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Normalenbündel Das ist ein Begriff aus der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie Teilgebieten der Mathemat

Normalenbündel

Das Normalenbündel ist ein Begriff aus der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie, Teilgebieten der Mathematik. Ein solches Vektorbündel umfasst alle Normalenvektoren einer Untermannigfaltigkeit und ist somit ein zum Tangentialbündel komplementäres Konzept.

Normalenvektoren an einer Fläche im dreidimensionalen Raum

Mit Hilfe von Normalenbündeln können beispielsweise tubulare Umgebungen von Untermannigfaltigkeiten konstruiert werden.

Definition Bearbeiten

Untermannigfaltigkeit Bearbeiten

Das Normalenbündel einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit ist das Vektorbündel über , das aus allen Paaren besteht, wobei gilt und ein Vektor im Quotientenraum ist, wobei und die Tangentialräume von und sind. Mit anderen Worten ist das Normalenbündel definiert als die disjunkte Vereinigung

Immersierte Untermannigfaltigkeit Bearbeiten

Etwas allgemeiner ist die Konstruktion des normalen Bündels einer immersierten Untermannigfaltigkeit. Sei also eine Immersion von in . Dann ist das Normalenbündel von definiert durch

wobei der Rücktransport von ist.

Riemannsche Geometrie Bearbeiten

Seien und riemannsche Mannigfaltigkeiten und eine Immersion, so dass eine in immersierte Mannigfaltigkeit ist. Sei und der Tangentialraum von in . Aufgrund der riemannschen Metrik gibt es eine orthogonale Zerlegung dieses Tangentialraums. Dabei ist der Normalenraum am Punkt . Die Menge

ist das Normalenbündel der riemannschen Mannigfaltigkeit bezüglich . Dieses Normalenbündel in der riemannschen Geometrie ist ein Spezialfall der zuvor genannten Definition, denn ist offenbar zu den Quotientenräumen obiger Definition isomorph.

Stabiles Normalenbündel Bearbeiten

Abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten haben ein kanonisches Tangentenbündel, aber kein Normalenbündel. Nur das Einbetten (oder Immersieren) einer Mannigfaltigkeit in eine andere ergibt ein normales Bündel.

Da allerdings jede differenzierbare Mannigfaltigkeit nach dem Einbettungssatz von Whitney in eingebettet werden kann, lässt jede Mannigfaltigkeit bei einer solchen Einbettung ein Normalenbündel zu. Es gibt im Allgemeinen keine natürliche Wahl der Einbettung, aber für eine gegebene Mannigfaltigkeit sind zwei beliebige Einbettungen in für ausreichend großes isotop und induzieren daher das gleiche Normalenbündel. Die resultierende Klasse der Normalenbündel (es handelt sich um eine Klasse von Bündeln und nicht um ein bestimmtes Bündel, da variieren kann) wird als stabiles Normalenbündel bezeichnet.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Antoni A. Kosinski: Differential Manifolds. Academic Press Limited, New Brunswick, New Jersey 1992, ISBN 0-12-421850-4, S. 44.
  2. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 132–133.
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Das Normalenbundel ist ein Begriff aus der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie Teilgebieten der Mathematik Ein solches Vektorbundel umfasst alle Normalenvektoren einer Untermannigfaltigkeit und ist somit ein zum Tangentialbundel komplementares Konzept Normalenvektoren an einer Flache im dreidimensionalen RaumMit Hilfe von Normalenbundeln konnen beispielsweise tubulare Umgebungen von Untermannigfaltigkeiten konstruiert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Untermannigfaltigkeit 1 2 Immersierte Untermannigfaltigkeit 2 Riemannsche Geometrie 3 Stabiles Normalenbundel 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenUntermannigfaltigkeit Bearbeiten Das Normalenbundel einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit Y X displaystyle Y subset X nbsp ist das Vektorbundel uber Y displaystyle Y nbsp das aus allen Paaren y n displaystyle y nu nbsp besteht wobei y Y displaystyle y in Y nbsp gilt und n displaystyle nu nbsp ein Vektor im Quotientenraum T y X T y Y displaystyle T y X T y Y nbsp ist wobei T y X displaystyle T y X nbsp und T y Y displaystyle T y Y nbsp die Tangentialraume von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp sind Mit anderen Worten ist das Normalenbundel definiert als die disjunkte Vereinigung N Y y Y T y X T y Y displaystyle NY coprod y in Y T y X T y Y nbsp 1 Immersierte Untermannigfaltigkeit Bearbeiten Etwas allgemeiner ist die Konstruktion des normalen Bundels einer immersierten Untermannigfaltigkeit Sei also f Y X displaystyle f colon Y to X nbsp eine Immersion von Y displaystyle Y nbsp in X displaystyle X nbsp Dann ist das Normalenbundel von Y displaystyle Y nbsp definiert durch N Y y Y f T y X T y Y displaystyle NY coprod y in Y f T y X T y Y nbsp wobei f displaystyle f nbsp der Rucktransport von f displaystyle f nbsp ist 1 Riemannsche Geometrie BearbeitenSeien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp riemannsche Mannigfaltigkeiten und f Y X displaystyle f colon Y to X nbsp eine Immersion so dass Y displaystyle Y nbsp eine in X displaystyle X nbsp immersierte Mannigfaltigkeit ist Sei p Y displaystyle p in Y nbsp und T p X displaystyle T p X nbsp der Tangentialraum von X displaystyle X nbsp in p displaystyle p nbsp Aufgrund der riemannschen Metrik gibt es eine orthogonale Zerlegung T p X T p Y N p Y displaystyle T p X T p Y oplus N p Y nbsp dieses Tangentialraums Dabei ist N p Y displaystyle N p Y nbsp der Normalenraum am Punkt p displaystyle p nbsp Die Menge N Y p Y N p Y displaystyle NY coprod p in Y N p Y nbsp ist das Normalenbundel der riemannschen Mannigfaltigkeit Y displaystyle Y nbsp bezuglich X displaystyle X nbsp 2 Dieses Normalenbundel in der riemannschen Geometrie ist ein Spezialfall der zuvor genannten Definition denn N p Y displaystyle N p Y nbsp ist offenbar zu den Quotientenraumen obiger Definition isomorph Stabiles Normalenbundel Bearbeiten Hauptartikel Stabiles Normalenbundel Abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten haben ein kanonisches Tangentenbundel aber kein Normalenbundel Nur das Einbetten oder Immersieren einer Mannigfaltigkeit in eine andere ergibt ein normales Bundel Da allerdings jede differenzierbare Mannigfaltigkeit nach dem Einbettungssatz von Whitney in R N displaystyle mathbb R N nbsp eingebettet werden kann lasst jede Mannigfaltigkeit bei einer solchen Einbettung ein Normalenbundel zu Es gibt im Allgemeinen keine naturliche Wahl der Einbettung aber fur eine gegebene Mannigfaltigkeit sind zwei beliebige Einbettungen in R N displaystyle mathbb R N nbsp fur ausreichend grosses N displaystyle N nbsp isotop und induzieren daher das gleiche Normalenbundel Die resultierende Klasse der Normalenbundel es handelt sich um eine Klasse von Bundeln und nicht um ein bestimmtes Bundel da N displaystyle N nbsp variieren kann wird als stabiles Normalenbundel bezeichnet Weblinks BearbeitenNormal bundle In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Vorlage EoM idEinzelnachweise Bearbeiten a b Antoni A Kosinski Differential Manifolds Academic Press Limited New Brunswick New Jersey 1992 ISBN 0 12 421850 4 S 44 John M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Graduate Texts in Mathematics 176 Springer New York NY u a 1997 ISBN 0 387 98322 8 S 132 133 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normalenbundel amp oldid 205163139