Die Weingartenabbildung nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten auch Formoperator genannt ist eine Funktion aus der Theorie der Flachen im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitung 2 Definition 2 1 Im Parameterbereich 2 2 Auf der Flache 3 Koordinatendarstellung 4 Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform 5 Eigenschaften 6 Beispiel 7 LiteraturVorbereitung BearbeitenEine regulare Flache sei durch die Parameterdarstellung X R 2 A R 3 u v X u v displaystyle begin aligned X colon mathbb R 2 supset A amp to mathbb R 3 u v amp mapsto X u v end aligned nbsp gegeben Dabei sei X displaystyle X nbsp mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt u v displaystyle u v nbsp habe die Ableitung D X u v displaystyle DX u v nbsp eine lineare Abbildung von R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp nach R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp vollen Rang Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp der Tangentialraum der Flache im Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp angeheftet Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren X 1 u v X u u v X u u v D X u v e 1 displaystyle X 1 u v X u u v tfrac partial X partial u u v DX u v e 1 nbsp und X 2 u v X v u v X v u v D X u v e 2 displaystyle X 2 u v X v u v tfrac partial X partial v u v DX u v e 2 nbsp aufgespannt Hierbei bezeichnen e 1 displaystyle e 1 nbsp und e 2 displaystyle e 2 nbsp die Einheitsvektoren der Standardbasis des R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Die Einheitsnormale N u v displaystyle N u v nbsp im Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp der Flache kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden N u v X u u v X v u v X u u v X v u v displaystyle N u v frac X u u v times X v u v X u u v times X v u v nbsp Somit ist N displaystyle N nbsp eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich A R 2 displaystyle A subset mathbb R 2 nbsp in den Vektorraum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Den Bildvektor N u v displaystyle N u v nbsp denkt man sich angeheftet an den Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp Die Ableitung D N u v displaystyle DN u v nbsp im Punkt u v displaystyle u v nbsp ist eine lineare Abbildung von R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp nach R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Aus der Bedingung dass N u v displaystyle N u v nbsp ein Einheitsvektor ist folgt dass fur jedes Parameterpaar u v displaystyle u v nbsp das Bild der Abbildung D N u v displaystyle DN u v nbsp im Tangentialraum der Flache im Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp liegt und somit im Bild der Abbildung D X u v displaystyle DX u v nbsp Da D X u v displaystyle DX u v nbsp injektiv ist existiert die Umkehrabbildung D X u v 1 displaystyle DX u v 1 nbsp als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt X u v displaystyle X u v nbsp Definition BearbeitenMan kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich klassische Sichtweise oder auf dem Tangentialraum moderne Sichtweise definieren Im Parameterbereich Bearbeiten Die Abbildung D N u v displaystyle DN u v nbsp bildet den R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp auf den Tangentialraum der Flache im Punkt X u v displaystyle X u v nbsp ab Die Abbildung D X u v 1 displaystyle DX u v 1 nbsp bildet diesen Tangentialraum wieder auf den R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp ab Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung L u v D X u v 1 D N u v displaystyle L u v DX u v 1 circ DN u v nbsp von R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp nach R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp heisst Weingartenabbildung an der Stelle u v displaystyle u v nbsp Auf der Flache Bearbeiten Die Abbildung D X u v 1 displaystyle DX u v 1 nbsp bildet einen Vektor des Tangentialraums der Flache im Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp in den R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp ab Die Abbildung D N u v displaystyle DN u v nbsp bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung L X u v D N u v D X u v 1 displaystyle L X u v DN u v circ DX u v 1 nbsp bildet den Tangentialraum im Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp auf sich ab und heisst Weingartenabbildung am Punkt p X u v displaystyle p X u v nbsp Es gilt also L X u v X i u v N i u v displaystyle L X u v X i u v N i u v nbsp fur i 1 2 displaystyle i 1 2 nbsp Koordinatendarstellung BearbeitenDie beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf vollig verschiedenen Vektorraumen definiert Wahlt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis X u u v displaystyle X u u v nbsp X v u v displaystyle X v u v nbsp so stimmen die zugehorigen Abbildungsmatrizen h 1 1 u v h 1 2 u v h 2 1 u v h 2 2 u v displaystyle begin pmatrix h 1 1 u v amp h 1 2 u v h 2 1 u v amp h 2 2 u v end pmatrix nbsp uberein Sie sind durch die Gleichungen L X u v X u u v N u u v h 1 1 u v X u u v h 2 1 u v X v u v displaystyle L X u v X u u v N u u v h 1 1 u v X u u v h 2 1 u v X v u v nbsp L X u v X v u v N v u v h 1 2 u v X u u v h 2 2 u v X v u v displaystyle L X u v X v u v N v u v h 1 2 u v X u u v h 2 2 u v X v u v nbsp charakterisiert In Einsteinscher Summenkonvention mit X 1 X u displaystyle X 1 X u nbsp X 2 X v displaystyle X 2 X v nbsp N 1 N u D N u v e 1 displaystyle N 1 N u DN u v e 1 nbsp N 2 N v D N u v e 2 displaystyle N 2 N v DN u v e 2 nbsp und unter Weglassung des Arguments L X j N j h i j X i displaystyle L X j N j h i j X i nbsp Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform BearbeitenFur jedes Parameterpaar u v displaystyle u v nbsp ist die erste Fundamentalform g u v displaystyle g u v nbsp ein Skalarprodukt im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp und die zweite Fundamentalform h u v displaystyle h u v nbsp eine symmetrische Bilinearform Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden Fur Vektoren w 1 w 2 R 2 displaystyle w 1 w 2 in mathbb R 2 nbsp gilt h w 1 w 2 g w 1 L w 2 displaystyle h w 1 w 2 g w 1 Lw 2 nbsp Fur die zugehorigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention h i k g i j h j k displaystyle h ik g ij h j k nbsp und h i k g i j h j k displaystyle h i k g ij h jk nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Die Hauptkrummungen sind Eigenwerte der WeingartenabbildungDie Weingartenabbildung L displaystyle L nbsp ist selbstadjungiert bezuglich der ersten Fundamentalform g displaystyle g nbsp das heisst fur alle w 1 w 2 R 2 displaystyle w 1 w 2 in mathbb R 2 nbsp giltg w 1 L w 2 g L w 1 w 2 displaystyle g w 1 Lw 2 g Lw 1 w 2 nbsp In jedem Punkt der Flache existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von L displaystyle L nbsp die orthonormal bezuglich g displaystyle g nbsp ist Die Richtungen der Eigenvektoren heissen Hauptkrummungsrichtungen Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrummungen der Flache an Fur einen Vektor w T u v R 2 displaystyle w in T u v mathbb R 2 nbsp beschreibt L w displaystyle Lw nbsp die Anderung der Flachennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauss Abbildung Beispiel BearbeitenDem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend wird wieder die Oberflache einer Kugel vom Radius r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp betrachtet Diese Flache wird wieder durch X u v r sin u cos v r sin u sin v r cos u displaystyle X u v begin pmatrix r sin u cos v r sin u sin v r cos u end pmatrix nbsp parametrisiert Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten g u u r 2 displaystyle g uu r 2 nbsp g u v g v u 0 displaystyle g uv g vu 0 nbsp sowie g v v r 2 sin 2 u displaystyle g vv r 2 sin 2 u nbsp Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten h u u r displaystyle h uu r nbsp h u v h v u 0 displaystyle h uv h vu 0 nbsp sowie h v v r sin 2 u displaystyle h vv r sin 2 u nbsp Beide sind durch die Gleichung h i k g i j h j k displaystyle h ik g ij h j k nbsp miteinander verbunden Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen h u u g u u h u u g u v h v u displaystyle h uu g uu h u u g uv h v u nbsp h u v g u u h u v g u v h v v displaystyle h uv g uu h u v g uv h v v nbsp h v u g v u h u u g v v h v u displaystyle h vu g vu h u u g vv h v u nbsp h v v g v u h u v g v v h v v displaystyle h vv g vu h u v g vv h v v nbsp Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhalt man die Komponenten der Weingartenabbildung h u u h v v 1 r displaystyle h u u h v v frac 1 r nbsp h u v h v u 0 displaystyle h u v h v u 0 nbsp Alternativ hatte auch die explizite Formel h i k g i j h j k displaystyle h i k g ij h jk nbsp genutzt werden konnen Dazu hatte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden mussen um die g i j displaystyle g ij nbsp zu erhalten Literatur BearbeitenWolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Kurven Flachen Mannigfaltigkeiten 4 uberarbeitete Auflage Vieweg Wiesbaden 2007 ISBN 978 3 8348 0411 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weingartenabbildung amp oldid 235686731
