Ein Rotationsellipsoid englisch spheroid ist eine Rotationsflache die durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht Anders als bei einem dreiachsigen bzw triaxialen Ellipsoid sind zwei Achsen gleich lang abgeplattetes Rotationsellipsoid verlangertes RotationsellipsoidJe nach dem welche der beiden Halbachsen der erzeugenden Ellipse als Drehachse fungiert werden unterschieden das abgeplattete oblate Ellipsoid bei Rotation um die kleine Halbachse Beispiel Form einer Schokolinse das verlangerte prolate Ellipsoid bei Rotation um die grosse Halbachse Beispiel Form des Rugbyballs Inhaltsverzeichnis 1 Vorkommen 2 Parameterdarstellung 3 Volumen 4 Oberflache 5 Anwendung 6 Anwendungsbeispiele 6 1 Jupiter und Saturn 6 1 1 Jupiter 6 1 2 Saturn 6 2 Rugbyball 6 3 Kuppel des Berliner Reichstagsgebaudes 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseVorkommen Bearbeiten nbsp Rotationsellipsoid und Massenverlagerung rot Die meisten grosseren Himmelskorper sind angenahert abgeplattete Rotationsellipsoide die auch Spharoide genannt werden Sie entstehen durch die Fliehkraft die bewirkt dass ein sich drehender kugelformiger Korper verformt wird An den Polen also den Durchstosspunkten der Rotationsachse werden diese Korper abgeplattet am Aquator entsteht eine Ausbauchung Besonders deutlich ist die Abplattung bei den grossen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgepragt weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind Aber auch die Erde und die anderen Planeten des Sonnensystems werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkrafte zu Rotationsellipsoiden verformt Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1 16 abgeplattet die Erdabplattung betragt 1 298 257223563 WGS 84 Elliptische Galaxien sind oft keine Rotationsellipsoide sondern triaxial Parameterdarstellung Bearbeiten nbsp Abgeplattetes und verlangertes RotationsellipsoidDie folgende Parameterdarstellung beschreibt ein Rotationsellipsoid das durch Rotation der Halb Ellipse a cos t 0 c sin t p 2 t p 2 displaystyle a cos t 0 c sin t tfrac pi 2 leq t leq tfrac pi 2 nbsp in der x displaystyle x nbsp z displaystyle z nbsp Ebene um die z displaystyle z nbsp Achse entsteht s Rotationsflache a cos t cos f a cos t sin f c sin t p 2 t p 2 0 f lt 2 p 0 lt a c displaystyle begin pmatrix a cos t cos varphi a cos t sin varphi c sin t end pmatrix qquad tfrac pi 2 leq t leq tfrac pi 2 0 leq varphi lt 2 pi 0 lt a c nbsp Die Zahlen a c displaystyle a c nbsp sind die Halbachsen der rotierenden Halbellipse Im Fall a gt c displaystyle a gt c nbsp entsteht ein abgeplattetes Rotationsellipsoid im Fall a lt c displaystyle a lt c nbsp ein verlangertes Rotationsellipsoid Falls a c displaystyle a c nbsp ist ergibt sich eine Kugel mit Radius a displaystyle a nbsp Man beachte Die Pole Punkte auf der Rotationsachse besitzen keine eindeutige Darstellung Das entstandene Rotationsellipsoid besitzt die implizite Darstellung x 2 y 2 a 2 z 2 c 2 1 displaystyle frac x 2 y 2 a 2 frac z 2 c 2 1 nbsp Volumen BearbeitenDas Volumen des obigen Rotationsellipsoids betragt V 4 p 3 a 2 c displaystyle V frac 4 pi 3 a 2 c nbsp Dabei ist a displaystyle a nbsp der Radius des Aquatorkreises und c displaystyle c nbsp der Abstand der Pole vom Mittelpunkt Oberflache BearbeitenDie Oberflache 1 fur das abgeplattete Ellipsoid a gt c displaystyle a gt c nbsp berechnet man mit A 2 p a a c 2 a 2 c 2 arsinh a 2 c 2 c displaystyle A 2 pi a left a frac c 2 sqrt a 2 c 2 operatorname arsinh left frac sqrt a 2 c 2 c right right nbsp die des verlangerten Ellipsoids c gt a displaystyle c gt a nbsp mit A 2 p a a c 2 c 2 a 2 arcsin c 2 a 2 c displaystyle A 2 pi a left a frac c 2 sqrt c 2 a 2 operatorname arcsin left frac sqrt c 2 a 2 c right right nbsp Eine Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp hat das Volumen V 4 p 3 r 3 displaystyle V frac 4 pi 3 r 3 nbsp und die Oberflache A 4 p r 2 displaystyle A 4 pi r 2 nbsp s Kugel Herleitung der FormelnDer Inhalt des Flachenmantels einer durch Rotation der Kurve r t 0 z t t 1 t t 2 displaystyle r t 0 z t t 1 leq t leq t 2 nbsp erzeugten Rotationsflache ist A 2 p t 1 t 2 r r 2 z 2 d t displaystyle A 2 pi int t 1 t 2 r sqrt dot r 2 dot z 2 dt nbsp siehe Rotationsflache Fur das obige Rotationsellipsoid ist r t a cos t z t c sin t displaystyle r t a cos t z t c sin t nbsp Es muss also das Integral A 2 2 p 0 p 2 a cos t a 2 sin 2 t c 2 cos 2 t d t displaystyle A 2 cdot 2 pi int 0 pi 2 a cos t sqrt a 2 sin 2 t c 2 cos 2 t mathrm d t nbsp 2 mal ein halbes Ellipsoid berechnet werden Fur a c displaystyle a c nbsp ist a 2 sin 2 t c 2 cos 2 t a 2 sin 2 t cos 2 t a displaystyle sqrt a 2 sin 2 t c 2 cos 2 t sqrt a 2 sin 2 t cos 2 t a nbsp und es ergibt sich die Oberflache einer Kugel Im Folgenden wird a c displaystyle a neq c nbsp vorausgesetzt Die Substitution u sin t displaystyle u sin t nbsp mit d u cos t d t displaystyle mathrm d u cos t mathrm d t nbsp fuhrt zu A 4 p a 0 1 a 2 u 2 c 2 1 u 2 d u 4 p a 0 1 a 2 c 2 u 2 c 2 d u displaystyle A 4 pi a int 0 1 sqrt a 2 u 2 c 2 1 u 2 mathrm d u 4 pi a int 0 1 sqrt a 2 c 2 u 2 c 2 mathrm d u nbsp und damit zu A 4 p a a 2 c 2 0 1 u 2 c 2 a 2 c 2 d u displaystyle A 4 pi a sqrt a 2 c 2 int 0 1 sqrt u 2 frac c 2 a 2 c 2 mathrm d u quad nbsp falls a gt c displaystyle a gt c nbsp und A 4 p a c 2 a 2 0 1 c 2 c 2 a 2 u 2 d u displaystyle A 4 pi a sqrt c 2 a 2 int 0 1 sqrt frac c 2 c 2 a 2 u 2 mathrm d u quad nbsp falls c gt a displaystyle c gt a nbsp Unter Beachtung dass der Bruch unter der Quadratwurzel in beiden Fallen positiv ist ergeben sich mit Hilfe einer Integrationstabelle z B Bronstein Semendjajew die Stammfunktionen fur die beiden Integrale und schliesslich die oben angegebenen Formeln fur die Oberflache Anwendung BearbeitenIn der Geodasie Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annaherung an das physikalische Geoid benutzt Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzflache um die Lage bzw Hohe von Objekten der Erdoberflache anzugeben Man spricht dann von einem Referenzellipsoid In einem Hohlkorper reflektieren die Begrenzungsflachen des gestreckten Rotationsellipsoids die Strahlung von einem Brennpunkt zum anderen Den Effekt nutzt ein Flustergewolbe fur die Bundelung von Schallwellen Derart geformte optische Reflektoren bundeln die Strahlung einer nahezu punktformigen sich in einem der Brennpunkte befindlichen Lichtquelle auf den anderen Brennpunkt des Ellipsoids Dort kann sich die Grenzflache eines Lichtleitkabels ein anderes optisches Element oder der Ort eines strahlungsinduzierten Prozesses befinden Anwendungsbeispiele BearbeitenJupiter und Saturn Bearbeiten Die Planeten Jupiter und Saturn sind wegen den durch die schnelle Rotation wirkenden Zentrifugalkrafte an den Polen deutlich flacher als am Aquator und haben annahernd die Form eines Rotationsellipsoids Jupiter Bearbeiten Jupiter hat den Aquatordurchmesser 142984 km und den Poldurchmesser 133708 km Also gilt fur die Halbachsen a 71492 k m displaystyle a 71492 mathrm km nbsp und c 66854 k m displaystyle c 66854 mathrm km nbsp Die Masse des Jupiter betragt etwa 1 899 1027 kg Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln fur das Volumen die mittlere Dichte und die Oberflache Volumen V 4 3 p a 2 c 4 3 p 71492 k m 2 66854 k m 1 431 3 10 15 k m 3 displaystyle V frac 4 3 cdot pi cdot a 2 cdot c frac 4 3 cdot pi cdot 71492 mathrm km 2 cdot 66854 mathrm km approx 1 4313 cdot 10 15 mathrm km 3 nbsp Das ist etwa 1321 mal so viel wie das Volumen der Erde Mittlere Dichte r m V 1 899 10 27 k g 1 431 3 10 15 k m 3 1 899 10 27 k g 1 431 3 10 24 m 3 1327 k g m 3 displaystyle rho frac m V frac 1 899 cdot 10 27 mathrm kg 1 4313 cdot 10 15 mathrm km 3 frac 1 899 cdot 10 27 mathrm kg 1 4313 cdot 10 24 mathrm m 3 approx 1327 mathrm kg mathrm m 3 nbsp Jupiter hat also insgesamt eine etwas hohere Dichte als Wasser unter Standardbedingungen Oberflache A 4 p a b 8 5 a c 8 5 b c 8 5 3 5 8 4 p 71492 k m 71492 k m 8 5 71492 k m 66854 k m 8 5 71492 k m 66854 k m 8 5 3 5 8 6 15 10 10 k m 2 displaystyle A approx 4 cdot pi cdot left frac a cdot b frac 8 5 a cdot c frac 8 5 b cdot c frac 8 5 3 right frac 5 8 4 cdot pi cdot left frac 71492 mathrm km cdot 71492 mathrm km frac 8 5 71492 mathrm km cdot 66854 mathrm km frac 8 5 71492 mathrm km cdot 66854 mathrm km frac 8 5 3 right frac 5 8 approx 6 15 cdot 10 10 mathrm km 2 nbsp Das ist etwa 121 mal so viel wie die Oberflache der Erde Saturn Bearbeiten Saturn hat den Aquatordurchmesser 120536 km und den Poldurchmesser 108728 km Also gilt fur die Halbachsen a 60268 k m displaystyle a 60268 mathrm km nbsp und c 54364 k m displaystyle c 54364 mathrm km nbsp Die Masse des Saturn betragt etwa 5 683 1026 kg Daraus ergibt sich Volumen V 4 3 p a 2 c 4 3 p 60268 k m 2 54364 k m 8 271 3 10 14 k m 3 displaystyle V frac 4 3 cdot pi cdot a 2 cdot c frac 4 3 cdot pi cdot 60268 mathrm km 2 cdot 54364 mathrm km approx 8 2713 cdot 10 14 mathrm km 3 nbsp Das ist etwa 764 mal so viel wie das Volumen der Erde Mittlere Dichte r m V 5 683 10 26 k g 8 271 3 10 14 k m 3 5 683 10 26 k g 8 271 3 10 23 m 3 687 k g m 3 displaystyle rho frac m V frac 5 683 cdot 10 26 mathrm kg 8 2713 cdot 10 14 mathrm km 3 frac 5 683 cdot 10 26 mathrm kg 8 2713 cdot 10 23 mathrm m 3 approx 687 mathrm kg mathrm m 3 nbsp Saturn hat also insgesamt eine etwas geringere Dichte als Wasser unter Standardbedingungen Oberflache A 4 p a b 8 5 a c 8 5 b c 8 5 3 5 8 4 p 60268 k m 60268 k m 8 5 60268 k m 54364 k m 8 5 60268 k m 54364 k m 8 5 3 5 8 4 27 10 10 k m 2 displaystyle A approx 4 cdot pi cdot left frac a cdot b frac 8 5 a cdot c frac 8 5 b cdot c frac 8 5 3 right frac 5 8 4 cdot pi cdot left frac 60268 mathrm km cdot 60268 mathrm km frac 8 5 60268 mathrm km cdot 54364 mathrm km frac 8 5 60268 mathrm km cdot 54364 mathrm km frac 8 5 3 right frac 5 8 approx 4 27 cdot 10 10 mathrm km 2 nbsp Das ist etwa 84 mal so viel wie die Oberflache der Erde Rugbyball Bearbeiten Ein Rugbyball hat eine Lange von etwa 280 Millimetern und an der Nebenachse einen Durchmesser von etwa 200 Millimetern Also gilt fur die Halbachsen a 100 m m displaystyle a 100 mathrm mm nbsp und c 140 m m displaystyle c 140 mathrm mm nbsp Die Masse eines Rugbyballs betragt etwa 400 Gramm Daraus ergibt sich Volumen V 4 3 p a 2 c 4 3 p 100 m m 2 140 m m 5 86 10 6 m m 3 5 86 10 3 m 3 displaystyle V frac 4 3 cdot pi cdot a 2 cdot c frac 4 3 cdot pi cdot 100 mathrm mm 2 cdot 140 mathrm mm approx 5 86 cdot 10 6 mathrm mm 3 5 86 cdot 10 3 mathrm m 3 nbsp Mittlere Dichte r m V 400 g 5 86 10 3 m 3 0 4 k g 5 86 10 3 m 3 68 k g m 3 displaystyle rho frac m V frac 400 mathrm g 5 86 cdot 10 3 mathrm m 3 frac 0 4 mathrm kg 5 86 cdot 10 3 mathrm m 3 approx 68 mathrm kg mathrm m 3 nbsp Kuppel des Berliner Reichstagsgebaudes Bearbeiten nbsp Die nach der Deutschen Wiedervereinigung neu errichtete Kuppel des Berliner Reichstagsgebaudes hat die Form eines halben Rotationsellipsoiden mit einem Durchmesser von 38 Metern an der Nebenachse und einer Hohe von 23 5 Metern Also gilt fur die Halbachsen a 19 m displaystyle a 19 mathrm m nbsp und c 23 5 m displaystyle c 23 5 mathrm m nbsp Daraus ergibt sich das Volumen V 2 3 p a 2 c 2 3 p 19 m 2 23 5 m 17767 8 m 3 displaystyle V frac 2 3 cdot pi cdot a 2 cdot c frac 2 3 cdot pi cdot 19 mathrm m 2 cdot 23 5 mathrm m approx 17767 8 mathrm m 3 nbsp 2 3 Siehe auch BearbeitenEllipsoid Rotationsparaboloid Rotationshyperboloid AchernarWeblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Rotationsellipsoid Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Beyer CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th Edition S 198 Georg Glaeser Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst Natur und Technik 4 Auflage Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2022 ISBN 978 3 662 64382 2 Seite 233 Guide zum Reichstag Berlin Tourist Information abgerufen am 3 Oktober 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rotationsellipsoid amp oldid 234858410
