Eine Rotationsfläche oder Drehfläche ist in der Geometrie eine Fläche, die durch Rotation einer ebenen Kurve, des Hauptmeridians, um eine in derselben Ebene liegende Gerade, die Rotationsachse, entsteht. Ein einfaches Beispiel ist ein gerader Kreiskegel. Er entsteht durch Rotation einer Gerade um eine sie schneidende Rotationsachse. Weitere einfache Beispiele sind: gerader Kreiszylinder (Rotation einer Gerade um eine dazu parallele Achse), Kugel (Rotation eines Kreises um einen Durchmesser) und Torus (Rotation eines die Achse nicht schneidenden Kreises). Rotationsflächen haben gegenüber anderen Flächen besondere Eigenschaften:
- Rotationsflächen sind rotationssymmetrisch, d. h. die wesentlichen geometrischen Informationen sind schon im Hauptmeridian enthalten. Sie haben deswegen relativ einfache analytische Beschreibungen.
- Ein Schnitt mit einer beliebigen Ebene, die die Rotationsachse enthält, heißt Meridian und ist immer kongruent zum Hauptmeridian.
- Ein Querschnitt, d. h. ein ebener Schnitt mit einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse, ist immer ein Kreis und heißt Breitenkreis.
- Die Meridiane und Breitenkreise sind die Krümmumgslinien der Rotationsfläche. (Sie schneiden sich senkrecht und geben in jedem Punkt die Richtungen maximaler und minimaler Normalkrümmungen an (siehe Torus).)
Weitere Beispiele: Rotationsellipsoid, Rotationsparaboloid, Rotationshyperboloid.
Bemerkung:
- Eine Rotationsfläche lässt sich auch durch die Rotation einer geeigneten anderen Kurve, die nicht mit der Rotationsachse in einer Ebene liegt, erzeugen. Ein einfaches Beispiel ist das Rotationshyperboloid. Es lässt sich durch Rotation einer auf ihr liegenden (zur Rotationsachse windschiefen) Gerade erzeugen. Die erzeugende Gerade ist kein Meridian.
- Der Umriss einer Rotationsfläche ist im Allgemeinen kein Meridian oder ein anderer ebener Schnitt, siehe Umrisskonstruktion.
Analytische Beschreibungen Bearbeiten
Die analytische Beschreibung einer Rotationsfläche hängt direkt von der analytischen Beschreibung der rotierten ebenen Kurve, des Hauptmeridians, ab. Im Folgenden wird immer vorausgesetzt, dass die z-Achse die Rotationsachse ist.
Lässt man den Punkt der x-z-Ebene um die z-Achse rotieren, so erhält man den Kreis mit Radius .
Meridian in Parameterform Bearbeiten
In diesem Fall wird vorausgesetzt, dass
- der Hauptmeridian die Kurve mit ist.
Die Parameterform der zugehörigen Rotationsfläche ist dann
Für geometrische Betrachtungen ist es meist wichtig eine Flächennormale zur Verfügung zu haben. Unter entsprechenden Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ergibt sich für eine Normale in einem Flächenpunkt
Für den Oberflächeninhalt ergibt sich (ohne mögliche Boden- und Deckelkreise !)
Beispiele:
Meridian in impliziter Form Bearbeiten
In diesem Fall wird vorausgesetzt, dass
- der Hauptmeridian die in der r-z-Ebene durch die Gleichung mit implizit gegebene Kurve ist.
Die implizite Darstellung der zugehörigen Rotationsfläche ergibt sich durch die Ersetzung
Eine Flächennormale in einem Flächenpunkt ist:
Beispiele:
Guldinsche Regeln Bearbeiten
Die erste guldinsche Regel, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Paul Guldin, verkürzt die Berechnungen von Rotationsflächen enorm, falls sich die Linien- oder Flächenschwerpunkte der rotierenden Objekte unter Ausnutzen der Symmetrien der jeweiligen Aufgabe einfach erkennen lassen.
Bezeichnungen:
Der Flächeninhalt einer Rotationsfläche, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Schwerpunktes der Profillinie erzeugt wird:
Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion der erzeugenden Linie ergibt sich der Flächeninhalt als:
Bei Rotation um die x-Achse Bearbeiten
Mit als -Koordinate des Linienschwerpunktes der Linie und ihrem Linienelement findet man
was das obige Ergebnis darstellt, wenn noch mit den -Intervallgrenzen eingesetzt wird.
Bei Rotation um die y-Achse Bearbeiten
Wie oben bei der Volumenberechnung muss auch hier gegebenenfalls die Rechnung für die stetigen und streng monotonen Abschnitte von , in denen die Umkehrfunktion existiert, separat durchgeführt werden.
Beispiel: Oberfläche eines Rotationstorus:
Parameterform Bearbeiten
Wenn eine Kurve durch ihre Parameterform in einem Intervall definiert wird, sind die Flächeninhalte der Rotationsflächen, die durch Drehen der Kurve um die x-Achse oder die y-Achse erzeugt werden, gegeben durch
Typen Bearbeiten
Rotationsflächen konstanter gaußscher Krümmung wurden von Carl Friedrich Gauß und Ferdinand Minding klassifiziert. Rotationsflächen mit verschwindender gaußscher Krümmung sind die Ebene, der Zylinder und der Kegel. Rotationsflächen mit positiver gaußscher Krümmung sind die Kugeloberfläche, die Flächen vom Spindeltyp und die Flächen vom Wulsttyp. Rotationsflächen mit negativer gaußscher Krümmung sind die Pseudosphäre, die auch als mindingsche Fläche bekannt ist, die Flächen vom Kegeltyp und die Flächen vom Kehltyp. Die Kugeloberfläche und die Pseudosphäre haben konstante Gaußsche Krümmung.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- W. Kühnel: Differentialgeometrie, Vieweg-Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2003, ISBN 3-528-17289-4, S. 52
- Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
- Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 621
- Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Band 3), Publish or Perish Press, Berkeley, 1999, ISBN 0-914098-72-1
- Karl Strubecker: Differentialgeometrie (Band III), Sammlung Göschen, Band 1180, De Gruyter, Berlin, 1959
- Drehflächen und Regelflächen (PDF-Datei; 777 kB) mit Formeln zur Krümmungsberechnung und Beispielen von Rotationsflächen
Einzelnachweise Bearbeiten
- Ravish R. Singh, Mukul Bhatt: Engineering Mathematics. A Tutorial Approach. Tata MacGraw Hill, Neu-Delhi 2010, ISBN 978-0-07-014615-0, S. 6.90 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).