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Steinmetz Körper In der Geometrie ist ein ein Körper der als Schnitt zweier oder dreier senkrechter Kreiszylinder deren

Steinmetz-Körper

In der Geometrie ist ein Steinmetz-Körper ein Körper, der als Schnitt zweier oder dreier senkrechter Kreiszylinder, deren Achsen sich senkrecht schneiden, entsteht. Sie sind nach dem deutschstämmigen US-amerikanischen Elektroingenieur Charles Proteus Steinmetz benannt. Steinmetz gab Formeln für die Volumina solcher Körper an. Diese waren allerdings schon viel früher bekannt. Bereits Archimedes und Zu Chongzhi konnten das Volumen des Schnittes zweier Vollzylinder berechnen.

Steinmetz-Körper als Schnitt zweier Vollzylinder

In englischer Literatur werden diese Körper auch bicylinder bzw. tricylinder genannt. In der deutschsprachigen Literatur haben diese Körper keine besonderen Namen.

Steinmetz-Körper aus 2 Zylindern Bearbeiten

Erzeugung der Oberfläche eines Steinmetz-Körpers aus zwei Zylindern
Steinmetz-Körper: zur Herleitung der Volumenformel

Ein Steinmetz-Körper als Schnitt zweier Zylinder mit Radius hat das

und die

Beweis der Volumenformel:

Zum Beweis der Volumenformel lässt sich die Idee verwenden, die der Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers zu Grunde liegt. Man ersetzt einfach die dünnen Zylinderscheiben bei der Berechnung des Volumens einer Rotationsfläche durch dünne quaderförmige Scheiben, deren Grundfläche hier Quadrate sind. Dies führt (s. Skizze) auf die entsprechende Volumenformel

Vergleich mit einbeschriebener Pyramide und umbeschriebenem Quader:

Die Volumina eines Kreiskegels, einer Halbkugel und eines Kreiszylinders mit gleichen Radien und gleichen Höhen (= Radius) verhalten sich bekanntlich wie 1 : 2 : 3. Dasselbe bemerkenswerte Volumenverhältnis gilt für die dem halben Steinmetz-Körper einbeschriebene quadratische Pyramide (), den halben Steinmetz-Körper () und den dem halben Steinmetz-Körper umbeschriebenen Quader ().

Beweis der Oberflächenformel:

Die Oberfläche besteht aus 2 roten und 2 blauen Zweiecken. Nun schneidet man ein rotes Zweieck mit Hilfe der y-z-Ebene in zwei Hälften und wickelt eine der Hälften so ab, dass der Schnitthalbkreis im Nullpunkt beginnend auf der positiven -Achse liegt und die Abwicklung nach oben durch den halben Sinusbogen begrenzt wird. Der Flächeninhalt dieser Abwicklung ist dann

Die ganze Oberfläche ist also

Steinmetz-Körper aus 3 Zylindern Bearbeiten

Erzeugung der Oberfläche eines Steinmetz-Körpers aus 3 Zylindern. Zunächst werden zwei Zylinder (rot, blau) geschnitten. Der entstehende Bizylinder wird dann noch mit dem grünen Zylinder geschnitten.

Der Schnitt dreier senkrechter Kreiszylinder, deren Achsen sich senkrecht schneiden, ergibt einen Körper mit Ecken, in denen sich 3 Schnittkurven treffen, und Ecken, in denen sich 4 Schnittkurven treffen. Die Gesamtheit der Ecken kann man als Ecken eines Rhombendodekaeders auffassen. Der Schlüssel zur Berechnung von Volumen und Oberfläche ist die Beobachtung, dass man den Körper aus dem Würfel mit den Ecken, in denen sich 3 Kanten schneiden, und kurvierten Pyramiden (die Seitendreiecke bestehen aus Zylinderflächenteilen) über den Seitenflächen dieses Würfels zusammensetzen kann. Volumen und Mantelfläche solch einer kurvierten Pyramide lassen sich mit Überlegungen wie im vorigen Fall berechnen.

Für das Volumen des Steinmetz-Körpers ergibt sich schließlich

und die Oberfläche ist

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Belege Bearbeiten

  1. Howard Eves: Slicing it thin. In: David Klarner: The mathematical Gardner. Wadsworth International, 1981, S. 111.
  2. Intersecting Cylinders: From Archimedes and Zu Chongzhi to Steinmetz and Beyond
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In der Geometrie ist ein Steinmetz Korper ein Korper der als Schnitt zweier oder dreier senkrechter Kreiszylinder deren Achsen sich senkrecht schneiden entsteht Sie sind nach dem deutschstammigen US amerikanischen Elektroingenieur Charles Proteus Steinmetz 1 benannt Steinmetz gab Formeln fur die Volumina solcher Korper an Diese waren allerdings schon viel fruher bekannt Bereits Archimedes und Zu Chongzhi 2 konnten das Volumen des Schnittes zweier Vollzylinder berechnen Steinmetz Korper als Schnitt zweier VollzylinderIn englischer Literatur werden diese Korper auch bicylinder bzw tricylinder genannt In der deutschsprachigen Literatur haben diese Korper keine besonderen Namen Inhaltsverzeichnis 1 Steinmetz Korper aus 2 Zylindern 2 Steinmetz Korper aus 3 Zylindern 3 Literatur 4 Weblinks 5 BelegeSteinmetz Korper aus 2 Zylindern Bearbeiten nbsp Erzeugung der Oberflache eines Steinmetz Korpers aus zwei Zylindern nbsp Steinmetz Korper zur Herleitung der VolumenformelEin Steinmetz Korper als Schnitt zweier Zylinder mit Radius r displaystyle r nbsp hat das Volumen V 16 3 r 3 displaystyle V frac 16 3 r 3 nbsp und die Oberflache O 16 r 2 displaystyle O 16r 2 nbsp Beweis der Volumenformel Zum Beweis der Volumenformel lasst sich die Idee verwenden die der Berechnung des Volumens eines Rotationskorpers zu Grunde liegt Man ersetzt einfach die dunnen Zylinderscheiben bei der Berechnung des Volumens einer Rotationsflache durch dunne quaderformige Scheiben deren Grundflache hier Quadrate sind Dies fuhrt s Skizze auf die entsprechende Volumenformel V r r 2 x 2 d z 4 r r x 2 d z 4 r r r 2 z 2 d z 16 3 r 3 displaystyle V int r r 2x 2 mathrm d z 4 cdot int r r x 2 mathrm d z 4 cdot int r r r 2 z 2 mathrm d z frac 16 3 r 3 nbsp Vergleich mit einbeschriebener Pyramide und umbeschriebenem Quader Die Volumina eines Kreiskegels einer Halbkugel und eines Kreiszylinders mit gleichen Radien und gleichen Hohen Radius verhalten sich bekanntlich wie 1 2 3 Dasselbe bemerkenswerte Volumenverhaltnis gilt fur die dem halben Steinmetz Korper einbeschriebene quadratische Pyramide a 2 r h r V 4 3 r 3 displaystyle a 2r h r V frac 4 3 r 3 nbsp den halben Steinmetz Korper V 8 3 r 3 displaystyle V frac 8 3 r 3 nbsp und den dem halben Steinmetz Korper umbeschriebenen Quader a 2 r h r V 4 r 3 displaystyle a 2r h r V 4r 3 nbsp Beweis der Oberflachenformel Die Oberflache besteht aus 2 roten und 2 blauen Zweiecken Nun schneidet man ein rotes Zweieck mit Hilfe der y z Ebene in zwei Halften und wickelt eine der Halften so ab dass der Schnitthalbkreis im Nullpunkt beginnend auf der positiven 3 displaystyle xi nbsp Achse liegt und die Abwicklung nach oben durch den halben Sinusbogen h r sin 3 r 0 3 p r displaystyle eta r sin left frac xi r right 0 leq xi leq pi r nbsp begrenzt wird Der Flacheninhalt dieser Abwicklung ist dann A 0 p r r sin 3 r d 3 2 r 2 displaystyle A int 0 pi r r sin left frac xi r right mathrm d xi 2r 2 nbsp Die ganze Oberflache ist also O 8 A 16 r 2 displaystyle O 8 cdot A 16r 2 nbsp Steinmetz Korper aus 3 Zylindern Bearbeiten nbsp Erzeugung der Oberflache eines Steinmetz Korpers aus 3 Zylindern Zunachst werden zwei Zylinder rot blau geschnitten Der entstehende Bizylinder wird dann noch mit dem grunen Zylinder geschnitten Der Schnitt dreier senkrechter Kreiszylinder deren Achsen sich senkrecht schneiden ergibt einen Korper mit Ecken in denen sich 3 Schnittkurven treffen und Ecken in denen sich 4 Schnittkurven treffen Die Gesamtheit der Ecken kann man als Ecken eines Rhombendodekaeders auffassen Der Schlussel zur Berechnung von Volumen und Oberflache ist die Beobachtung dass man den Korper aus dem Wurfel mit den Ecken in denen sich 3 Kanten schneiden und kurvierten Pyramiden die Seitendreiecke bestehen aus Zylinderflachenteilen uber den Seitenflachen dieses Wurfels zusammensetzen kann Volumen und Mantelflache solch einer kurvierten Pyramide lassen sich mit Uberlegungen wie im vorigen Fall berechnen Fur das Volumen des Steinmetz Korpers ergibt sich schliesslich V 16 8 2 r 3 displaystyle V 16 8 sqrt 2 r 3 nbsp und die Oberflache ist O 3 16 8 2 r 2 displaystyle O 3 16 8 sqrt 2 r 2 nbsp Literatur BearbeitenTom M Apostol Mamikon A Mnatsakanian Solids Circumscribing Spheres In American Mathematical Monthly 113 Jahrgang Nr 6 2006 S 521 540 doi 10 2307 27641977 mamikon com PDF Jan Hogendijk The Surface Area of the Bicylinder and Archimedes Method In Historia Math 29 Jahrgang Nr 2 2002 S 199 203 doi 10 1006 hmat 2002 2349 M Moore Symmetrical Intersections of Right Circular Cylinders In The Mathematical Gazette 58 Jahrgang Nr 405 1974 S 181 185 doi 10 2307 3615957 Weblinks BearbeitenE Baumann Zylinderschnitte P Bourke Intersecting cylinders A J Hildebrand u a Intersecting Cylinders From Archimedes and Zu Chongzhi to Steinmetz and Beyond H Schumann Die interaktive Konstruktion von Durchdringungsobjekten mit Cabri 3D PDF 2 MB S 9 10 Eric W Weisstein Steinmetz Solid In MathWorld englisch Belege Bearbeiten Howard Eves Slicing it thin In David Klarner The mathematical Gardner Wadsworth International 1981 S 111 Intersecting Cylinders From Archimedes and Zu Chongzhi to Steinmetz and Beyond Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Steinmetz Korper amp oldid 226271824