Die mittlere Krummung ist neben der gaussschen Krummung ein wichtiger Krummungsbegriff in der Theorie der Flachen im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 einem Gebiet der Differentialgeometrie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Berechnung 3 Beispiele 4 Weitere Eigenschaften 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben seien eine regulare Flache im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp und ein Punkt dieser Flache Die mittlere Krummung H displaystyle H nbsp der Flache in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrummungen k 1 displaystyle k 1 nbsp und k 2 displaystyle k 2 nbsp Das heisst die mittlere Krummung ist definiert als H 1 2 k 1 k 2 displaystyle H frac 1 2 k 1 k 2 nbsp Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflachen fur welche H 0 displaystyle H 0 nbsp bzw k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 nbsp gilt Allgemeiner kann man die mittlere Krummung fur n dimensionale Hyperflachen des R n 1 displaystyle mathbb R n 1 nbsp durch H 1 n Spur S displaystyle H tfrac 1 n operatorname Spur S nbsp definieren Dabei ist S displaystyle S nbsp die Weingarten Abbildung und Spur displaystyle operatorname Spur nbsp bezeichnet die Spur einer Matrix Berechnung BearbeitenSind E displaystyle E nbsp F displaystyle F nbsp G displaystyle G nbsp bzw L displaystyle L nbsp M displaystyle M nbsp N displaystyle N nbsp die Koeffizienten der ersten bzw zweiten Fundamentalform der Flache so gilt die FormelH L G 2 M F N E 2 E G F 2 displaystyle H frac LG 2MF NE 2 EG F 2 nbsp dd Wenn die Flache isotherm parametrisiert ist das heisst wenn fur die Koeffizienten der ersten Fundamentalform E G displaystyle E G nbsp und F 0 displaystyle F 0 nbsp gilt dann vereinfacht sich diese Formel zuH L N 2 E displaystyle H frac L N 2E nbsp dd Ist die betrachtete Flache der Graph einer Funktion f displaystyle f nbsp uber dem Parameterbereich U displaystyle U nbsp also X u v u v f u v displaystyle X u v u v f u v nbsp fur alle u v U displaystyle u v in U nbsp so gilt fur die mittlere Krummung H 1 f v 2 f u u 2 f u f v f u v 1 f u 2 f v v 2 1 f u 2 f v 2 3 displaystyle H frac 1 f v 2 f uu 2f u f v f uv 1 f u 2 f vv 2 sqrt 1 f u 2 f v 2 3 nbsp dd Hierbei bezeichnen f u displaystyle f u nbsp und f v displaystyle f v nbsp die ersten und f u u displaystyle f uu nbsp f u v displaystyle f uv nbsp und f v v displaystyle f vv nbsp die zweiten partiellen Ableitungen von f displaystyle f nbsp Beispiele BearbeitenDie Oberflache einer Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp hat die mittlere Krummung H 1 r displaystyle H tfrac 1 r nbsp In einem beliebigen Punkt auf der gekrummten Flache eines geraden Kreiszylinders mit Radius r displaystyle r nbsp ist die mittlere Krummung gleich H 1 2 r displaystyle H tfrac 1 2r nbsp Weitere Eigenschaften BearbeitenFur eine Flache X X u v displaystyle X X u v nbsp gilt die GleichungH n g i j i j X displaystyle H vec n g ij nabla i nabla j X nbsp dd mit der Einheitsnormale n displaystyle vec n nbsp g i j displaystyle g ij nbsp als erster Fundamentalform und i displaystyle nabla i nbsp der kovarianten Ableitung Wenn eine Flache X X u v displaystyle X X u v nbsp isotherm parametrisiert ist so genugt sie dem Rellichschen H FlachensystemD X 2 H X u X v displaystyle Delta X 2HX u times X v nbsp dd Ist die Flache als Niveauflache einer Funktion F displaystyle F nbsp gegeben so gilt2 H div n div F F displaystyle 2H operatorname div vec n operatorname div frac nabla F nabla F nbsp 1 dd Dabei ist div displaystyle operatorname div nbsp die Divergenz und n displaystyle vec n nbsp das Einheitsnormalenfeld F F displaystyle tfrac nabla F nabla F nbsp Diese Formel heisst Formel von Bonnet und gilt allgemein fur n dimensionale Hyperflachen Literatur BearbeitenWolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Kurven Flachen Mannigfaltigkeiten 4 uberarbeitete Auflage Vieweg Wiesbaden 2007 ISBN 978 3 8348 0411 2 Einzelnachweise Bearbeiten Philipp D Losel GPU basierte Verfahren zur Segmentierung biomedizinischer Bilddaten PDF Heidelberg University 22 April 2022 S 42 43 abgerufen am 5 September 2022 Beweis zu Satz 3 22 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mittlere Krummung amp oldid 226151152
