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Gaußsche Krümmung Die gaußsche Krümmung das gaußsche Krümmungsmaß ist neben der mittleren Krümmung der wichtigste Krümmu

Gaußsche Krümmung

Die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß) ist neben der mittleren Krümmung der wichtigste Krümmungsbegriff in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (), einem Gebiet der Differentialgeometrie. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß.

Definition Bearbeiten

Gegeben seien eine reguläre Fläche im und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen und .

Dabei sind und die beiden Hauptkrümmungsradien.

Beispiele Bearbeiten

Berechnung Bearbeiten

  • Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion über dem Parameterbereich , also für alle , so gilt für die gaußsche Krümmung:
Hierbei bezeichnen und die ersten und , und die zweiten partiellen Ableitungen von .
Dabei ist der Betrag des Gradienten und die Adjunkte der Hesse-Matrix von .

Eigenschaften Bearbeiten

Vorzeichen Bearbeiten

In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (), in hyperbolischen Punkten negativ () und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.

Beispiele:

  • Bei einem Fahrradschlauch (= Torus) sind die auf der Felge liegenden Punkte hyperbolisch und die außen liegenden Punkte elliptisch. Die zwei Trennlinien dieser beiden Bereiche sind zwei Kreise, deren Punkte parabolisch sind.
  • Ein Ellipsoid hat nur elliptische, ein hyperbolisches Paraboloid (= Sattelfläche) hat nur hyperbolische Punkte.

Eigenschaft der inneren Geometrie Bearbeiten

Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der Formel von Brioschi:

Dabei sind , und die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen , usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern und , mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.

Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:

Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung () reduziert sich diese Formel auf

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d. h., es gilt und , dann schreibt sich

mit dem Laplaceoperator

Totalkrümmung Bearbeiten

Die Innenwinkelsumme eines Flächendreiecks auf einer negativ gekrümmten Fläche ist kleiner als 180°.

Das Oberflächenintegral

der gaußschen Krümmung über eine Teilmenge einer Fläche bezeichnet man als deren Totalkrümmung. Bei Vielecken, deren Kanten Geodätische sind, besteht ein Zusammenhang zwischen der Totalkrümmung und der Innenwinkelsumme. Beispielsweise gilt für die Innenwinkelsumme eines geodätischen Dreiecks:

Die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks entspricht also der Abweichung der Innenwinkelsumme von : Die Innenwinkelsumme eines sich auf einer positiv gekrümmten Fläche befindenden Dreiecks überschreitet , auf einer negativ gekrümmten Fläche liegt die Innenwinkelsumme unterhalb von . Beträgt die Gaußkrümmung null, so beträgt die Innenwinkelsumme wie im ebenen Fall exakt .

Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes ist der Satz von Gauß-Bonnet, der einen Zusammenhang zwischen der gaußschen Krümmung einer Fläche und der geodätischen Krümmung der zugehörigen Randkurve beschreibt.

Literatur Bearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. 3. Auflage. Volume 3. Publish or Perish, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, Chapter 3. A compendium of surfaces (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Die gausssche Krummung das gausssche Krummungsmass ist neben der mittleren Krummung der wichtigste Krummungsbegriff in der Theorie der Flachen im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 einem Gebiet der Differentialgeometrie Sie ist benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauss Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Berechnung 4 Eigenschaften 4 1 Vorzeichen 4 2 Eigenschaft der inneren Geometrie 5 Totalkrummung 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben seien eine regulare Flache im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp und ein Punkt dieser Flache Die gausssche Krummung K displaystyle K nbsp der Flache in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrummungen k 1 displaystyle k 1 nbsp und k 2 displaystyle k 2 nbsp K k 1 k 2 1 r 1 1 r 2 displaystyle K k 1 cdot k 2 frac 1 r 1 cdot frac 1 r 2 nbsp Dabei sind r 1 displaystyle r 1 nbsp und r 2 displaystyle r 2 nbsp die beiden Hauptkrummungsradien Beispiele Bearbeiten nbsp Buckelflache mit K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp nbsp Abwickelbare Flache mit K 0 displaystyle K 0 nbsp nbsp Hyperboloid mit K lt 0 displaystyle K lt 0 nbsp Im Falle einer Kugel oberflache mit Radius r displaystyle r nbsp ist die gausssche Krummung gegeben durch K 1 r 2 displaystyle K 1 r 2 nbsp In einem beliebigen Punkt auf der gekrummten Flache eines geraden Kreiszylinders eines geraden Kreiskegels oder jeder anderen abwickelbaren Flache ist die gausssche Krummung K 0 displaystyle K 0 nbsp Berechnung BearbeitenSind E displaystyle E nbsp F displaystyle F nbsp G displaystyle G nbsp bzw L displaystyle L nbsp M displaystyle M nbsp N displaystyle N nbsp die Koeffizienten der ersten bzw zweiten Fundamentalform so gilt folgende Formel K L N M 2 E G F 2 displaystyle K frac LN M 2 EG F 2 nbsp dd Ist die betrachtete Flache der Graph einer Funktion f displaystyle f nbsp uber dem Parameterbereich U displaystyle U nbsp also X u v u v f u v displaystyle X u v u v f u v nbsp fur alle u v U displaystyle u v in U nbsp so gilt fur die gausssche Krummung K f u u f v v f u v 2 1 f u 2 f v 2 2 displaystyle K frac f uu f vv f uv 2 1 f u 2 f v 2 2 nbsp dd Hierbei bezeichnen f u displaystyle f u nbsp und f v displaystyle f v nbsp die ersten und f u u displaystyle f uu nbsp f u v displaystyle f uv nbsp und f v v displaystyle f vv nbsp die zweiten partiellen Ableitungen von f displaystyle f nbsp Ist die Flache als Nullstellenmenge f 1 0 displaystyle f 1 0 nbsp einer Funktion f R 3 R displaystyle f colon mathbb R 3 to mathbb R nbsp mit regularem Wert 0 R displaystyle 0 in mathbb R nbsp gegeben dann berechnet sich die gausssche Krummung aus der Formel 1 K f T adj H f f f 4 displaystyle K frac nabla f T cdot operatorname adj H f cdot nabla f nabla f 4 nbsp dd Dabei ist f displaystyle nabla f nbsp der Betrag des Gradienten und adj H f displaystyle operatorname adj H f nbsp die Adjunkte der Hesse Matrix von f displaystyle f nbsp Eigenschaften BearbeitenVorzeichen Bearbeiten Hauptartikel Hauptkrummung Klassifizierung von Flachenpunkten In elliptischen Punkten ist die gausssche Krummung positiv K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp in hyperbolischen Punkten negativ K lt 0 displaystyle K lt 0 nbsp und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie Beispiele Bei einem Fahrradschlauch Torus sind die auf der Felge liegenden Punkte hyperbolisch und die aussen liegenden Punkte elliptisch Die zwei Trennlinien dieser beiden Bereiche sind zwei Kreise deren Punkte parabolisch sind Ein Ellipsoid hat nur elliptische ein hyperbolisches Paraboloid Sattelflache hat nur hyperbolische Punkte Eigenschaft der inneren Geometrie Bearbeiten Die gausssche Krummung hangt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Flache ab siehe Theorema egregium von C F Gauss Dieser Satz ist ein Korollar aus der Formel von Brioschi K 1 E G F 2 2 1 2 E v v F u v 1 2 G u u 1 2 E u F u 1 2 E v F v 1 2 G u E F 1 2 G v F G 0 1 2 E v 1 2 G u 1 2 E v E F 1 2 G u F G displaystyle K frac 1 EG F 2 2 left begin vmatrix frac 1 2 E vv F uv frac 1 2 G uu amp frac 1 2 E u amp F u frac 1 2 E v F v frac 1 2 G u amp E amp F frac 1 2 G v amp F amp G end vmatrix begin vmatrix 0 amp frac 1 2 E v amp frac 1 2 G u frac 1 2 E v amp E amp F frac 1 2 G u amp F amp G end vmatrix right nbsp Dabei sind E displaystyle E nbsp F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp die Koeffizienten der ersten Fundamentalform Die Bezeichnungen E u displaystyle E u nbsp F u v displaystyle F uv nbsp usw stehen fur erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp mit denen die gegebene Flache parametrisiert wird Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauss Weingarten Gleichungen Eine weitere Formel zur Berechnung der gaussschen Krummung lautet K 1 2 E G F 2 E v F u E G F 2 v G u F v E G F 2 u 1 4 E G F 2 2 E E u E v F F u F v G G u G v displaystyle K frac 1 2 sqrt EG F 2 left left frac E v F u sqrt EG F 2 right v left frac G u F v sqrt EG F 2 right u right frac 1 4 left EG F 2 right 2 begin vmatrix E amp E u amp E v F amp F u amp F v G amp G u amp G v end vmatrix nbsp Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung F 0 displaystyle F 0 nbsp reduziert sich diese Formel auf K 1 2 E G E v E G v G u E G u displaystyle K frac 1 2 sqrt EG left left frac E v sqrt EG right v left frac G u sqrt EG right u right nbsp Wenn die Flache isotherm parametrisiert ist d h es gilt 0 lt E G displaystyle 0 lt E G nbsp und F 0 displaystyle F 0 nbsp dann schreibt sich K 1 2 E D log E displaystyle K frac 1 2E Delta log E nbsp mit dem Laplaceoperator D 2 u 2 2 v 2 displaystyle Delta frac partial 2 partial u 2 frac partial 2 partial v 2 nbsp Totalkrummung Bearbeiten nbsp Die Innenwinkelsumme eines Flachendreiecks auf einer negativ gekrummten Flache ist kleiner als 180 Das Oberflachenintegral T K d A displaystyle iint T K dA nbsp der gaussschen Krummung K displaystyle K nbsp uber eine Teilmenge T displaystyle T nbsp einer Flache bezeichnet man als deren Totalkrummung Bei Vielecken deren Kanten Geodatische sind besteht ein Zusammenhang zwischen der Totalkrummung und der Innenwinkelsumme Beispielsweise gilt fur die Innenwinkelsumme a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp eines geodatischen Dreiecks a b g p T K d A displaystyle alpha beta gamma pi iint T K dA nbsp Die Totalkrummung eines geodatischen Dreiecks entspricht also der Abweichung der Innenwinkelsumme von p displaystyle pi nbsp Die Innenwinkelsumme eines sich auf einer positiv gekrummten Flache befindenden Dreiecks uberschreitet p displaystyle pi nbsp auf einer negativ gekrummten Flache liegt die Innenwinkelsumme unterhalb von p displaystyle pi nbsp Betragt die Gausskrummung null so betragt die Innenwinkelsumme wie im ebenen Fall exakt p displaystyle pi nbsp Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes ist der Satz von Gauss Bonnet der einen Zusammenhang zwischen der gaussschen Krummung einer Flache und der geodatischen Krummung der zugehorigen Randkurve beschreibt Literatur BearbeitenManfredo Perdigao do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice Hall Inc Upper Saddle River NJ 1976 ISBN 0 13 212589 7 Einzelnachweise Bearbeiten Michael Spivak A comprehensive introduction to differential geometry 3 Auflage Volume 3 Publish or Perish Houston TX 1999 ISBN 0 914098 72 1 Chapter 3 A compendium of surfaces englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gausssche Krummung amp oldid 232972755