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Zylinder Geometrie Ein Zylinder auch Drehzylinder von lateinisch cylindrus von altgriechisch κύλινδρος kýlindros von κυλ

Zylinder (Geometrie)

Ein Zylinder (auch Drehzylinder) (von lateinisch cylindrus, von altgriechisch κύλινδρος kýlindros, von κυλίνδειν kylíndein, deutsch ‚rollen, wälzen‘) ist im einfachsten Fall eine

  • Fläche, deren Punkte von einer festen Gerade, der Achse, denselben Abstand haben.
Senkrechter Kreiszylinder: Höhe , Radius

Da solch eine Fläche unendlich ausgedehnt ist, beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz (s. Bild).

  • Sind die Schnittebenen senkrecht zur Achse, entsteht ein senkrechter (oder gerader) Kreiszylinder mit Radius und Höhe . Die so beschnittene Fläche heißt Mantelfläche des Zylinders, die Schnittflächen senkrecht zur Achse können jeweils als Grundfläche bezeichnet werden.

Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Strecke um die (parallele) Zylinderachse erzeugt denken kann, wird er auch Drehzylinder genannt. Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende.

In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Schnittkreisflächen eingeschlossen wird.

In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemeiner (siehe Abschnitt allgemeiner Zylinder).

Kreiszylinder Bearbeiten

In der Praxis spielt der senkrechte Kreiszylinder in verschiedenen Variationen eine wichtige Rolle. Deshalb werden hierfür konkrete Formeln angegeben.

Senkrechter Kreiszylinder Bearbeiten

Gerader Kreiszylinder mit abgewickeltem Mantel

Es ergibt sich für

  • das Volumen (Grundfläche × Höhe)
  • die Mantelfläche (die Abwicklung ist ein Rechteck der Länge und Höhe )
  • die Oberfläche

Ein gerader Kreiszylinder mit heißt gleichseitiger Zylinder. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Zylinder mit einer Ebene, die die Zylinderachse enthält, so erhält man ein Quadrat (mit der Seitenlänge ).

Ist der Querschnitt eine Ellipse mit den Halbachsen , so ist

  • die Mantelfläche nicht durch eine einfache Formel bestimmbar.

Hohlzylinder Bearbeiten

Hohlzylinder

Besitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder. Für einen Hohlzylinder – etwa ein gerades Rohrstück – sind die bestimmenden Größen neben der Höhe der Außenradius und der Innenradius . Die Wanddicke b ist somit .

  • Das Volumen ist
  • die Mantelfläche (innen und außen)
  • die Oberfläche

Ist die Höhe eines Hohlzylinders kleiner als dessen Außenradius , wird von einer Lochscheibe mit konzentrischer, kreisförmiger Öffnung gesprochen.

Zylinderabschnitt Bearbeiten

Schräg abgeschnittener gerader Kreis-Zylinder

Schneidet man einen geraden Kreiszylinder (Radius ) mit einer Ebene schräg ab, entsteht als Schnittkurve eine Ellipse. Hat der untere Zylinderabschnitt die minimale Höhe und die maximale Höhe , so hat die Schnittellipse

  • die große Halbachse und die kleine Halbachse , wobei ist, mit dem Neigungswinkel der Schnittebene,
  • die numerische Exzentrizität .

Der Zylinderabschnitt selbst hat

  • das Volumen ,
  • die Mantelfläche
  • die Oberfläche .

Bemerkung: Das Volumen und die Mantelfläche sind gleich dem des Zylinders mit der mittleren Höhe .

Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders (Tank-Problem) Bearbeiten

Teilweise gefüllter liegender Zylinder (Tank)

Die Berechnung des Inhalts eines teilweise gefüllten liegenden Kreiszylinders kann anhand der Länge , des Radius sowie der Füllhöhe vorgenommen werden. Nach der oben angegebenen Gleichung Volumen = Grundfläche · Höhe ergibt sich das Volumen der Füllung durch Multiplikation des Flächeninhalts des Kreissegments mit der Länge des Zylinders:

Allgemeiner Zylinder Bearbeiten

Definition eines allgemeinen Zylinders und Beispiel schiefer Kreiszylinder
Beispiele von Zylindern: oben Kreiszylinder und elliptischer Zylinder, unten: Prismen

In der Mathematik definiert man einen Zylinder(-Mantel) allgemeiner:

  • Eine ebene Kurve in einer Ebene wird entlang einer Gerade, die nicht in enthalten ist, um eine feste Strecke verschoben. Je zwei sich entsprechenden Punkte der Kurven und der verschobenen Kurve werden durch eine Strecke verbunden. Die Gesamtheit dieser parallelen Strecken bildet die zugehörige Zylinder-Fläche (siehe Bild). Die Kurve nennt man Leitkurve. Eine auf dem Zylinder liegende Gerade heißt Erzeugende oder Mantellinie.

Ist die Kurve ein Kreis, entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Falls ist, ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder.

Ist eine geschlossene Kurve, kann man die Mantelfläche mit den beiden Begrenzungsflächen wieder als Oberfläche eines Körpers auffassen. Ist die Kurve nicht geschlossen, z. B. ein Parabelbogen (siehe unten), so ist der Zylinder nur die oben erklärte Mantelfläche, die allerdings Teil einer Oberfläche eines Körpers sein kann.

Die geometrische Besonderheit einer Zylinderfläche besteht in der folgenden Tatsache:

  • Eine Zylinderfläche enthält Geraden, sie ist eine Regelfläche, und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden.

Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderfläche für die Herstellung von Blechverkleidungen interessant.

  • Ist die erzeugende Kurve ein Polygon, so spricht man von einem Prisma (siehe Beispiele).

Eigenschaften eines allgemeinen Zylinders Bearbeiten

Schiefer Zylinder: Bezeichnungen

Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines allgemeinen Zylinders berechnen sich wie folgt:

  • Volumen: falls eine geschlossene Kurve ist,

Bei einem Prisma lässt sich die Grundfläche entweder direkt (Rechteck) oder durch eine geeignete Zerlegung in Drei- und/oder Rechtecke berechnen (siehe Flächeninhalt). Ist eine stückweise glatte Kurve, kann man durch geeignete Integrale direkt oder numerisch den Inhalt bestimmen.

Bei einem senkrechten Zylinder ist und die Länge der Leitkurve .

Bei einem schiefen Zylinder der Höhe ist wobei der Winkel der Zylinderachse (Richtung von ) und der Normalen der Ebene ist. Die Querschnittkurve ist im Falle eines schiefen Kreis- oder elliptischen Zylinders eine Ellipse, bei einem Prisma ein Polygon. Der Umfang ist bei einem Polygon einfach die Summe der Kantenlängen, bei einem Kreis . Bei einer stückweise glatten Leitkurve kann man versuchen, die Länge der Querschnittkurve mit Hilfe eines Kurvenintegrals zu berechnen. Aber selbst bei einer Ellipse, die kein Kreis ist, ist dies schon ein Problem (siehe elliptisches Integral), das man nur numerisch lösen kann.

Analytische Beschreibung Bearbeiten

Schiefer elliptischer Zylinder in allgemeiner Lage
Senkrechter Kreiszylinder in allgemeiner Lage
Parabolischer Zylinder
Hyperbolischer Zylinder

Die Mantelfläche eines senkrechten Kreiszylinders mit Radius und Höhe , der auf der x-y-Ebene steht und die z-Achse als Achse besitzt, lässt sich durch eine Gleichung in x,y und eine Ungleichung für z beschreiben:

Will man den Vollzylinder beschreiben, muss man durch mit ersetzen.

Ersetzt man die Kreisgleichung durch die Gleichung einer Ellipse, erhält man die Beschreibung eines senkrechten elliptischen Zylinders:

  • Das Volumen ist

Eine Parameterdarstellung eines senkrechten Kreis- bzw. elliptischen Zylinders erhält man, indem man die übliche Parameterdarstellung eines Kreises bzw. einer Ellipse verwendet:

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Zylinders ist schwierig anzugeben. Die Parameterdarstellung eines beliebigen elliptischen Zylinders dagegen relativ einfach:

Dabei ist der Mittelpunkt der Bodenellipse und sind drei linear unabhängige Vektoren. zeigt in Richtung der Zylinderachse (siehe Bild).

Sind die drei Vektoren paarweise orthogonal und ist , so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiszylinder mit Radius und Höhe beschrieben (siehe Bild).

Dass ein beliebiger elliptischer Zylinder auch immer Kreise enthält wird in Kreisschnittebene gezeigt.

Diese Art von Parameterdarstellung ist sehr flexibel. Z. B. stellt

einen parabolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Bild, Parabel).

Ein senkrechter parabolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten Kreiszylinder auch durch

beschreiben.

Die Parameterdarstellung

stellt einen hyperbolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Hyperbel).

Ein senkrechter hyperbolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten elliptischen Zylinder durch

beschreiben.

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

Silo Bearbeiten

Zylinderförmige Getreidesilos

Getreidesilos haben oft die Form eines Zylinders.

Ein zylinderförmiges Getreidesilo mit dem Durchmesser 12 Meter und der Höhe 60 Meter wird zu 40 Prozent mit Weizen gefüllt. Es ist also und .

Daraus ergeben sich das Volumen und die Oberfläche:

  • Volumen:
  • Oberfläche:

Das Getreidesilo wird also mit etwa 2714 Kubikmetern Weizen gefüllt. Die Oberfläche beträgt etwa 1131 Quadratmeter.

Trinkglas Bearbeiten

Ein etwa zylinderförmiges Trinkglas

Einige Trinkgläser haben annähernd die Form eines Zylinders.

Ein zylinderförmiges Trinkglas mit dem Durchmesser 74 Millimeter und der Füllhöhe 92 Millimeter wird zur Hälfte mit Orangensaft gefüllt. Es ist also und .

Daraus ergeben sich das Volumen und die Oberfläche:

  • Volumen:
  • Oberfläche:

Das Trinkglas wird also mit etwa 198 Millilitern Orangensaft gefüllt. Die Oberfläche beträgt etwa 193 Quadratzentimeter.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 251.
  • Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. 154–157 (Auszug (Google)).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Zylinder (Geometrie) – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
Wikisource: Meyers Blitz-Lexikon – Quellen und Volltexte
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Ein Zylinder auch Drehzylinder von lateinisch cylindrus von altgriechisch kylindros kylindros von kylindein kylindein deutsch rollen walzen ist im einfachsten Fall eineFlache deren Punkte von einer festen Gerade der Achse denselben Abstand r displaystyle r haben Senkrechter Kreiszylinder Hohe h displaystyle h Radius r displaystyle r Da solch eine Flache unendlich ausgedehnt ist beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz h displaystyle h s Bild Sind die Schnittebenen senkrecht zur Achse entsteht ein senkrechter oder gerader Kreiszylinder mit Radius r displaystyle r und Hohe h displaystyle h Die so beschnittene Flache heisst Mantelflache des Zylinders die Schnittflachen senkrecht zur Achse konnen jeweils als Grundflache bezeichnet werden Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Strecke um die parallele Zylinderachse erzeugt denken kann wird er auch Drehzylinder genannt Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Korper der von der Mantelflache und den beiden Schnittkreisflachen eingeschlossen wird In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemeiner siehe Abschnitt allgemeiner Zylinder Inhaltsverzeichnis 1 Kreiszylinder 1 1 Senkrechter Kreiszylinder 1 2 Hohlzylinder 1 3 Zylinderabschnitt 1 4 Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders Tank Problem 2 Allgemeiner Zylinder 3 Eigenschaften eines allgemeinen Zylinders 4 Analytische Beschreibung 5 Anwendungsbeispiele 5 1 Silo 5 2 Trinkglas 6 Siehe auch 7 Literatur 8 WeblinksKreiszylinder BearbeitenIn der Praxis spielt der senkrechte Kreiszylinder in verschiedenen Variationen eine wichtige Rolle Deshalb werden hierfur konkrete Formeln angegeben Senkrechter Kreiszylinder Bearbeiten nbsp Gerader Kreiszylinder mit abgewickeltem MantelEs ergibt sich fur das Volumen V p r 2 h displaystyle V pi r 2 h nbsp Grundflache Hohe die Mantelflache M 2 p r h displaystyle M 2 pi r h nbsp die Abwicklung ist ein Rechteck der Lange 2 p r displaystyle 2 pi r nbsp und Hohe h displaystyle h nbsp die Oberflache O 2 p r 2 2 p r h displaystyle O 2 pi r 2 2 pi rh nbsp Ein gerader Kreiszylinder mit h 2 r displaystyle h 2r nbsp heisst gleichseitiger Zylinder Diese Bezeichnung erklart sich wie folgt Schneidet man einen solchen Zylinder mit einer Ebene die die Zylinderachse enthalt so erhalt man ein Quadrat mit der Seitenlange 2 r displaystyle 2r nbsp Ist der Querschnitt eine Ellipse mit den Halbachsen a b displaystyle a b nbsp so ist V p a b h displaystyle V pi ab h nbsp die Mantelflache M displaystyle M nbsp nicht durch eine einfache Formel bestimmbar O 2 p a b M displaystyle O 2 pi ab M nbsp Hohlzylinder Bearbeiten nbsp HohlzylinderBesitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse so spricht man von einem Hohlzylinder Fur einen Hohlzylinder etwa ein gerades Rohrstuck sind die bestimmenden Grossen neben der Hohe h displaystyle h nbsp der Aussenradius R displaystyle R nbsp und der Innenradius r displaystyle r nbsp Die Wanddicke b ist somit R r displaystyle R r nbsp Das Volumen ist V p R 2 h p r 2 h p R 2 r 2 h displaystyle V pi R 2 h pi r 2 h pi R 2 r 2 h nbsp die Mantelflache innen und aussen M 2 p R r h displaystyle M 2 pi R r h nbsp die Oberflache O 2 p R 2 r 2 2 p R r h 2 p R r R r h displaystyle O 2 pi R 2 r 2 2 pi R r h 2 pi R r R r h nbsp Ist die Hohe h displaystyle h nbsp eines Hohlzylinders kleiner als dessen Aussenradius R displaystyle R nbsp wird von einer Lochscheibe mit konzentrischer kreisformiger Offnung gesprochen Zylinderabschnitt Bearbeiten nbsp Schrag abgeschnittener gerader Kreis ZylinderSchneidet man einen geraden Kreiszylinder Radius r displaystyle r nbsp mit einer Ebene schrag ab entsteht als Schnittkurve eine Ellipse Hat der untere Zylinderabschnitt die minimale Hohe h 1 displaystyle h 1 nbsp und die maximale Hohe h 2 displaystyle h 2 nbsp so hat die Schnittellipse die grosse Halbachse a r 2 h 2 h 1 2 2 displaystyle a sqrt r 2 tfrac h 2 h 1 2 2 nbsp und die kleine Halbachse b r displaystyle b r nbsp wobei h 2 h 1 2 r tan b displaystyle tfrac h 2 h 1 2 r tan beta nbsp ist mit b displaystyle beta nbsp dem Neigungswinkel der Schnittebene die numerische Exzentrizitat e sin b displaystyle varepsilon sin beta nbsp Der Zylinderabschnitt selbst hat das Volumen V p r 2 h 1 h 2 2 displaystyle V pi r 2 tfrac h 1 h 2 2 nbsp die Mantelflache M 2 p r h 1 h 2 2 p r h 1 h 2 displaystyle M 2 pi r tfrac h 1 h 2 2 pi r h 1 h 2 nbsp die Oberflache O p r 2 a r p r h 1 h 2 p r r a h 1 h 2 displaystyle O pi r 2 ar pi r h 1 h 2 pi r r a h 1 h 2 nbsp Bemerkung Das Volumen und die Mantelflache sind gleich dem des Zylinders mit der mittleren Hohe h 1 h 2 2 displaystyle tfrac h 1 h 2 2 nbsp Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders Tank Problem Bearbeiten nbsp Teilweise gefullter liegender Zylinder Tank Die Berechnung des Inhalts V displaystyle V nbsp eines teilweise gefullten liegenden Kreiszylinders kann anhand der Lange L displaystyle L nbsp des Radius r displaystyle r nbsp sowie der Fullhohe h displaystyle h nbsp vorgenommen werden Nach der oben angegebenen Gleichung Volumen Grundflache Hohe ergibt sich das Volumen der Fullung durch Multiplikation des Flacheninhalts des Kreissegments mit der Lange L displaystyle L nbsp des Zylinders V L r 2 arccos r h r r h 2 r h h 2 displaystyle V L left r 2 arccos left frac r h r right r h sqrt 2rh h 2 right nbsp Allgemeiner Zylinder Bearbeiten nbsp Definition eines allgemeinen Zylinders und Beispiel schiefer Kreiszylinder nbsp Beispiele von Zylindern oben Kreiszylinder und elliptischer Zylinder unten PrismenIn der Mathematik definiert man einen Zylinder Mantel allgemeiner Eine ebene Kurve c 0 displaystyle c 0 nbsp in einer Ebene e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp wird entlang einer Gerade die nicht in e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp enthalten ist um eine feste Strecke a displaystyle vec a nbsp verschoben Je zwei sich entsprechenden Punkte der Kurven c 0 displaystyle c 0 nbsp und der verschobenen Kurve c 1 displaystyle c 1 nbsp werden durch eine Strecke verbunden Die Gesamtheit dieser parallelen Strecken bildet die zugehorige Zylinder Flache siehe Bild Die Kurve c 0 displaystyle c 0 nbsp nennt man Leitkurve Eine auf dem Zylinder liegende Gerade heisst Erzeugende oder Mantellinie Ist die Kurve ein Kreis entsteht ein schiefer Kreiszylinder Falls a e 0 displaystyle vec a perp varepsilon 0 nbsp ist ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder Ist c 0 displaystyle c 0 nbsp eine geschlossene Kurve kann man die Mantelflache mit den beiden Begrenzungsflachen wieder als Oberflache eines Korpers auffassen Ist die Kurve c 0 displaystyle c 0 nbsp nicht geschlossen z B ein Parabelbogen siehe unten so ist der Zylinder nur die oben erklarte Mantelflache die allerdings Teil einer Oberflache eines Korpers sein kann Die geometrische Besonderheit einer Zylinderflache besteht in der folgenden Tatsache Eine Zylinderflache enthalt Geraden sie ist eine Regelflache und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderflache fur die Herstellung von Blechverkleidungen interessant Ist die erzeugende Kurve ein Polygon so spricht man von einem Prisma siehe Beispiele Eigenschaften eines allgemeinen Zylinders Bearbeiten nbsp Schiefer Zylinder BezeichnungenVolumen Mantelflache und Oberflache eines allgemeinen Zylinders berechnen sich wie folgt Volumen V G h displaystyle V G cdot h nbsp falls c 0 displaystyle c 0 nbsp eine geschlossene Kurve ist wobei G displaystyle G nbsp die Grundflache von c 0 displaystyle c 0 nbsp eingeschlossene Flache und h displaystyle h nbsp die Hohe ist siehe Cavalierisches Prinzip Bei einem Prisma lasst sich die Grundflache G displaystyle G nbsp entweder direkt Rechteck oder durch eine geeignete Zerlegung in Drei und oder Rechtecke berechnen siehe Flacheninhalt Ist c 0 displaystyle c 0 nbsp eine stuckweise glatte Kurve kann man durch geeignete Integrale direkt oder numerisch den Inhalt bestimmen Mantelflache M U l displaystyle M U cdot l nbsp wobei U displaystyle U nbsp der Umfang Bogenlange des Querschnitts c displaystyle c perp nbsp Schnittkurve displaystyle perp nbsp zu den Mantellinien und l displaystyle l nbsp die Lange des Mantels ist siehe Bild Man beachte c displaystyle c perp nbsp kann man als senkrechte Parallelprojektion der Leitkurve c 0 displaystyle c 0 nbsp auf irgendeine Querschnittsebene senkrecht zu den Mantellinien auffassen Bei einem senkrechten Zylinder ist l h displaystyle l h nbsp und U displaystyle U nbsp die Lange der Leitkurve c 0 displaystyle c 0 nbsp Bei einem schiefen Zylinder der Hohe h displaystyle h nbsp ist l h cos f displaystyle l tfrac h cos varphi nbsp wobei f displaystyle varphi nbsp der Winkel der Zylinderachse Richtung von a displaystyle vec a nbsp und der Normalen der Ebene e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp ist Die Querschnittkurve c displaystyle c perp nbsp ist im Falle eines schiefen Kreis oder elliptischen Zylinders eine Ellipse bei einem Prisma ein Polygon Der Umfang U displaystyle U nbsp ist bei einem Polygon einfach die Summe der Kantenlangen bei einem Kreis 2 p r displaystyle 2 pi r nbsp Bei einer stuckweise glatten Leitkurve c 0 displaystyle c 0 nbsp kann man versuchen die Lange der Querschnittkurve c displaystyle c perp nbsp mit Hilfe eines Kurvenintegrals zu berechnen Aber selbst bei einer Ellipse die kein Kreis ist ist dies schon ein Problem siehe elliptisches Integral das man nur numerisch losen kann Oberflache O M 2 G displaystyle O M 2 cdot G nbsp falls c 0 displaystyle c 0 nbsp eine geschlossene Kurve ist Analytische Beschreibung Bearbeiten nbsp Schiefer elliptischer Zylinder in allgemeiner Lage nbsp Senkrechter Kreiszylinder in allgemeiner Lage nbsp Parabolischer Zylinder nbsp Hyperbolischer ZylinderDie Mantelflache eines senkrechten Kreiszylinders mit Radius R displaystyle R nbsp und Hohe h displaystyle h nbsp der auf der x y Ebene steht und die z Achse als Achse besitzt lasst sich durch eine Gleichung in x y und eine Ungleichung fur z beschreiben x 2 y 2 R 2 0 z h displaystyle x 2 y 2 R 2 0 leq z leq h nbsp Will man den Vollzylinder beschreiben muss man R displaystyle R nbsp durch r displaystyle r nbsp mit 0 r R displaystyle 0 leq r leq R nbsp ersetzen Ersetzt man die Kreisgleichung durch die Gleichung einer Ellipse erhalt man die Beschreibung eines senkrechten elliptischen Zylinders x 2 a 2 y 2 b 2 1 0 z h displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 quad 0 leq z leq h nbsp Das Volumen ist V p a b h displaystyle V pi ab h nbsp Eine Parameterdarstellung eines senkrechten Kreis bzw elliptischen Zylinders erhalt man indem man die ubliche Parameterdarstellung eines Kreises bzw einer Ellipse verwendet x f z R cos f R sin f z 0 f lt 2 p 0 z h displaystyle vec x varphi z R cos varphi R sin varphi z quad 0 leq varphi lt 2 pi 0 leq z leq h nbsp x f z a cos f b sin f z 0 f lt 2 p 0 z h displaystyle vec x varphi z a cos varphi b sin varphi z quad 0 leq varphi lt 2 pi 0 leq z leq h nbsp Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Zylinders ist schwierig anzugeben Die Parameterdarstellung eines beliebigen elliptischen Zylinders dagegen relativ einfach x f t q 0 f 1 cos f f 2 sin f f 3 t 0 f lt 2 p 0 t 1 displaystyle vec x varphi t vec q 0 vec f 1 cos varphi vec f 2 sin varphi vec f 3 t quad 0 leq varphi lt 2 pi 0 leq t leq 1 nbsp Dabei ist q 0 displaystyle vec q 0 nbsp der Mittelpunkt der Bodenellipse und f 1 f 2 f 3 displaystyle vec f 1 vec f 2 vec f 3 nbsp sind drei linear unabhangige Vektoren f 3 displaystyle vec f 3 nbsp zeigt in Richtung der Zylinderachse siehe Bild Sind die drei Vektoren f 1 f 2 f 3 displaystyle vec f 1 vec f 2 vec f 3 nbsp paarweise orthogonal und ist f 1 f 2 R displaystyle vec f 1 vec f 2 R nbsp so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiszylinder mit Radius R displaystyle R nbsp und Hohe f 3 displaystyle vec f 3 nbsp beschrieben siehe Bild Dass ein beliebiger elliptischer Zylinder auch immer Kreise enthalt wird in Kreisschnittebene gezeigt Diese Art von Parameterdarstellung ist sehr flexibel Z B stellt x s t q 0 f 1 s f 2 s 2 f 3 t s 0 s s 0 0 t 1 displaystyle vec x s t vec q 0 vec f 1 s vec f 2 s 2 vec f 3 t quad s 0 leq s leq s 0 0 leq t leq 1 nbsp einen parabolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar siehe Bild Parabel Ein senkrechter parabolischer Zylinder lasst sich analog zum senkrechten Kreiszylinder auch durch y a x 2 0 z h displaystyle y ax 2 0 leq z leq h nbsp beschreiben Die Parameterdarstellung x s t q 0 f 1 cosh s f 2 sinh s f 3 t s 0 s s 0 0 t 1 displaystyle vec x s t vec q 0 pm vec f 1 cosh s vec f 2 sinh s vec f 3 t quad s 0 leq s leq s 0 0 leq t leq 1 nbsp stellt einen hyperbolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar siehe Hyperbel Ein senkrechter hyperbolischer Zylinder lasst sich analog zum senkrechten elliptischen Zylinder durch x 2 a 2 y 2 b 2 1 0 z h displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 0 leq z leq h nbsp beschreiben Anwendungsbeispiele BearbeitenSilo Bearbeiten nbsp Zylinderformige GetreidesilosGetreidesilos haben oft die Form eines Zylinders Ein zylinderformiges Getreidesilo mit dem Durchmesser 12 Meter und der Hohe 60 Meter wird zu 40 Prozent mit Weizen gefullt Es ist also r 6 m displaystyle r 6 mathrm m nbsp und h 0 4 60 m 24 m displaystyle h 0 4 cdot 60 mathrm m 24 mathrm m nbsp Daraus ergeben sich das Volumen und die Oberflache Volumen V p r 2 h p 6 m 2 24 m 2714 m 3 displaystyle V pi cdot r 2 cdot h pi cdot 6 mathrm m 2 cdot 24 mathrm m approx 2714 mathrm m 3 nbsp Oberflache O 2 p r r h 2 p 6 m 30 m 1131 m 2 displaystyle O 2 pi cdot r cdot r h 2 pi cdot 6 mathrm m cdot 30 mathrm m approx 1131 mathrm m 2 nbsp Das Getreidesilo wird also mit etwa 2714 Kubikmetern Weizen gefullt Die Oberflache betragt etwa 1131 Quadratmeter Trinkglas Bearbeiten nbsp Ein etwa zylinderformiges TrinkglasEinige Trinkglaser haben annahernd die Form eines Zylinders Ein zylinderformiges Trinkglas mit dem Durchmesser 74 Millimeter und der Fullhohe 92 Millimeter wird zur Halfte mit Orangensaft gefullt Es ist also r 37 m m displaystyle r 37 mathrm mm nbsp und h 1 2 92 m m 46 m m displaystyle h tfrac 1 2 cdot 92 mathrm mm 46 mathrm mm nbsp Daraus ergeben sich das Volumen und die Oberflache Volumen V p r 2 h p 37 m m 2 46 m m displaystyle V pi r 2 cdot h pi 37 mathrm mm 2 cdot 46 mathrm mm nbsp 198 10 3 m m 3 198 c m 3 198 m l displaystyle qquad qquad quad approx 198 cdot 10 3 mathrm mm 3 198 mathrm cm 3 198 mathrm ml nbsp Oberflache O 2 p r r h 2 p 37 m m 83 m m displaystyle O 2 pi cdot r cdot r h 2 pi cdot 37 mathrm mm cdot 83 mathrm mm nbsp 193 10 2 m m 2 193 c m 2 displaystyle qquad qquad qquad approx 193 cdot 10 2 mathrm mm 2 193 mathrm cm 2 nbsp Das Trinkglas wird also mit etwa 198 Millilitern Orangensaft gefullt Die Oberflache betragt etwa 193 Quadratzentimeter Siehe auch BearbeitenAbwicklung Darstellende Geometrie Quadrik Schnittpunkt Darstellende Geometrie Steinmetz Korper Schnitt zweier bzw dreier Vollzylinder ZylinderkoordinatenLiteratur BearbeitenBronstein Semendjajew Taschenbuch der Mathematik Harri Deutsch Verlag 1983 ISBN 3 87144 492 8 S 251 Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn Grundlagenwissen fur alle technischen mathematisch naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengange Springer 2010 ISBN 978 3 8348 1293 3 S 154 157 Auszug Google Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Zylinder Geometrie Album mit Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wikisource Meyers Blitz Lexikon Quellen und Volltexte mathematik tu darmstadt de Hartmann Computerunterstutzte Darstellende und Konstruktive Geometrie Uni Darmstadt S 99 math kit edu Renner Mantelflachen schiefer Korper KIT Karlsruhe uni regensburg de Rothmeier Geometrische Korper Uni Regensburg Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zylinder Geometrie amp oldid 234584770