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Schraubfläche Eine ist in der Geometrie eine Fläche die durch eine Verschraubung einer Kurve im euklidischen Raum entste

Schraubfläche

Eine Schraubfläche ist in der Geometrie eine Fläche, die durch eine Verschraubung einer Kurve im euklidischen Raum entsteht. Liegt die Kurve in einer Ebene mit der Schraubachse, so nennt man sie Meridian. Die einfachsten Schraubflächen sind die Wendelflächen. Sie entstehen durch Verschraubung einer die Schraubachse senkrecht schneidenden Gerade. Wichtige Typen von Schraubflächen sind die

  • Regelschraubflächen oder Strahlschraubflächen. Sie entstehen durch die Verschraubung einer Gerade und sind deshalb Regelflächen.
  • Kreisschraubflächen oder zyklische Schraubflächen. Sie entstehen durch die Verschraubung eines Kreises.
Schraubfläche: Parabel ist Meridian

Wendelflächen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle (siehe Minimalfläche). In der Technik spielen beide Typen eine Rolle (Treppen, Rutsche, Schrauben, Rohre).

Bei technischen Anwendungen sind auch andere Profile (Parabel, Trapez, …) von Bedeutung.

Analytische Beschreibung Bearbeiten

Verschraubung eines Punktes
grün: Ganghöhe,
blau: Schraubachse

Verschraubung eines Punktes Bearbeiten

Die Verschraubung eines Punktes kann man sich als eine Überlagerung einer Drehung und einer Verschiebung in Richtung der Drehachse proportional zum Drehwinkel vorstellen.

Die Verschraubung des Punktes um die z-Achse lässt sich durch

beschreiben. Dabei ist der Schraubparameter, der Winkel , im Bogenmaß gemessen, der Schraubwinkel und die Ganghöhe (grün). Die Bahn des Punktes ist eine Schraublinie (rot). Sie liegt auf einem geraden Zylinder, dessen Radius gleich dem Abstand des Punktes von der Schraubachse ist.

Falls ist, nennt man die entstehende Schraublinie rechtsgängig andernfalls linksgängig. (Für würde eine Rotation um die z-Achse entstehen).

Verschraubung einer Kurve Bearbeiten

Die Verschraubung der Kurve

liefert die Schraubfläche mit der Parameterdarstellung

Die Flächenkurven sind Schraublinien.
Die Flächenkurven sind Kopien der gegebenen Kurve.

Regelschraubflächen Bearbeiten

Wendelflächen: geschlossen (links) und offen (rechts)
schiefe Regelschraubflächen: geschlossen (links) und offen (rechts)
Schraubtorse: Definition (links) und Beispiel

Typen Bearbeiten

Ist die gegebene Kurve eine Gerade, so entsteht eine Regelschraubfläche. Dabei sind 4 Fälle zu unterscheiden:

Ist die Gerade windschief zur Schraubachse, entsteht eine offene Regelschraubfläche. Im Gegensatz zur geschlossenen Regelschraubfläche gehört in diesem Fall die Schraubachse nicht zur Fläche. Die Flächenpunkte haben mindestens den Abstand der Ausgangsgerade von der Achse.

Schiefe Regelschraubflächen durchdringen sich (s. Bild), gerade (Wendelflächen) nicht.

Ein interessanter Sonderfall der schiefen offenen Regelschraubflächen liegt vor, wenn die verschraubte Gerade den Abstand von der Schraubachse und gegenüber der x-y-Ebene den Neigungswinkel mit besitzt. In diesem Fall lässt sich die Fläche als Torse auffassen. Sie ist die Tangentenfläche der Schraublinie (Leitkurve) , d. h., sie ist die Vereinigung aller Tangenten der Schraublinie. Als Torse ist diese Regelschraubfläche abwickelbar.

Bemerkung:

  1. Die Wendelflächen sind Catalansche Flächen. Die geschlossene Wendelfläche ist sogar ein gerades Konoid.
  2. Strahlschraubflächen sind keine algebraische Flächen, d. h., sie lassen sich nicht mit einer algebraischen Gleichung implizit beschreiben. Plausibel wird dies durch die Tatsache, dass es immer eine zur Schraubachse parallele Gerade gibt, die die Fläche in unendlich vielen Punkten schneidet, obwohl sie nicht der Fläche angehört.

Über geschlossene Regelschraubflächen Bearbeiten

Zur Durchdringung von geschlossenen Regelschraubflächen

Bei einer geschlossenen Regelschraubfläche schneidet die Gerade die Schraubachse. Beschreibt man die zu verschraubende Gerade durch so ergibt sich die Parameterdarstellung

Falls (geschlossene Wendelfläche) ist, durchdringt sich die Fläche nicht selbst.
Falls (schiefe geschlossene Regelschraubfläche) ist, sind die Flächenkurven

  • mit Selbstdurchdringungskurven (Doppelkurven).

Dies sind unendlich viele Schraublinien. Je kleiner ist, desto weiter liegen die Doppelkurven auseinander.

Über die Schraubtorse Bearbeiten

Schraubtorse: reguläre Teile (grün und blau) und Gratlinie (lila)

Geht man von der Schraublinie

Für die Flächennormale ergibt sich

Für ist der Normalenvektor der Nullvektor, d. h., die Ausgangskurve (Schraublinie) besteht aus den singulären Punkten der Fläche. Die Ausgangskurve heißt Gratlinie der Schraubtorse. Die Gratlinie trennt die Fläche in zwei reguläre Teilflächen (siehe Bild).

Kreisschraubflächen Bearbeiten

Meridiankreis-Schraubfläche
Kreisschraubfläche: Verschraubung eines horizontalen Kreises

Unter den Kreisschraubflächen gibt es 3 interessante Typen:

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 218.
  • Karl Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 286.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Schraubflache ist in der Geometrie eine Flache die durch eine Verschraubung einer Kurve im euklidischen Raum entsteht Liegt die Kurve in einer Ebene mit der Schraubachse so nennt man sie Meridian Die einfachsten Schraubflachen sind die Wendelflachen Sie entstehen durch Verschraubung einer die Schraubachse senkrecht schneidenden Gerade Wichtige Typen von Schraubflachen sind dieRegelschraubflachen oder Strahlschraubflachen Sie entstehen durch die Verschraubung einer Gerade und sind deshalb Regelflachen Kreisschraubflachen oder zyklische Schraubflachen Sie entstehen durch die Verschraubung eines Kreises Schraubflache Parabel ist Meridian Wendelflachen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle siehe Minimalflache In der Technik spielen beide Typen eine Rolle Treppen Rutsche Schrauben Rohre Bei technischen Anwendungen sind auch andere Profile Parabel Trapez von Bedeutung Inhaltsverzeichnis 1 Analytische Beschreibung 1 1 Verschraubung eines Punktes 1 2 Verschraubung einer Kurve 2 Regelschraubflachen 2 1 Typen 2 2 Uber geschlossene Regelschraubflachen 2 3 Uber die Schraubtorse 3 Kreisschraubflachen 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 LiteraturAnalytische Beschreibung Bearbeiten nbsp Verschraubung eines Punktes grun Ganghohe blau SchraubachseVerschraubung eines Punktes Bearbeiten Die Verschraubung eines Punktes kann man sich als eine Uberlagerung einer Drehung und einer Verschiebung in Richtung der Drehachse proportional zum Drehwinkel vorstellen Die Verschraubung des Punktes P 0 x 0 y 0 z 0 displaystyle P 0 x 0 y 0 z 0 nbsp um die z Achse lasst sich durch p f x 0 cos f y 0 sin f x 0 sin f y 0 cos f z 0 c f f R displaystyle mathbf p varphi begin pmatrix x 0 cos varphi y 0 sin varphi x 0 sin varphi y 0 cos varphi z 0 c varphi end pmatrix varphi in mathbb R nbsp beschreiben Dabei ist c 0 displaystyle c neq 0 nbsp der Schraubparameter der Winkel f displaystyle varphi nbsp im Bogenmass gemessen der Schraubwinkel und h c 2 p displaystyle h c 2 pi nbsp die Ganghohe grun Die Bahn des Punktes ist eine Schraublinie rot Sie liegt auf einem geraden Zylinder dessen Radius gleich dem Abstand des Punktes von der Schraubachse ist Falls c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp ist nennt man die entstehende Schraublinie rechtsgangig andernfalls linksgangig Fur c 0 displaystyle c 0 nbsp wurde eine Rotation um die z Achse entstehen Verschraubung einer Kurve Bearbeiten Die Verschraubung der Kurve x t x t y t z t T t 1 t t 2 displaystyle mathbf x t x t y t z t T t 1 leq t leq t 2 nbsp liefert die Schraubflache mit der Parameterdarstellung S t f x t cos f y t sin f x t sin f y t cos f z t c f t 1 t t 2 f R displaystyle mathbf S t varphi begin pmatrix x t cos varphi y t sin varphi x t sin varphi y t cos varphi z t c varphi end pmatrix quad t 1 leq t leq t 2 varphi in mathbb R nbsp Die Flachenkurven S t c o n s t f displaystyle mathbf S t const varphi nbsp sind Schraublinien Die Flachenkurven S t f c o n s t displaystyle mathbf S t varphi const nbsp sind Kopien der gegebenen Kurve Regelschraubflachen Bearbeiten nbsp Wendelflachen geschlossen links und offen rechts nbsp schiefe Regelschraubflachen geschlossen links und offen rechts nbsp Schraubtorse Definition links und BeispielTypen Bearbeiten Ist die gegebene Kurve eine Gerade so entsteht eine Regelschraubflache Dabei sind 4 Falle zu unterscheiden 1 Die Gerade schneidet die Schraubachse senkrecht Es entsteht eine Wendelflache geschlossene gerade Regelschraubflache 2 Die Gerade schneidet die Achse aber nicht senkrecht Es entsteht eine schiefe geschlossene oder scharfgangige Regelschraubflache Ist die Gerade windschief zur Schraubachse entsteht eine offene Regelschraubflache Im Gegensatz zur geschlossenen Regelschraubflache gehort in diesem Fall die Schraubachse nicht zur Flache Die Flachenpunkte haben mindestens den Abstand der Ausgangsgerade von der Achse 3 Ist die Gerade windschief in einer zur Achse senkrechten Ebene enthalten entsteht eine gerade offene Regelschraubflache oder kurz offene Wendelflache 4 Ist die Gerade windschief und nicht in einer zur Achse senkrechten Ebene enthalten entsteht eine schiefe offene Regelschraubflache Schiefe Regelschraubflachen durchdringen sich s Bild gerade Wendelflachen nicht Ein interessanter Sonderfall der schiefen offenen Regelschraubflachen liegt vor wenn die verschraubte Gerade den Abstand d displaystyle d nbsp von der Schraubachse und gegenuber der x y Ebene den Neigungswinkel a displaystyle alpha nbsp mit tan a c d displaystyle tan alpha c d nbsp besitzt In diesem Fall lasst sich die Flache als Torse auffassen Sie ist die Tangentenflache der Schraublinie Leitkurve d cos f d sin f c f displaystyle d cos varphi d sin varphi c varphi nbsp d h sie ist die Vereinigung aller Tangenten der Schraublinie Als Torse ist diese Regelschraubflache abwickelbar Bemerkung Die Wendelflachen sind Catalansche Flachen Die geschlossene Wendelflache ist sogar ein gerades Konoid Strahlschraubflachen sind keine algebraische Flachen d h sie lassen sich nicht mit einer algebraischen Gleichung implizit beschreiben Plausibel wird dies durch die Tatsache dass es immer eine zur Schraubachse parallele Gerade gibt die die Flache in unendlich vielen Punkten schneidet obwohl sie nicht der Flache angehort Uber geschlossene Regelschraubflachen Bearbeiten nbsp Zur Durchdringung von geschlossenen RegelschraubflachenBei einer geschlossenen Regelschraubflache schneidet die Gerade die Schraubachse Beschreibt man die zu verschraubende Gerade durch t 0 z 0 m t T displaystyle t 0 z 0 m t T nbsp so ergibt sich die Parameterdarstellung S t f t cos f t sin f z 0 m t c f displaystyle mathbf S t varphi begin pmatrix t cos varphi t sin varphi z 0 mt c varphi end pmatrix nbsp Falls m 0 displaystyle m 0 nbsp geschlossene Wendelflache ist durchdringt sich die Flache nicht selbst Falls m 0 displaystyle m neq 0 nbsp schiefe geschlossene Regelschraubflache ist sind die Flachenkurven S t i f displaystyle mathbf S t i varphi nbsp mit t i h 4 m 2 i 1 i 1 2 displaystyle t i frac h 4m 2i 1 i 1 2 ldots nbsp Selbstdurchdringungskurven Doppelkurven Dies sind unendlich viele Schraublinien Je kleiner m displaystyle m nbsp ist desto weiter liegen die Doppelkurven auseinander Uber die Schraubtorse Bearbeiten nbsp Schraubtorse regulare Teile grun und blau und Gratlinie lila Geht man von der Schraublinie x f r cos f r sin f c f T displaystyle mathbf x varphi r cos varphi r sin varphi c varphi T nbsp aus so besitzt die zugehorige Schraubtorse die Parameterdarstellung S t f x f t x f r cos f t r sin f r sin f t r cos f c t f displaystyle mathbf S t varphi mathbf x varphi t mathbf dot x varphi begin pmatrix r cos varphi tr sin varphi r sin varphi tr cos varphi c t varphi end pmatrix nbsp Fur die Flachennormale ergibt sich n S t S f x x t x t x x t c r sin f c r cos f r 2 displaystyle mathbf n mathbf S t times mathbf S varphi mathbf dot x times mathbf dot x t mathbf ddot x t mathbf dot x times mathbf ddot x t begin pmatrix cr sin varphi cr cos varphi r 2 end pmatrix nbsp Fur t 0 displaystyle t 0 nbsp ist der Normalenvektor der Nullvektor d h die Ausgangskurve Schraublinie besteht aus den singularen Punkten der Flache Die Ausgangskurve heisst Gratlinie der Schraubtorse Die Gratlinie trennt die Flache in zwei regulare Teilflachen siehe Bild Kreisschraubflachen Bearbeiten nbsp Meridiankreis Schraubflache nbsp Kreisschraubflache Verschraubung eines horizontalen KreisesUnter den Kreisschraubflachen gibt es 3 interessante Typen 1 Ist der Kreis ein Meridian und schneidet nicht die Schraubachse so entsteht eine Meridiankreisschraubflache s Bild 2 Ist die Kreisebene senkrecht zur Schraublinie des Kreis Mittelpunktes so entsteht eine Rohrflache Eine Rohrflache ist auch die Einhullende von Kugeln mit dem gleichen Radius deren Mittelpunkte die verschraubten Kreismittelpunkte sind 3 Ist der Kreis horizontal in einer zur Schraubachse senkrechten Ebene und umfasst die Schraubachse so entsteht eine saulenformige gerade Kreisschraubflache s Bild Sie wurde bei Barock Saulen gerne verwandt nbsp Uni Mannheim Neubau Rettungsleiter nbsp Rutsche Salinarium nbsp Kanzelaltar 1688 St Pankratius Neuenfelde DeutschlandSiehe auch BearbeitenWendelflache Minimalflache Helix Regelflache Catalansche Flache Schiebflache Konoid RotationsflacheWeblinks BearbeitenK3Dsurf 3d surface generatorLiteratur BearbeitenUlrich Graf Martin Barner Darstellende Geometrie Quelle amp Meyer Heidelberg 1961 ISBN 3 494 00488 9 S 218 Karl Strubecker Vorlesungen uber Darstellende Geometrie Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1967 S 286 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schraubflache amp oldid 239348839