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Zweite Fundamentalform Die zweite Fundamentalform ist in der Mathematik eine Funktion aus der Differentialgeometrie Defi

Zweite Fundamentalform

Die zweite Fundamentalform ist in der Mathematik eine Funktion aus der Differentialgeometrie. Definiert wurde die zweite Fundamentalform zunächst in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Heute gibt es auch eine verallgemeinerte Definition in der riemannschen Geometrie.

Während die erste Fundamentalform die innere Geometrie einer Fläche beschreibt (also Eigenschaften, die sich durch Längenmessungen innerhalb der Fläche ermitteln lassen), hängt die zweite Fundamentalform von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab. Sie wird für Krümmungsberechnungen benötigt und kommt beispielsweise in den Mainardi-Codazzi-Gleichungen vor. Mit ihrer Hilfe und mit Hilfe der ersten Fundamentalform werden die Hauptkrümmungen, die mittlere Krümmung und die Gaußsche Krümmung der Fläche definiert.

Klassische Differentialgeometrie Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Eine Fläche sei durch eine auf einer offenen Teilmenge definierte Abbildung

gegeben, also durch und parametrisiert. Ist die Fläche regulär, also die erste Fundamentalform der Fläche positiv-definit, so kann man der Fläche einen Einheitsnormalenvektor zuordnen. Für den durch die Parameterwerte und bestimmten Punkt der Fläche ist dieser durch das Vektorprodukt

gegeben. Die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform in diesem Punkt sind wie folgt definiert:

definiert. Hierbei sind , und die zweiten partiellen Ableitungen nach den Parametern. Die Malpunkte drücken Skalarprodukte von Vektoren aus. Zur Vereinfachung der Schreibweise lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur , und . Manche Autoren verwenden die Bezeichnungen , und .

Die zweite Fundamentalform ist dann die quadratische Form

Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:

Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:

die zweite Fundamentalform hat also die Matrixdarstellung

Häufig bezeichnet man als zweite Fundamentalform auch die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform .

Eigenschaften Bearbeiten

Die Diskriminante (also die Determinante der Darstellungsmatrix) der zweiten Fundamentalform liefert Auskunft darüber, wie die gegebene Fläche an der betrachteten Stelle gekrümmt ist. Drei Fälle sind zu unterscheiden:

  • Für liegt elliptische Krümmung vor. (Beispiel: Oberfläche eines Ellipsoids oder einer Kugel)
  • bedeutet parabolische Krümmung. (Beispiel: Oberfläche eines geraden Kreiszylinders)

Beispiel Kugeloberfläche Bearbeiten

Dem Beispiel aus dem Artikel der ersten Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

parametrisiert. Das Einheitsnormalenfeld kann dann durch

beschrieben werden. Die zweiten partiellen Ableitungen von lauten

Daher erhält man die Koeffizienten , und . Die Darstellung der zweiten Fundamentalform der Kugeloberfläche mit Hilfe von Differentialen lautet dann

Spezialfall Graph einer Fläche Bearbeiten

Ist die Fläche der Graph einer Funktion über dem Parameterbereich , also für alle , so gilt:

und

Hierbei bezeichnen und die ersten und , und die zweiten partiellen Ableitungen von .

Riemannsche Geometrie Bearbeiten

Im Gegensatz zur ersten Fundamentalform, welche in der riemannschen Geometrie durch anschaulichere Konstruktionen ersetzt wurde, hat die zweite Fundamentalform auch in der riemannschen Geometrie eine wichtige Bedeutung und eine verallgemeinerte Definition.

Definition Bearbeiten

Sei eine Untermannigfaltigkeit der riemannschen Mannigfaltigkeit Ausgangspunkt für die Definition der zweiten Fundamentalform ist die orthogonale Zerlegung von Vektorfeldern in in tangentiale und normale Anteile. Sind Vektorfelder auf , so kann man diese zu Vektorfeldern auf fortsetzen. Ist der Levi-Civita-Zusammenhang auf , dann erhält man die Zerlegung

Die zweite Fundamentalform ist eine Abbildung

welche durch

definiert ist. Dabei bezeichnet das Normalenbündel von , welches analog zum Tangentialbündel definiert ist und ist die orthogonale Projektion auf das Normalenbündel.

Eigenschaften Bearbeiten

Die zweite Fundamentalform ist

Skalare zweite Fundamentalform Bearbeiten

Sei eine -dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit riemannscher Metrik und sei eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit von . So eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 heißt auch Hyperfläche. In diesem Fall ist der Normalenraum in jedem Punkt von eindimensional und es gibt genau zwei Einheitsnormalenvektoren, die jeweils aufspannen. Diese unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Ist ein Einheitsnormalenvektorfeld fest gewählt, so definiert man die zugehörige skalare zweite Fundamentalform durch

Die skalare zweite Fundamentalform hängt bis auf das Vorzeichen nicht von der Wahl des Einheitsnormalenvektorfelds ab: Nimmt man statt das entgegengesetzt orientierte zweite Einheitsnormalenvektorfeld, so ändert sich bei der skalaren zweiten Fundamentalform nur das Vorzeichen. Aus den Eigenschaften der zweiten Fundamentalform folgt, dass die skalare zweite Fundamentalform ebenfalls symmetrisch und -linear in jedem Argument ist, also ein symmetrisches (0,2)-Tensorfeld auf .

Total geodätische Untermannigfaltigkeiten Bearbeiten

Eine Untermannigfaltigkeit ist genau dann total geodätisch (d. h. Geodäten in sind auch Geodäten in ), wenn ihre zweite Fundamentalform identisch verschwindet.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. Hartmann: Flächen, Gauß-Krümmung, erste und zweite Fundamentalform, theorema egregium. (PDF) 12. April 2011, abgerufen am 29. September 2016. Seite 6, Beweis zu Satz 3.4.

Literatur Bearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98322-8.
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Die zweite Fundamentalform ist in der Mathematik eine Funktion aus der Differentialgeometrie Definiert wurde die zweite Fundamentalform zunachst in der Theorie der Flachen im dreidimensionalen Raum einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie Heute gibt es auch eine verallgemeinerte Definition in der riemannschen Geometrie Wahrend die erste Fundamentalform die innere Geometrie einer Flache beschreibt also Eigenschaften die sich durch Langenmessungen innerhalb der Flache ermitteln lassen hangt die zweite Fundamentalform von der Lage der Flache im umgebenden Raum ab Sie wird fur Krummungsberechnungen benotigt und kommt beispielsweise in den Mainardi Codazzi Gleichungen vor Mit ihrer Hilfe und mit Hilfe der ersten Fundamentalform werden die Hauptkrummungen die mittlere Krummung und die Gausssche Krummung der Flache definiert Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Differentialgeometrie 1 1 Definition 1 2 Eigenschaften 1 3 Beispiel Kugeloberflache 1 4 Spezialfall Graph einer Flache 2 Riemannsche Geometrie 2 1 Definition 2 2 Eigenschaften 2 3 Skalare zweite Fundamentalform 3 Total geodatische Untermannigfaltigkeiten 4 Siehe auch 5 Einzelnachweise 6 LiteraturKlassische Differentialgeometrie BearbeitenDefinition Bearbeiten Eine Flache sei durch eine auf einer offenen Teilmenge U R 2 displaystyle U subset mathbb R 2 nbsp definierte Abbildung X U R 3 u v X u v displaystyle X colon U to mathbb R 3 quad u v mapsto X u v nbsp gegeben also durch u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp parametrisiert Ist die Flache regular also die erste Fundamentalform der Flache positiv definit so kann man der Flache einen Einheitsnormalenvektor n u v displaystyle nu u v nbsp zuordnen Fur den durch die Parameterwerte u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp bestimmten Punkt der Flache ist dieser durch das Vektorprodukt n u v X u u v X v u v X u u v X v u v displaystyle nu u v frac X u u v times X v u v X u u v times X v u v nbsp gegeben Die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform in diesem Punkt sind wie folgt definiert L u v n u v X u u u v displaystyle L u v nu u v cdot X uu u v nbsp M u v n u v X u v u v displaystyle M u v nu u v cdot X uv u v nbsp N u v n u v X v v u v displaystyle N u v nu u v cdot X vv u v nbsp definiert Hierbei sind X u u u v displaystyle X uu u v nbsp X u v u v displaystyle X uv u v nbsp und X v v u v displaystyle X vv u v nbsp die zweiten partiellen Ableitungen nach den Parametern Die Malpunkte drucken Skalarprodukte von Vektoren aus Zur Vereinfachung der Schreibweise lasst man haufig die Argumente weg und schreibt nur L displaystyle L nbsp M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp Manche Autoren verwenden die Bezeichnungen e displaystyle e nbsp f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Die zweite Fundamentalform ist dann die quadratische Form I I R 2 R w 1 w 2 L w 1 2 2 M w 1 w 2 N w 2 2 displaystyle mathit II colon mathbb R 2 to mathbb R w 1 w 2 mapsto L w 1 2 2M w 1 w 2 N w 2 2 nbsp Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet d s 2 L d u 2 2 M d u d v N d v 2 displaystyle d sigma 2 L du 2 2M du dv N dv 2 nbsp Eine weitere modernere Schreibweise ist h 11 L h 12 h 21 M h 22 N displaystyle h 11 L quad h 12 h 21 M quad h 22 N nbsp die zweite Fundamentalform hat also die Matrixdarstellung h i j L M M N displaystyle h ij begin pmatrix L amp M M amp N end pmatrix nbsp Haufig bezeichnet man als zweite Fundamentalform auch die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform h displaystyle h nbsp Eigenschaften Bearbeiten Die Diskriminante L N M 2 displaystyle LN M 2 nbsp also die Determinante der Darstellungsmatrix der zweiten Fundamentalform liefert Auskunft daruber wie die gegebene Flache an der betrachteten Stelle gekrummt ist Drei Falle sind zu unterscheiden Fur L N M 2 gt 0 displaystyle LN M 2 gt 0 nbsp liegt elliptische Krummung vor Beispiel Oberflache eines Ellipsoids oder einer Kugel L N M 2 0 displaystyle LN M 2 0 nbsp bedeutet parabolische Krummung Beispiel Oberflache eines geraden Kreiszylinders Falls L N M 2 lt 0 displaystyle LN M 2 lt 0 nbsp gilt spricht man von hyperbolischer Krummung Beispiel Einschaliges Hyperboloid Beispiel Kugeloberflache Bearbeiten Dem Beispiel aus dem Artikel der ersten Fundamentalform folgend wird wieder die Oberflache einer Kugel vom Radius r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp betrachtet Diese Flache wird wieder durch X u v r sin u cos v r sin u sin v r cos u displaystyle X u v begin pmatrix r sin u cos v r sin u sin v r cos u end pmatrix nbsp parametrisiert Das Einheitsnormalenfeld kann dann durch n u v 1 r X u v displaystyle nu u v frac 1 r X u v nbsp beschrieben werden Die zweiten partiellen Ableitungen von X displaystyle X nbsp lauten X u u X displaystyle X uu X nbsp sowie X u v r cos u sin v r cos u cos v 0 displaystyle X uv left begin smallmatrix r cos u sin v r cos u cos v 0 end smallmatrix right nbsp und X v v r sin u cos v r sin u sin v 0 displaystyle X vv left begin smallmatrix r sin u cos v r sin u sin v 0 end smallmatrix right nbsp Daher erhalt man die Koeffizienten L r displaystyle L r nbsp M 0 displaystyle M 0 nbsp und N r sin 2 u displaystyle N r sin 2 u nbsp Die Darstellung der zweiten Fundamentalform der Kugeloberflache mit Hilfe von Differentialen lautet dann d s 2 r d u 2 r sin 2 u d v 2 displaystyle d sigma 2 r du 2 r sin 2 u dv 2 nbsp Spezialfall Graph einer Flache Bearbeiten Ist die Flache der Graph einer Funktion f displaystyle f nbsp uber dem Parameterbereich U displaystyle U nbsp also X u v u v f u v displaystyle X u v u v f u v nbsp fur alle u v U displaystyle u v in U nbsp so gilt 1 n 1 1 f u 2 f v 2 f u f v 1 displaystyle nu frac 1 sqrt 1 f u 2 f v 2 begin pmatrix f u f v 1 end pmatrix nbsp und L f u u 1 f u 2 f v 2 M f u v 1 f u 2 f v 2 N f v v 1 f u 2 f v 2 displaystyle L frac f uu sqrt 1 f u 2 f v 2 quad M frac f uv sqrt 1 f u 2 f v 2 quad N frac f vv sqrt 1 f u 2 f v 2 nbsp Hierbei bezeichnen f u displaystyle f u nbsp und f v displaystyle f v nbsp die ersten und f u u displaystyle f uu nbsp f u v displaystyle f uv nbsp und f v v displaystyle f vv nbsp die zweiten partiellen Ableitungen von f displaystyle f nbsp Riemannsche Geometrie BearbeitenIm Gegensatz zur ersten Fundamentalform welche in der riemannschen Geometrie durch anschaulichere Konstruktionen ersetzt wurde hat die zweite Fundamentalform auch in der riemannschen Geometrie eine wichtige Bedeutung und eine verallgemeinerte Definition Definition Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine Untermannigfaltigkeit der riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle tilde M nbsp Ausgangspunkt fur die Definition der zweiten Fundamentalform ist die orthogonale Zerlegung von Vektorfeldern in T M M displaystyle T tilde M M nbsp in tangentiale und normale Anteile Sind X Y G T M displaystyle X Y in Gamma infty TM nbsp Vektorfelder auf M displaystyle M nbsp so kann man diese zu Vektorfeldern auf M displaystyle tilde M nbsp fortsetzen Ist displaystyle tilde nabla nbsp der Levi Civita Zusammenhang auf M displaystyle tilde M nbsp dann erhalt man die Zerlegung X Y X Y X Y displaystyle tilde nabla X Y tilde nabla X Y top tilde nabla X Y bot nbsp Die zweite Fundamentalform ist eine Abbildung I I G T M G T M G N M displaystyle mathit II colon Gamma TM times Gamma TM to Gamma NM nbsp welche durch I I X Y X Y displaystyle mathit II X Y tilde nabla X Y bot nbsp definiert ist Dabei bezeichnet N M displaystyle NM nbsp das Normalenbundel von M displaystyle M nbsp welches analog zum Tangentialbundel definiert ist und T M N M displaystyle bot T tilde M to NM nbsp ist die orthogonale Projektion auf das Normalenbundel Eigenschaften Bearbeiten Die zweite Fundamentalform ist unabhangig von der Fortsetzung der Vektorfelder X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp bilinear uber C M displaystyle C infty M nbsp symmetrisch in X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Skalare zweite Fundamentalform Bearbeiten Sei M displaystyle tilde M nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit riemannscher Metrik g displaystyle g nbsp und sei M displaystyle M nbsp eine n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionale Untermannigfaltigkeit von M displaystyle tilde M nbsp So eine Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 heisst auch Hyperflache In diesem Fall ist der Normalenraum N M p displaystyle NM p nbsp in jedem Punkt p displaystyle p nbsp von M displaystyle M nbsp eindimensional und es gibt genau zwei Einheitsnormalenvektoren die jeweils N M p displaystyle NM p nbsp aufspannen Diese unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen Ist ein Einheitsnormalenvektorfeld N G N M displaystyle N in Gamma NM nbsp fest gewahlt so definiert man die zugehorige skalare zweite Fundamentalform h displaystyle h nbsp durch h X Y g I I X Y N displaystyle h X Y g mathit II X Y N nbsp fur alle X Y G T M displaystyle X Y in Gamma TM nbsp Die skalare zweite Fundamentalform hangt bis auf das Vorzeichen nicht von der Wahl des Einheitsnormalenvektorfelds ab Nimmt man statt N displaystyle N nbsp das entgegengesetzt orientierte zweite Einheitsnormalenvektorfeld so andert sich bei der skalaren zweiten Fundamentalform nur das Vorzeichen Aus den Eigenschaften der zweiten Fundamentalform folgt dass die skalare zweite Fundamentalform ebenfalls symmetrisch und C M displaystyle C infty M nbsp linear in jedem Argument ist also ein symmetrisches 0 2 Tensorfeld auf M displaystyle M nbsp Total geodatische Untermannigfaltigkeiten Bearbeiten Hauptartikel Total geodatische Untermannigfaltigkeit Eine Untermannigfaltigkeit N M displaystyle N subset M nbsp ist genau dann total geodatisch d h Geodaten in N displaystyle N nbsp sind auch Geodaten in M displaystyle M nbsp wenn ihre zweite Fundamentalform identisch verschwindet Siehe auch BearbeitenWeingartenabbildungEinzelnachweise Bearbeiten A Hartmann Flachen Gauss Krummung erste und zweite Fundamentalform theorema egregium PDF 12 April 2011 abgerufen am 29 September 2016 Seite 6 Beweis zu Satz 3 4 Literatur BearbeitenManfredo Perdigao do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice Hall Inc New Jersey 1976 ISBN 0 13 212589 7 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston 1992 ISBN 0 8176 3490 8 John M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Springer New York 1997 ISBN 0 387 98322 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zweite Fundamentalform amp oldid 239339477