Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung Die disjunktive Vereinigung der Mengen A displaystyle A und B displaystyle B ist eine andere Menge A B displaystyle A sqcup B die aus allen Elementen von A displaystyle A und B displaystyle B konstruiert wird ohne verdoppelte Elemente aus A displaystyle A und B displaystyle B als dieselben zu identifizieren Im Bild besitzt jedes Polygon ein Etikett welches die Unterscheidung von sonst gleichen Figuren ermoglicht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Vereinigung disjunkter Mengen 1 2 Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen 1 3 Disjunkte Vereinigung topologischer Raume 2 Eigenschaften 3 Beispiele 3 1 Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen 3 2 Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und ausserer direkter Summe Die beiden Definitionen stellen die verschiedenen Sachverhalte dar die jedoch beide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden Daher muss der Begriff abhangig von seinem Kontext verstanden werden Die Notationen im Artikel werden in der Literatur nicht nur in dieser Art verwendet meist letztere fur ersteren Umstand Vereinigung disjunkter Mengen Bearbeiten Eine Menge X displaystyle X nbsp ist die disjunkte Vereinigung eines Systems X i i I displaystyle X i i in I nbsp von Teilmengen X i X displaystyle X i subseteq X nbsp geschrieben X i I X i displaystyle X dot bigcup i in I X i nbsp wenn die folgenden beiden Bedingungen erfullt sind X i X j displaystyle X i cap X j varnothing nbsp falls i j displaystyle i neq j nbsp das heisst also die X i displaystyle X i nbsp sind paarweise disjunkt X i I X i displaystyle textstyle X bigcup limits i in I X i nbsp das heisst X displaystyle X nbsp ist die Vereinigung aller Mengen X i displaystyle X i nbsp Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen Bearbeiten Sind Mengen X i displaystyle X i nbsp fur i I displaystyle i in I nbsp gegeben so heisst die Menge i I X i i I i x x X i displaystyle bigsqcup i in I X i bigcup i in I i x mid x in X i nbsp die disjunkte Vereinigung der Mengen X i displaystyle X i nbsp Sie ist in etwa eine Vereinigung bei der die Mengen vorher kunstlich disjunkt gemacht werden Disjunkte Vereinigung topologischer Raume Bearbeiten Seien X t displaystyle X tau nbsp und Y t displaystyle Y tilde tau nbsp topologische Raume Die disjunkte Vereinigung von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp ist gegeben durch X Y X 0 Y 1 displaystyle X sqcup Y X times 0 cup Y times 1 nbsp Versehen mit der Topologie t t U V U t und V t displaystyle tau sqcup tilde tau U sqcup V U in tau text und V in tilde tau nbsp ist X Y t t displaystyle X sqcup Y tau sqcup tilde tau nbsp wieder ein topologischer Raum Man spricht auch von der topologischen Summe von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp 1 Eigenschaften BearbeitenFur die Machtigkeiten gilt i I X i i I X i displaystyle left bigsqcup limits i in I X i right sum i in I X i nbsp In der Kardinalzahlarithmetik ist die Summe gerade durch diese Beziehung definiert Die disjunkte Vereinigung i I X i displaystyle bigsqcup limits i in I X i nbsp ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen Das bedeutet Abbildungen f i I X i Y displaystyle f colon bigsqcup limits i in I X i to Y nbsp entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen f i i I displaystyle f i i in I nbsp mit f i X i Y displaystyle f i colon X i to Y nbsp Sind die Mengen X i displaystyle X i nbsp disjunkt so ist die kanonische Abbildung i I X i i I X i displaystyle bigsqcup limits i in I X i to bigcup limits i in I X i nbsp bijektiv Beispiele BearbeitenBeispiel der Vereinigung disjunkter Mengen Bearbeiten Disjunkte Vereinigung von A 1 2 3 displaystyle A 1 2 3 nbsp und B 4 5 6 displaystyle B 4 5 6 nbsp A B displaystyle A cap B varnothing nbsp Beide Mengen sind disjunkt A B C displaystyle A dot cup B C nbsp C displaystyle C nbsp ist die disjunkte Vereinigung der Mengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp C 1 2 3 4 5 6 displaystyle C 1 2 3 4 5 6 nbsp Die Mengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp bilden hierbei eine Partition der Menge C displaystyle C nbsp Die disjunkte Vereinigung A B displaystyle A sqcup B nbsp im zweiten Sinn liefert die Paarmenge D 1 1 1 2 1 3 2 4 2 5 2 6 displaystyle D 1 1 1 2 1 3 2 4 2 5 2 6 nbsp Die Projektion p 2 displaystyle pi 2 nbsp bildet D displaystyle D nbsp bijektiv auf C displaystyle C nbsp ab Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen Bearbeiten Disjunkte Vereinigung von X 1 1 2 3 displaystyle X 1 1 2 3 nbsp und X 2 1 2 3 4 displaystyle X 2 1 2 3 4 nbsp I 1 2 displaystyle I 1 2 nbsp i I X i i I i x x X i 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 4 displaystyle textstyle bigsqcup limits i in I X i bigcup limits i in I i x mid x in X i 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 4 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Fridtjof Toenniessen Topologie Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie 1 Auflage Springer Spektrum 2017 ISBN 978 3 662 54963 6 S 15 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Disjunkte Vereinigung amp oldid 233539015
