe – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikiquote: Höhe – Zitate
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Unter einer Hohe h displaystyle h versteht man in der Geometrie ein besonderes Lot Senkrechte auf eine Strecke oder eine Flache sowie dessen Lange Hohen spielen bei der Berechnung von Flachen und Rauminhalten Volumina eine wichtige Rolle Sie konnen auch ausserhalb von Figuren und Korpern liegen z B bei stumpfwinkligen Dreiecken Hohen in einem Dreieck ABC Die Hohen h a displaystyle h a und h c displaystyle h c verlaufen ausserhalb des Dreiecks da sich bei B ein stumpfer Winkel befindet Verlangert man diese Hohen jeweils uber die zugehorigen Lotfusspunkte La und Lc sowie die Hohe h b displaystyle h b uber den Eckpunkt B hinaus so schneiden sich alle drei Geraden im Hohenschnittpunkt H Inhaltsverzeichnis 1 Hohen bei Dreiecken 2 Hohe von Trapez und Parallelogramm 3 Hohen weiterer geometrischer Objekte 4 Literatur 5 WeblinksHohen bei Dreiecken BearbeitenFallt man das Lot von einer Ecke auf die gegenuberliegende Dreiecksseite so schneidet es diese Seite im Lotfusspunkt Die Strecke zwischen Ecke und Lotfusspunkt nennt man Hohe und das von den drei Lotfusspunkten gebildete Dreieck wird auch als Hohenfusspunktdreieck bezeichnet Jedes Dreieck besitzt genau drei Hohen Diese schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt dem Hohenschnittpunkt Er liegt fur spitzwinklige Dreiecke innerhalb und fur stumpfwinklige Dreiecke ausserhalb des Dreiecks Beim rechtwinkligen Dreieck fallt er mit der rechtwinkligen Ecke zusammen Die Hohen eines Dreieck sind zudem die Winkelhalbierenden seines Hohenfusspunktdreiecks Fur die Hohen h a displaystyle h a nbsp h b displaystyle h b nbsp und h c displaystyle h c nbsp in einem Dreieck mit Seiten a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp bezeichnen im Folgenden r R displaystyle r R nbsp die Radien des In und Umkreises und a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp die Innenwinkel in den Eckpunkten A B C displaystyle A B C nbsp Zwischen den Seiten und Hohen des Dreieck besteht die folgende Beziehung h a h b h c 1 a 1 b 1 c displaystyle h a h b h c frac 1 a frac 1 b frac 1 c nbsp Uber diese Verhaltnisgleichung hinaus gilt genauer h a b c 2 R c sin b b sin g h b a c 2 R c sin a a sin g h c a b 2 R b sin a a sin b displaystyle begin aligned h a amp frac bc 2R c sin beta b sin gamma h b amp frac ac 2R c sin alpha a sin gamma h c amp frac ab 2R b sin alpha a sin beta end aligned nbsp Hieraus erhalt man die folgende Darstellung des Produktes der drei Hohen h a h b h c a b c 2 8 R 3 displaystyle h a h b h c frac abc 2 8R 3 nbsp Zum Radius des Inkreis besteht die Beziehung 1 h a 1 h b 1 h c 1 r displaystyle frac 1 h a frac 1 h b frac 1 h c frac 1 r nbsp Bei rechtwinkligen Dreiecken spielt der Hohensatz des Euklid eine grosse Rolle nbsp Den Abstand zwischen den beiden Parallelen bezeichnet man als Hohe im Trapez nbsp Hohen im ParallelogrammHohe von Trapez und Parallelogramm BearbeitenEin Trapez besitzt zwei gegenuberliegende Seiten die parallel zueinander sind Den Abstand dieser beiden Parallelen nennt man Hohe des Trapezes Die Hohe eines Parallelogramms ist der senkrechte Abstand der jeweils gegenuberliegenden Seiten Hohen weiterer geometrischer Objekte BearbeitenBei Prismen und Zylindern ist die Hohe der senkrechte Abstand von Grund und Deckflache Bei Pyramiden und Kegeln ist die Hohe der lotrechte Abstand der Spitze von der Grundflache Auch in hoherdimensionalen geometrischen Objekten wie zum Beispiel der Hyperpyramide bezeichnet man den senkrechten Abstand eines Eckpunktes im n dimensionalen Raum von einer in einer Hyperebene liegenden Hyperflache als Hohe nbsp nbsp nbsp Literatur BearbeitenSchulerduden Mathematik I Dudenverlag 8 Auflage Mannheim 2008 S 192 193Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Hohe Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wikiquote Hohe Zitate Eric W Weisstein Altitude In MathWorld englisch Hohen im Dreieck auf mathematische basteleien de All About Altitudes auf cut the knot org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hohe Geometrie amp oldid 230413415