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Regelfläche In der Geometrie heißt eine Fläche wenn durch jeden Punkt der Fläche eine Gerade geht die ganz in der Fläche

Regelfläche

In der Geometrie heißt eine Fläche Regelfläche, wenn durch jeden Punkt der Fläche eine Gerade geht, die ganz in der Fläche enthalten ist.

Regelfläche: Definition

Dies gilt etwa für Ebenen, Zylinder, Kegel, einschalige Hyperboloide und hyperbolische Paraboloide. Bei den beiden letztgenannten gehen durch jeden Punkt sogar zwei Geraden (es sind doppelt-gekrümmte Flächen). Eine Regelfläche, bei der durch jeden Punkt mehr als zwei Geraden gehen, kann nur eine Ebene sein.

Bei Regelflächen mit endlicher Ausdehnung (z. B. Zylindern) und ohne Selbstdurchdringungen (z. B. bei Kegeln und Regelschraubflächen) sind die Erzeugenden auf Strecken beschränkt.

Im Begriff Regelfläche hat Regel – wie auch in Kippregel – die ursprüngliche Bedeutung des lateinischen regula (Stab, Lineal), die heute noch im englischen rule oder dem französischen règle enthalten ist.

Regelflächen finden in der Architektur als leicht modellierbare Flächen Anwendung, da sie trotz Krümmung aus geraden Bauteilen zusammengesetzt oder – im Falle von Beton – mit geraden Brettern eingeschalt werden können. Große Kühltürme etwa haben oft die Form eines einschaligen Hyperboloids. Beim Bau von Lüftungskanälen und bei Klempnerarbeiten werden Blechabwicklungen verwendet, also abwickelbare Regelflächen wie zum Beispiel Zylinder- und Kegelsegmente, da diese durch einfaches Biegen geformt werden können, ohne das Material zu dehnen oder zu stauchen (wie bei den aufwändigeren Verfahren der Massivumformung).
Siehe auch Abwicklung (Darstellende Geometrie)

Bei der geometrischen Modellierung werden Regelflächen z. B. zur Erzeugung von Coons-Flächen verwendet.

Definition und Parameterdarstellung Bearbeiten

Regelfläche erzeugt mit zwei Bezierkurven als Leitkurven (rot, grün)

Definition

Parameterdarstellung Eine Regelfläche lässt sich durch eine Parameterdarstellung der Form

  • (CR)

beschreiben. Jede Flächenkurve mit festem Parameter ist eine Erzeugende (Gerade) und die Kurve ist die Leitkurve. Die Vektoren beschreiben das Richtungsfeld der Erzeugenden.

Die durch die Parameterdarstellung * beschriebene Regelfläche, kann man auch mit Hilfe der Kurve als zweite Leitkurve beschreiben:

  • (CD)

Umgekehrt kann man von zwei sich nicht schneidenden Kurven als Leitkurven ausgehen und erhält damit die Darstellung einer Regelfläche mit dem Richtungsfeld

Bei der Erzeugung einer Regelfläche mit Hilfe zweier Leitkurven (oder einer Leitkurve und eines Richtungsfeldes) ist nicht nur die geometrische Gestalt dieser Kurven von Bedeutung, sondern die konkrete Parameterdarstellung hat wesentlichen Einfluss auf die Gestalt der Regelfläche. Siehe Beispiele d)

Für theoretische Untersuchungen (s. u.) ist die Darstellung (CR) vorteilhaft, da der Parameter nur in einem Term vorkommt.

Beispiele Bearbeiten

Senkrechter Kreiszylinder Bearbeiten

Regelflächen: Zylinder, Kegel

:

Hierbei ist

Senkrechter Kreiskegel Bearbeiten

:

Hier ist
Man hätte auch als Leitkurve , also die Spitze des Kegels, und als Richtungsfeld wählen können. Bei allen Kegeln kann man als Leitkurve die Spitze wählen.

Wendelfläche Bearbeiten

Wendelfläche als Regelfläche

Die Leitkurve ist die z-Achse, das Richtungsfeld und die zweite Leitkurve ist eine Schraublinie.

Zylinder, Kegel und Hyperboloide Bearbeiten

Regelfläche: einschaliges Hyperboloid für

Die Parameterdarstellung

besitzt zwei horizontale Einheitskreise als Leitkurven. Der zusätzliche Parameter erlaubt es, die Parameterdarstellungen der Kreise zu variieren. Für

Hyperbolisches Paraboloid Bearbeiten

Hyperbolisches Paraboloid

Falls die Leitlinien in (CD) die Geraden

sind, erhält man

Dies ist das hyperbolische Paraboloid, das die 4 Punkte bilinear interpoliert. Für das Beispiel der Zeichnung ist

und das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung .

Möbiusband Bearbeiten

Möbiusband

Die Regelfläche

mit

enthält ein Möbiusband.

Die Zeichnung zeigt das Möbiusband für .

Man rechnet leicht nach, dass ist (s. nächsten Abschnitt). D. h. diese Realisierung eines Möbiusbandes ist nicht abwickelbar. Es gibt allerdings auch abwickelbare Möbiusbänder.

Weitere Beispiele Bearbeiten

  1. Die Einhüllende einer einparametrigen Ebenenschar
  2. Oloid
  3. Catalansche Fläche
  4. Konoid
  5. Regelschraubflächen

Tangentialebenen, abwickelbare Flächen Bearbeiten

Für die hier notwendigen Ableitungen wird stets vorausgesetzt, dass sie auch existieren.

Um den Normalenvektor in einem Punkt zu berechnen, benötigt man die partiellen Ableitungen der Darstellung :

  • .

Da das Skalarprodukt ist (Ein Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren ist immer 0!), ist ein Tangentenvektor in jedem Punkt . Die Tangentialebenen entlang dieser Gerade sind identisch, falls ein Vielfaches von ist. Dies ist nur möglich, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen, d. h. linear abhängig sind. Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren kann man mit Hilfe der Determinante dieser Vektoren feststellen:

  • Die Tangentialebenen entlang der Gerade sind gleich, falls
Eine Erzeugende, für die dies gilt heißt torsal.
  • Eine Regelfläche ist genau dann in eine Ebene abwickelbar, wenn für alle Punkte die Gauß-Krümmung verschwindet. Dies ist genau dann der Fall, wenn
in jedem Punkt gilt, d. h., wenn jede Erzeugende eine Torsale ist. Eine abwickelbare Fläche heißt deswegen auch Torse.

Eigenschaften einer abwickelbaren Fläche:

  • Die Erzeugenden stellen eine Schar von Asymptotenlinien dar. Sie sind auch eine Schar von Krümmungslinien.
  • Eine abwickelbare Fläche ist entweder ein (allgemeiner) Zylinder oder ein (allgemeiner) Kegel oder eine Tangentenfläche (Fläche die aus den Tangenten einer Raumkurve besteht).

Anwendung und Geschichte abwickelbarer Flächen Bearbeiten

Verbindungstorse zweier Ellipsen und ihre Abwicklung

Die Determinantenbedingung für abwickelbare Flächen gibt einem eine Möglichkeit, eine Verbindungstorse zwischen zwei gegebenen Leitkurven numerisch zu ermitteln. Das Bild zeigt ein Beispiel einer Anwendung: Verbindungstorse zwischen zwei Ellipsen (eine horizontal, die andere vertikal) und ihre Abwicklung.

Einen Einblick in die Verwendung von abwickelbaren Flächen im CAD-Bereich findet man in Interactive design of developable surfaces

Einen historischen Überblick über abwickelbare Flächen gibt Developable Surfaces: Their History and Application.

Striktionslinie oder Kehllinie Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Bei einer zylindrischen Regelfläche sind alle Erzeugenden parallel, d. h. alle Richtungsvektoren sind parallel und damit Bei zwei parallelen Geraden haben alle Punkte der einen Gerade denselben Abstand zur anderen Gerade.

Bei einer nichtzylindrischen Regelfläche sind benachbarte Erzeugenden windschief und es existiert ein Punkt auf der einen Gerade, der minimalen Abstand zu der anderen Gerade hat. In diesem Fall ist Solch einen Punkt nennt man Zentralpunkt. Die Gesamtheit der Zentralpunkte bilden eine Kurve, die Striktionslinie oder Kehllinie oder auch Taille. Letztere Bezeichnung beschreibt sehr anschaulich die Striktionslinie eines einschaligen Rotations-Hyperboloids (s. u.).

  • In dem Zentralpunkt einer Erzeugenden nimmt der Betrag der Gausskrümmung ein Maximum an.

Eine zylindrische Fläche besitzt keine Zentralpunkte und damit keine Striktionslinie, oder anschaulich: keine Taille. Bei einer (allgemeinen) Kegelfläche entartet die Striktionslinie/Taille zu einem Punkt, die Kegelspitze.

Parameterdarstellung Bearbeiten

In den folgenden Überlegungen wird vorausgesetzt, dass die Regelfläche

nicht zylindrisch und genügend differenzierbar ist, genauer:

Die letzte Eigenschaft hat den Vorteil, dass ist, was Rechnungen stark vereinfacht. Bei konkreten Beispielen ist diese Eigenschaft meist zunächst nicht erfüllt. Was sich aber durch Normierung korrigieren lässt.

Am Ende der Überlegungen geht dann . Deshalb sind die folgenden linearen Approximationen (man ersetzt die Kurve in der näheren Umgebung durch ihre Tangente) sinnvoll:

Das Quadrat des Abstandes zweier Punkte der Geraden

Der Abstand wird minimal, wenn die Funktion minimal wird. Und dies ist der Fall, wenn die 1. partiellen Ableitungen Null sind:

Aus diesem Gleichungssystem für folgt für :

Die Parameterdarstellung der Striktionslinie ist also

Sowohl auf dem einschaligen Hyperboloid als auch auf dem hyperbolischen Paraboloid liegen zwei Scharen von Geraden. Zu jeder Schar gehört eine Striktionslinie. Beim einschaligen Rotations-Hyperbolod fallen die zwei Striktionslinien zusammen.

Beispiele Bearbeiten

Die Zentralpunkte haben alle den Parameter , d. h. die Striktionslinie ist der Einheitskreis in der x-y-Ebene.

Striktionslinien (rot) von einschaligem Rotations-Hyperboloid, hyperbolischem Paraboloid und Wendelfläche

Bei einem geraden Konoid ist die Achse das gemeinsame Lot aller Erzeugenden. (Es gilt allgemein: Ein Punktepaar zweier windschiefer Geraden hat den kürzesten Abstand, wenn seine Verbindung das gemeinsame Lot der Geraden ist.) Also gilt für gerade Konoide

Beispiele von geraden Konoiden sind das hyperbolische Paraboloid und die Wendelfläche.

Schraubtorse, lila: Leitkurve und Striktionslinie

Jede vom allgemeinen Zylinder und Kegel verschiedene abwickelbare Regelfläche (Torse) ist eine Tangentenfläche, d. h. die Gesamtheit der Erzeugenden der Regelfläche besteht aus der Schar der Tangenten einer vorgegebenen Kurve . (Im Bild ist die Kurve eine Schraublinie. Dadurch entsteht eine Schraubtorse.) Allgemein gilt

Striktionslinie (rot) eines Moebiusbandes

Für die oben angegebene Beschreibung eines Möbiusbandes ist

(Zum Bild: Damit die Striktionslinie völlig auf der dargestellten Fläche liegt, wurde das Band verbreitert.) Der Richtungsvektor ist in diesem Fall schon ein Einheitsvektor, was die Rechnung wesentlich vereinfacht.

Für den Parameter des jeweiligen Zentralpunktes ergibt sich und schließlich die Parameterdarstellung der Striktionslinie

Man erkennt leicht, dass diese Kurve in der Ebene liegt. Um zu zeigen, dass diese ebene Kurve sogar

zeigt man, dass die x- und y-Koordinaten die Gleichung erfüllen. Also ist der Grundriss der Striktionslinie eine Ellipse und damit die Striktionslinie als Parallelprojektion auch.

Die Striktionslinie lässt sich einfacher durch die Parameterdarstellung

beschreiben (s. Ellipse).

Zusammensetzung von Regelflächen Bearbeiten

Man kann je zwei abwickelbare Regelflächen längs einer Geraden bzw. abschneiden und sie so zusammensetzen, dass aus und eine gemeinsame Gerade der zusammengesetzten Fläche mit einer neuen gemeinsamen Tangentialebene von dieser wird.

Bei einer nicht abwickelbaren und einer abwickelbaren Regelfläche ist die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden nicht differenzierbar. Die gemeinsame Erzeugende ist als Kante sichtbar, wobei die Kante an verschiedenen Punkten der Erzeugenden verschieden deutlich hervortritt. Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflächen kann die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden differenzierbar sein, ist es im Allgemeinen aber nicht.

Außermathematische Anwendung Bearbeiten

Regelflächen können nicht nur in der Mathematik, sondern auch außerhalb davon in Konstruktionen und Ingenieursarbeit verwendet werden. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Arbeit des Architekten/Mathematikers Antoni Gaudí. Das Gewölbe der La Sagrada Família beschreibt hierbei mehrere Hyperboloide, hyperbolische Paraboloide und Helikoide.

Literatur Bearbeiten

  • Manfredo P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-85494-0, S. 142,147
  • G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36685-1, S. 181
  • W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-17289-4
  • H. Schmidbauer: Abwickelbare Flächen: Eine Konstruktionslehre für Praktiker. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-47353-1

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D. B. Fuks, Serge Tabachnikov: There are no non-planar triply ruled surfaces. In: Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics. American Mathematical Society, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1, S. 228.
  2. Regel. In: Jacob Grimm, Wilhelm Grimm (Hrsg.): Deutsches Wörterbuch. Band 14: R–Schiefe – (VIII). S. Hirzel, Leipzig 1893 (woerterbuchnetz.de).
  3. G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250
  4. W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband, Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276–289.
  5. W. Kühnel: Differentialgeometrie, S. 58–60
  6. G. Farin: S. 380
  7. CAD-Skript. (PDF; 2,9 MB) S. 113
  8. Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Interactive design of developable surfaces (PDF; 3,3 MB) In: ACM Trans. Graph., (MONTH 2015), doi:10.1145/2832906
  9. Snezana Lawrence: Developable Surfaces: Their History and Application. In: Nexus Network Journal, 13(3), Oktober 2011, doi:10.1007/s00004-011-0087-z
  10. W. Kühnel: Differentialgeometrie, Vieweg, 2003, ISBN 3-528-17289-4, S. 58.
  11. M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322850722, S. 145.
  12. W. Haack: Elementare Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509, S. 32
  13. über Gaudis Geheimnis. Süddeutsche Zeitung
  14. über Regelflächen in der „Sagrada Familia“. Scienceblogs

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie heisst eine Flache Regelflache wenn durch jeden Punkt der Flache eine Gerade geht die ganz in der Flache enthalten ist Regelflache DefinitionDies gilt etwa fur Ebenen Zylinder Kegel einschalige Hyperboloide und hyperbolische Paraboloide Bei den beiden letztgenannten gehen durch jeden Punkt sogar zwei Geraden es sind doppelt gekrummte Flachen Eine Regelflache bei der durch jeden Punkt mehr als zwei Geraden gehen kann nur eine Ebene sein 1 Bei Regelflachen mit endlicher Ausdehnung z B Zylindern und ohne Selbstdurchdringungen z B bei Kegeln und Regelschraubflachen sind die Erzeugenden auf Strecken beschrankt Im Begriff Regelflache hat Regel wie auch in Kippregel die ursprungliche Bedeutung des lateinischen regula Stab Lineal 2 die heute noch im englischen rule oder dem franzosischen regle enthalten ist Regelflachen finden in der Architektur als leicht modellierbare Flachen Anwendung da sie trotz Krummung aus geraden Bauteilen zusammengesetzt oder im Falle von Beton mit geraden Brettern eingeschalt werden konnen Grosse Kuhlturme etwa haben oft die Form eines einschaligen Hyperboloids Beim Bau von Luftungskanalen und bei Klempnerarbeiten werden Blechabwicklungen verwendet also abwickelbare Regelflachen wie zum Beispiel Zylinder und Kegelsegmente da diese durch einfaches Biegen geformt werden konnen ohne das Material zu dehnen oder zu stauchen wie bei den aufwandigeren Verfahren der Massivumformung Siehe auch Abwicklung Darstellende Geometrie Bei der geometrischen Modellierung werden Regelflachen z B zur Erzeugung von Coons Flachen verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Parameterdarstellung 2 Beispiele 2 1 Senkrechter Kreiszylinder 2 2 Senkrechter Kreiskegel 2 3 Wendelflache 2 4 Zylinder Kegel und Hyperboloide 2 5 Hyperbolisches Paraboloid 2 6 Mobiusband 2 7 Weitere Beispiele 3 Tangentialebenen abwickelbare Flachen 4 Anwendung und Geschichte abwickelbarer Flachen 5 Striktionslinie oder Kehllinie 5 1 Definition 5 2 Parameterdarstellung 5 3 Beispiele 6 Zusammensetzung von Regelflachen 7 Aussermathematische Anwendung 8 Literatur 9 Einzelnachweise 10 WeblinksDefinition und Parameterdarstellung Bearbeiten nbsp Regelflache erzeugt mit zwei Bezierkurven als Leitkurven rot grun Definition Eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit heisst Regelflache wenn sie die Vereinigung einer einparametrigen Geradenschar ist Die Geraden dieser Schar heissen die Erzeugenden der Regelflache Parameterdarstellung Eine Regelflache lasst sich durch eine Parameterdarstellung der Form CR x u v c u v r u displaystyle quad mathbf x u v color red mathbf c u v color blue mathbf r u nbsp beschreiben Jede Flachenkurve x u 0 v displaystyle mathbf x u 0 v nbsp mit festem Parameter u u 0 displaystyle u u 0 nbsp ist eine Erzeugende Gerade und die Kurve c u displaystyle mathbf c u nbsp ist die Leitkurve Die Vektoren r u displaystyle mathbf r u nbsp beschreiben das Richtungsfeld der Erzeugenden Die durch die Parameterdarstellung beschriebene Regelflache kann man auch mit Hilfe der Kurve d u c u r u displaystyle mathbf d u mathbf c u mathbf r u nbsp als zweite Leitkurve beschreiben CD x u v 1 v c u v d u displaystyle quad mathbf x u v 1 v color red mathbf c u v color green mathbf d u nbsp Umgekehrt kann man von zwei sich nicht schneidenden Kurven als Leitkurven ausgehen und erhalt damit die Darstellung einer Regelflache mit dem Richtungsfeld r u d u c u displaystyle mathbf r u mathbf d u mathbf c u nbsp Bei der Erzeugung einer Regelflache mit Hilfe zweier Leitkurven oder einer Leitkurve und eines Richtungsfeldes ist nicht nur die geometrische Gestalt dieser Kurven von Bedeutung sondern die konkrete Parameterdarstellung hat wesentlichen Einfluss auf die Gestalt der Regelflache Siehe Beispiele d Fur theoretische Untersuchungen s u ist die Darstellung CR vorteilhaft da der Parameter v displaystyle v nbsp nur in einem Term vorkommt Beispiele BearbeitenSenkrechter Kreiszylinder Bearbeiten nbsp Regelflachen Zylinder Kegel x 2 y 2 a 2 displaystyle x 2 y 2 a 2 nbsp x u v a cos u a sin u v T displaystyle mathbf x u v a cos u a sin u v T nbsp a cos u a sin u 0 T v 0 0 1 T displaystyle color red a cos u a sin u 0 T v color blue 0 0 1 T nbsp 1 v a cos u a sin u 0 T v a cos u a sin u 1 T displaystyle 1 v color red a cos u a sin u 0 T v color green a cos u a sin u 1 T nbsp dd dd Hierbei ist c u a cos u a sin u 0 T r u 0 0 1 T d u a cos u a sin u 1 T displaystyle quad mathbf c u a cos u a sin u 0 T quad mathbf r u 0 0 1 T quad mathbf d u a cos u a sin u 1 T nbsp Senkrechter Kreiskegel Bearbeiten x 2 y 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 nbsp x u v cos u sin u 1 T v cos u sin u 1 T displaystyle mathbf x u v color red cos u sin u 1 T v color blue cos u sin u 1 T nbsp 1 v cos u sin u 1 T v 2 cos u 2 sin u 2 T displaystyle 1 v color red cos u sin u 1 T v color green 2 cos u 2 sin u 2 T nbsp dd dd Hier ist c u cos u sin u 1 T r u d u 2 cos u 2 sin u 2 T displaystyle quad mathbf c u cos u sin u 1 T mathbf r u quad mathbf d u 2 cos u 2 sin u 2 T nbsp Man hatte auch als Leitkurve c u 0 0 0 T displaystyle mathbf c u 0 0 0 T nbsp also die Spitze des Kegels und als Richtungsfeld r u cos u sin u 1 T displaystyle mathbf r u cos u sin u 1 T nbsp wahlen konnen Bei allen Kegeln kann man als Leitkurve die Spitze wahlen Wendelflache Bearbeiten nbsp Wendelflache als Regelflachex u v v cos u v sin u k u T displaystyle mathbf x u v v cos u v sin u ku T nbsp 0 0 k u T v cos u sin u 0 T displaystyle color red 0 0 ku T v color blue cos u sin u 0 T nbsp 1 v 0 0 k u T v cos u sin u k u T displaystyle 1 v color red 0 0 ku T v color green cos u sin u ku T nbsp dd dd Die Leitkurve c u 0 0 k u T displaystyle mathbf c u 0 0 ku T nbsp ist die z Achse das Richtungsfeld r u cos u sin u 0 T displaystyle mathbf r u cos u sin u 0 T nbsp und die zweite Leitkurve d u cos u sin u k u T displaystyle mathbf d u cos u sin u ku T nbsp ist eine Schraublinie Zylinder Kegel und Hyperboloide Bearbeiten nbsp Regelflache einschaliges Hyperboloid fur f 63 displaystyle varphi 63 circ nbsp Die Parameterdarstellung x u v 1 v cos u f sin u f 1 T v cos u f sin u f 1 T displaystyle mathbf x u v 1 v color red cos u varphi sin u varphi 1 T v color green cos u varphi sin u varphi 1 T nbsp besitzt zwei horizontale Einheitskreise als Leitkurven Der zusatzliche Parameter f displaystyle varphi nbsp erlaubt es die Parameterdarstellungen der Kreise zu variieren Fur f 0 displaystyle varphi 0 nbsp erhalt man den Zylinder x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp fur f p 2 displaystyle varphi pi 2 nbsp erhalt man den Kegel x 2 y 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 nbsp und fur 0 lt f lt p 2 displaystyle 0 lt varphi lt pi 2 nbsp erhalt man ein einschaliges Hyperboloid mit der Gleichung x 2 y 2 a 2 z 2 c 2 1 displaystyle tfrac x 2 y 2 a 2 tfrac z 2 c 2 1 nbsp und den Halbachsen a cos f c cot f displaystyle a cos varphi c cot varphi nbsp Hyperbolisches Paraboloid Bearbeiten nbsp Hyperbolisches ParaboloidFalls die Leitlinien in CD die Geraden c u 1 u a 1 u a 2 d u 1 u b 1 u b 2 displaystyle mathbf c u 1 u mathbf a 1 u mathbf a 2 quad mathbf d u 1 u mathbf b 1 u mathbf b 2 nbsp sind erhalt man x u v 1 v 1 u a 1 u a 2 v 1 u b 1 u b 2 displaystyle mathbf x u v 1 v big 1 u mathbf a 1 u mathbf a 2 big v big 1 u mathbf b 1 u mathbf b 2 big nbsp Dies ist das hyperbolische Paraboloid das die 4 Punkte a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle mathbf a 1 mathbf a 2 mathbf b 1 mathbf b 2 nbsp bilinear interpoliert 3 Fur das Beispiel der Zeichnung ist a 1 0 0 0 T a 2 1 0 0 T b 1 0 1 0 T b 2 1 1 1 T displaystyle mathbf a 1 0 0 0 T mathbf a 2 1 0 0 T mathbf b 1 0 1 0 T mathbf b 2 1 1 1 T nbsp und das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung z x y displaystyle z xy nbsp Mobiusband Bearbeiten nbsp MobiusbandDie Regelflache x u v c u v r u displaystyle mathbf x u v mathbf c u v mathbf r u nbsp mit c u cos 2 u sin 2 u 0 T displaystyle mathbf c u cos 2u sin 2u 0 T nbsp die Leitkurve ist ein Kreis r u cos u cos 2 u cos u sin 2 u sin u T 0 u lt p displaystyle mathbf r u cos u cos 2u cos u sin 2u sin u T quad 0 leq u lt pi nbsp enthalt ein Mobiusband Die Zeichnung zeigt das Mobiusband fur 0 3 v 0 3 displaystyle 0 3 leq v leq 0 3 nbsp Man rechnet leicht nach dass det c 0 r 0 r 0 0 displaystyle det mathbf dot c 0 mathbf dot r 0 mathbf r 0 neq 0 nbsp ist s nachsten Abschnitt D h diese Realisierung eines Mobiusbandes ist nicht abwickelbar Es gibt allerdings auch abwickelbare Mobiusbander 4 Weitere Beispiele Bearbeiten Die Einhullende einer einparametrigen Ebenenschar Oloid Catalansche Flache Konoid RegelschraubflachenTangentialebenen abwickelbare Flachen BearbeitenFur die hier notwendigen Ableitungen wird stets vorausgesetzt dass sie auch existieren Um den Normalenvektor in einem Punkt zu berechnen benotigt man die partiellen Ableitungen der Darstellung x u v c u v r u displaystyle quad mathbf x u v mathbf c u v mathbf r u nbsp x u c u v r u displaystyle mathbf x u mathbf dot c u v mathbf dot r u nbsp x v r u displaystyle quad mathbf x v mathbf r u nbsp n x u x u c r v r r displaystyle mathbf n mathbf x u times mathbf x u mathbf dot c times mathbf r v mathbf dot r times mathbf r nbsp Da das Skalarprodukt n r 0 displaystyle mathbf n cdot mathbf r 0 nbsp ist Ein Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren ist immer 0 ist r u 0 displaystyle mathbf r u 0 nbsp ein Tangentenvektor in jedem Punkt x u 0 v displaystyle mathbf x u 0 v nbsp Die Tangentialebenen entlang dieser Gerade sind identisch falls r r displaystyle mathbf dot r times mathbf r nbsp ein Vielfaches von c r displaystyle mathbf dot c times mathbf r nbsp ist Dies ist nur moglich wenn die drei Vektoren c r r displaystyle mathbf dot c mathbf dot r mathbf r nbsp in einer Ebene liegen d h linear abhangig sind Die lineare Abhangigkeit dreier Vektoren kann man mit Hilfe der Determinante dieser Vektoren feststellen Die Tangentialebenen entlang der Gerade x u 0 v c u 0 v r u 0 displaystyle mathbf x u 0 v mathbf c u 0 v mathbf r u 0 nbsp sind gleich fallsdet c u 0 r u 0 r u 0 0 displaystyle det mathbf dot c u 0 mathbf dot r u 0 mathbf r u 0 0 nbsp dd Eine Erzeugende fur die dies gilt heisst torsal Eine Regelflache x u v c u v r u displaystyle quad mathbf x u v mathbf c u v mathbf r u nbsp ist genau dann in eine Ebene abwickelbar wenn fur alle Punkte die Gauss Krummung verschwindet Dies ist genau dann der Fall wenndet c r r 0 displaystyle det mathbf dot c mathbf dot r mathbf r 0 quad nbsp dd dd in jedem Punkt gilt 5 d h wenn jede Erzeugende eine Torsale ist Eine abwickelbare Flache heisst deswegen auch Torse Eigenschaften einer abwickelbaren Flache 6 Die Erzeugenden stellen eine Schar von Asymptotenlinien dar Sie sind auch eine Schar von Krummungslinien Eine abwickelbare Flache ist entweder ein allgemeiner Zylinder oder ein allgemeiner Kegel oder eine Tangentenflache Flache die aus den Tangenten einer Raumkurve besteht Anwendung und Geschichte abwickelbarer Flachen Bearbeiten nbsp Verbindungstorse zweier Ellipsen und ihre AbwicklungDie Determinantenbedingung fur abwickelbare Flachen gibt einem eine Moglichkeit eine Verbindungstorse zwischen zwei gegebenen Leitkurven numerisch zu ermitteln Das Bild zeigt ein Beispiel einer Anwendung Verbindungstorse zwischen zwei Ellipsen eine horizontal die andere vertikal und ihre Abwicklung 7 Einen Einblick in die Verwendung von abwickelbaren Flachen im CAD Bereich findet man in Interactive design of developable surfaces 8 Einen historischen Uberblick uber abwickelbare Flachen gibt Developable Surfaces Their History and Application 9 Striktionslinie oder Kehllinie BearbeitenDefinition Bearbeiten Bei einer zylindrischen Regelflache sind alle Erzeugenden parallel d h alle Richtungsvektoren r u displaystyle mathbf r u nbsp sind parallel und damit r u 0 displaystyle dot mathbf r u mathbf 0 nbsp Bei zwei parallelen Geraden haben alle Punkte der einen Gerade denselben Abstand zur anderen Gerade Bei einer nichtzylindrischen Regelflache sind benachbarte Erzeugenden windschief und es existiert ein Punkt auf der einen Gerade der minimalen Abstand zu der anderen Gerade hat In diesem Fall ist r u 0 displaystyle dot mathbf r u neq mathbf 0 nbsp Solch einen Punkt nennt man Zentralpunkt Die Gesamtheit der Zentralpunkte bilden eine Kurve die Striktionslinie oder Kehllinie oder auch Taille 10 Letztere Bezeichnung beschreibt sehr anschaulich die Striktionslinie eines einschaligen Rotations Hyperboloids s u In dem Zentralpunkt einer Erzeugenden nimmt der Betrag der Gausskrummung ein Maximum an 11 Eine zylindrische Flache besitzt keine Zentralpunkte und damit keine Striktionslinie oder anschaulich keine Taille Bei einer allgemeinen Kegelflache entartet die Striktionslinie Taille zu einem Punkt die Kegelspitze Parameterdarstellung Bearbeiten In den folgenden Uberlegungen wird vorausgesetzt dass die Regelflache x u v c u v r u displaystyle mathbf x u v mathbf c u v mathbf r u nbsp nicht zylindrisch und genugend differenzierbar ist genauer r u 0 displaystyle dot mathbf r u neq mathbf 0 quad nbsp und der Einfachheit halber r u 1 displaystyle quad mathbf r u 1 nbsp ist Die letzte Eigenschaft hat den Vorteil dass r r 0 displaystyle quad mathbf r cdot dot mathbf r 0 quad nbsp ist was Rechnungen stark vereinfacht Bei konkreten Beispielen ist diese Eigenschaft meist zunachst nicht erfullt Was sich aber durch Normierung korrigieren lasst Zwei benachbarte Erzeugenden x v 1 c u v 1 r u displaystyle mathbf x v 1 mathbf c u v 1 mathbf r u nbsp x v 2 c u D u v 2 r u D u displaystyle mathbf x v 2 mathbf c u Delta u v 2 mathbf r u Delta u nbsp Am Ende der Uberlegungen geht dann D u 0 displaystyle Delta u to 0 nbsp Deshalb sind die folgenden linearen Approximationen man ersetzt die Kurve in der naheren Umgebung durch ihre Tangente sinnvoll c u D u c u D u c u displaystyle mathbf c u Delta u approx mathbf c u Delta u dot mathbf c u nbsp r u D u r u D u r u displaystyle mathbf r u Delta u approx mathbf r u Delta u dot mathbf r u nbsp AbstandsquadratDas Quadrat des Abstandes zweier Punkte der Geraden l 1 v 1 c v 1 r displaystyle mathbf l 1 v 1 mathbf c v 1 mathbf r nbsp l 2 v 2 c D u c v 2 r D u r displaystyle mathbf l 2 v 2 mathbf c Delta u dot mathbf c v 2 mathbf r Delta u dot mathbf r quad nbsp ist D v 1 v 2 v 2 v 1 r D u c v 2 r 2 displaystyle D v 1 v 2 Big v 2 v 1 mathbf r Delta u dot mathbf c v 2 dot mathbf r Big 2 nbsp Parameter des ZentralpunktesDer Abstand wird minimal wenn die Funktion D v 1 v 2 displaystyle D v 1 v 2 nbsp minimal wird Und dies ist der Fall wenn die 1 partiellen Ableitungen Null sind D v 1 2 v 2 v 1 r D u c v 2 r r displaystyle D v 1 2 Big v 2 v 1 mathbf r Delta u dot mathbf c v 2 dot mathbf r Big cdot mathbf r nbsp 2 v 2 v 1 D u c r 0 displaystyle 2 color magenta v 2 v 1 Delta u dot mathbf c cdot mathbf r 0 nbsp dd D v 2 2 v 2 v 1 r D u c v 2 r r D u r displaystyle D v 2 2 Big v 2 v 1 mathbf r Delta u dot mathbf c v 2 dot mathbf r Big cdot mathbf r Delta u dot mathbf r nbsp 2 v 2 v 1 D u c r D u 2 c r v 2 r 2 0 displaystyle 2 Big color magenta v 2 v 1 Delta u dot mathbf c cdot mathbf r Delta u 2 dot mathbf c cdot dot mathbf r v 2 dot mathbf r 2 Big 0 nbsp dd Aus diesem Gleichungssystem fur v 1 v 2 displaystyle v 1 v 2 nbsp folgt fur D u 0 displaystyle Delta u to 0 nbsp v 1 v 2 c r r 2 displaystyle quad v 1 v 2 frac dot mathbf c cdot dot mathbf r dot mathbf r 2 nbsp ParameterdarstellungDie Parameterdarstellung der Striktionslinie ist also x u c u c u r u r 2 u r u displaystyle mathbf x u mathbf c u frac dot mathbf c u cdot dot mathbf r u dot mathbf r 2 u mathbf r u nbsp Doppelte RegelflachenSowohl auf dem einschaligen Hyperboloid als auch auf dem hyperbolischen Paraboloid liegen zwei Scharen von Geraden Zu jeder Schar gehort eine Striktionslinie Beim einschaligen Rotations Hyperbolod fallen die zwei Striktionslinien zusammen Beispiele Bearbeiten 1 Einschaliges Rotations Hyperboloid x u v cos u sin u 0 v sin u cos u k displaystyle mathbf x u v begin pmatrix cos u sin u 0 end pmatrix v cdot begin pmatrix sin u cos u k end pmatrix nbsp Die Zentralpunkte haben alle den Parameter v 0 displaystyle v 0 nbsp d h die Striktionslinie ist der Einheitskreis in der x y Ebene nbsp Striktionslinien rot von einschaligem Rotations Hyperboloid hyperbolischem Paraboloid und Wendelflache2 Gerades KonoidBei einem geraden Konoid ist die Achse das gemeinsame Lot aller Erzeugenden Es gilt allgemein Ein Punktepaar zweier windschiefer Geraden hat den kurzesten Abstand wenn seine Verbindung das gemeinsame Lot der Geraden ist Also gilt fur gerade Konoide Die Achse eines geraden Konoids ist auch seine Striktionslinie Beispiele von geraden Konoiden sind das hyperbolische Paraboloid z x y displaystyle z xy nbsp und die Wendelflache nbsp Schraubtorse lila Leitkurve und Striktionslinie3 TorseJede vom allgemeinen Zylinder und Kegel verschiedene abwickelbare Regelflache Torse ist eine Tangentenflache d h die Gesamtheit der Erzeugenden der Regelflache besteht aus der Schar der Tangenten einer vorgegebenen Kurve g displaystyle gamma nbsp Im Bild ist die Kurve eine Schraublinie Dadurch entsteht eine Schraubtorse Allgemein gilt Die Striktionslinie einer durch eine Kurve g displaystyle gamma nbsp erzeugte Tangentenflache ist die Kurve g displaystyle gamma nbsp selbst 12 4 Mobiusband nbsp Striktionslinie rot eines MoebiusbandesFur die oben angegebene Beschreibung eines Mobiusbandes ist c u cos 2 u sin 2 u 0 T displaystyle mathbf c u cos 2u sin 2u 0 T nbsp r u cos u cos 2 u cos u sin 2 u sin u T displaystyle mathbf r u cos u cos 2u cos u sin 2u sin u T nbsp Zum Bild Damit die Striktionslinie vollig auf der dargestellten Flache liegt wurde das Band verbreitert Der Richtungsvektor r displaystyle mathbf r nbsp ist in diesem Fall schon ein Einheitsvektor was die Rechnung wesentlich vereinfacht Fur den Parameter des jeweiligen Zentralpunktes ergibt sich v 4 cos u 1 4 cos 2 u displaystyle v frac 4 cos u 1 4 cos 2 u nbsp und schliesslich die Parameterdarstellung der Striktionslinie x u 1 1 4 cos 2 u cos 2 u sin 2 u 2 sin 2 u displaystyle mathbf x u frac 1 1 4 cos 2 u big cos 2u sin 2u 2 sin 2u big nbsp Man erkennt leicht dass diese Kurve in der Ebene 2 y z 0 displaystyle 2y z 0 nbsp liegt Um zu zeigen dass diese ebene Kurve sogar eine Ellipse mit Mittelpunkt 2 5 0 0 displaystyle tfrac 2 5 0 0 nbsp und den Halbachsen a 1 b 3 5 displaystyle a 1 b tfrac 3 5 nbsp ist zeigt man dass die x und y Koordinaten die Gleichung x 2 5 2 3 5 2 y 2 1 5 1 displaystyle tfrac x tfrac 2 5 2 tfrac 3 5 2 tfrac y 2 tfrac 1 5 1 nbsp erfullen Also ist der Grundriss der Striktionslinie eine Ellipse und damit die Striktionslinie als Parallelprojektion auch Die Striktionslinie lasst sich einfacher durch die Parameterdarstellung x t f 0 f 1 cos t f 2 sin t displaystyle mathbf x t mathbf f 0 mathbf f 1 cos t mathbf f 2 sin t nbsp mit f 0 2 5 0 0 T f 1 3 5 0 0 T f 2 0 1 5 2 5 T displaystyle mathbf f 0 tfrac 2 5 0 0 T mathbf f 1 tfrac 3 5 0 0 T mathbf f 2 0 tfrac 1 sqrt 5 tfrac 2 sqrt 5 T nbsp beschreiben s Ellipse Zusammensetzung von Regelflachen BearbeitenMan kann je zwei abwickelbare Regelflachen langs einer Geraden g displaystyle g nbsp bzw h displaystyle h nbsp abschneiden und sie so zusammensetzen dass aus g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp eine gemeinsame Gerade der zusammengesetzten Flache mit einer neuen gemeinsamen Tangentialebene von dieser wird Bei einer nicht abwickelbaren und einer abwickelbaren Regelflache ist die so zusammengesetzte Flache langs der gemeinsamen Erzeugenden nicht differenzierbar Die gemeinsame Erzeugende ist als Kante sichtbar wobei die Kante an verschiedenen Punkten der Erzeugenden verschieden deutlich hervortritt Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflachen kann die so zusammengesetzte Flache langs der gemeinsamen Erzeugenden differenzierbar sein ist es im Allgemeinen aber nicht Aussermathematische Anwendung BearbeitenRegelflachen konnen nicht nur in der Mathematik sondern auch ausserhalb davon in Konstruktionen und Ingenieursarbeit verwendet werden Ein gutes Beispiel hierfur ist die Arbeit des Architekten Mathematikers Antoni Gaudi Das Gewolbe der La Sagrada Familia beschreibt hierbei mehrere Hyperboloide hyperbolische Paraboloide und Helikoide 13 14 Literatur BearbeitenManfredo P do Carmo Differentialgeometrie von Kurven und Flachen Springer Verlag 2013 ISBN 978 3 322 85494 0 S 142 147 G Farin Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design Academic Press 1990 ISBN 0 12 249051 7 D Hilbert S Cohn Vossen Anschauliche Geometrie Springer Verlag 2013 ISBN 978 3 662 36685 1 S 181 W Kuhnel Differentialgeometrie Vieweg 2003 ISBN 3 528 17289 4 H Schmidbauer Abwickelbare Flachen Eine Konstruktionslehre fur Praktiker Springer Verlag 2013 ISBN 978 3 642 47353 1Einzelnachweise Bearbeiten D B Fuks Serge Tabachnikov There are no non planar triply ruled surfaces In Mathematical Omnibus Thirty Lectures on Classic Mathematics American Mathematical Society 2007 ISBN 978 0 8218 4316 1 S 228 Regel In Jacob Grimm Wilhelm Grimm Hrsg Deutsches Worterbuch Band 14 R Schiefe VIII S Hirzel Leipzig 1893 woerterbuchnetz de G Farin Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design Academic Press 1990 ISBN 0 12 249051 7 S 250 W Wunderlich Uber ein abwickelbares Mobiusband Monatshefte fur Mathematik 66 1962 S 276 289 W Kuhnel Differentialgeometrie S 58 60 G Farin S 380 CAD Skript PDF 2 9 MB S 113 Tang Bo Wallner Pottmann Interactive design of developable surfaces PDF 3 3 MB In ACM Trans Graph MONTH 2015 doi 10 1145 2832906 Snezana Lawrence Developable Surfaces Their History and Application In Nexus Network Journal 13 3 Oktober 2011 doi 10 1007 s00004 011 0087 z W Kuhnel Differentialgeometrie Vieweg 2003 ISBN 3 528 17289 4 S 58 M P do Carmo Differentialgeometrie von Kurven und Flachen Springer Verlag 2013 ISBN 3322850722 S 145 W Haack Elementare Differentialgeometrie Springer Verlag 2013 ISBN 3034869509 S 32 uber Gaudis Geheimnis Suddeutsche Zeitung uber Regelflachen in der Sagrada Familia ScienceblogsWeblinks BearbeitenA Niggas Regelflachen theoretisch exemplarisch visuell Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Regelflache amp oldid 232377342